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1三個典型性結論及其反例
在教學過程中，隨機事件及其概率這一章節中的可以歸納出很多個理論公式和結論，本文中只是舉三個典型性結論，然后舉出反例加以推理驗證，刺激學生的好奇心和興趣，從而使得學生更加透徹的理解數理統計概念，更加好學，更加具有專研精神，更有助于學生數學思維的培養。符號：A，B，C：隨機事件Ω：必然事件；樣本空b間；覫：不可能事件定理1用事件的運算關系表示事件的方法不一定唯一例如，用A，B，C的運算關系表示事件D={A，B，C中不多于一個事件發生}，根據事件的和、差、積及其逆事件的概念，可以寫出下面四種不同的表示法：按照概率的公理化體系可知，樣本點是樣本空間Ω的元素，而事件是事件域中F中的元素，它是樣本點的某些子集.在古典概型中，樣本空間Ω只含有窮個點，所以Ω也是有窮的.此時常常把Ω的一切子集都視為事件.但卻不能由此認為樣本點一定是事件.實際上，并不把Ω的一切子集都當作事件來研究。我們只考慮事件覫，A，A，Ω時，容易驗證F={覫，A，A，Ω}為一事件域，于是Ω中的樣本點B={所取球的號碼為4}就不是事件域F中的元素，即B={4}不是F中的事件。
定理對“等可能性”的理解不同，得到的概率不一定相同在概率論發展的早期，大部分的人都相信，只要找到適當的等可能性描述，就可以給概率問題唯一的解答，但事實上確并非如此，這是個經典的著名反例，貝特朗（Bertrand）奇論（貝特朗在1887年出版的《概率論教程》一書中構造了這個例子）：在半徑為1的園內隨意畫一條弦，問它的長度超過其內接正三角形的邊長的概率等于多少？從不同的方向的理解，貝特朗對這個問題給出了三種不同的解法。解法二：如圖2，在圓中任意畫出一條弦AB，再作與AB垂直的直徑CF，并以C為頂點作圓的內接正ΔCDE，由圖可見，要AB>DF，必須AB和直徑CF的交點M落在GH內，這里G是CF三種解法推理看起來都無懈可擊，不同的理解得到了三種完全不同的答案，從而使得問題得到了奇論的美稱，也就是數學上的貝特朗悖論。同一個問題得到不同的結論的原因是什么呢？原因在于每種解法對于“等可能性”作出了不同的理解和假設：解法一假定了弦的端點落在圓周上各點是等可能的；解法二假定了弦的中點落在直徑上各點是等可能的；解法三假定了弦的中點落在圓內各點上是等可能的。對于各自不同的假設，上面三種解法和結果都是正確的，這個例子提醒學生，在解答概率問題時，一定要弄清楚等可能性的條件，以免發生混淆。
2結束語
在概率論與數理統計的教學過程中的引人各種反例教學，會使得上課更加生動有趣，不同于常規的思維推理一定會引起學生的好奇心和好勝心，從而激發學生對概率統計的極大興趣，然后可以引導學生專研問題，思考結論。在教學中插入恰當的反例，即是簡明有力的否定方法，又是加深學生對概念和定理的理解的重要手段，它有助于發現問題，活躍思維、避免常犯易犯的錯誤。從而達到教學上的最高水平，取得令人滿意的教學效果。
作者：梅芳曾春華王巧玲單位：江西農業大學理學院