投資決策概率統(tǒng)計(jì)運(yùn)用范文

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數(shù)學(xué)是一門在非常廣泛的意義上研究自然和社會(huì)現(xiàn)象中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科和一種精確的科學(xué)語言，數(shù)學(xué)科學(xué)又是以一種極為抽象的形式出現(xiàn)的.這種極為抽象的形式有時(shí)又會(huì)掩蓋數(shù)學(xué)學(xué)科豐富的內(nèi)涵，并可能對(duì)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用形成障礙.要用數(shù)學(xué)方法解決一個(gè)實(shí)際問題，不論這個(gè)問題是來自工程、經(jīng)濟(jì)、金融或是社會(huì)領(lǐng)域，都必須在實(shí)際問題與數(shù)學(xué)之間架設(shè)一道橋梁，首先是將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，然后對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析和計(jì)算，最后將所求得的解答回歸實(shí)際，看能不能有效的回答原先的實(shí)際問題.這個(gè)全過程，就稱為數(shù)學(xué)建模.通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，對(duì)促進(jìn)我國(guó)科技創(chuàng)新、經(jīng)濟(jì)進(jìn)步具有積極的意義。概率論解決的主要問題是不確定性問題.數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)推斷問題.用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法建模解決應(yīng)用問題在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.例如建廠決策問題某公司為擴(kuò)大規(guī)模，想投資興辦工廠.對(duì)該廠即將生產(chǎn)的產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量進(jìn)行了調(diào)查分析，先得到結(jié)果如下：該種產(chǎn)品的未來市場(chǎng)需求量服從正態(tài)分布，其平均需求量為120萬件，標(biāo)準(zhǔn)差為20萬件，單件售價(jià)為20元.現(xiàn)有兩種建廠方案：方案甲：建小廠固定資產(chǎn)投資400萬元，年最大生產(chǎn)能力為130萬件，每件可變成本11．5元.方案乙：建大廠固定資產(chǎn)投資600萬元，年最大生產(chǎn)能力160萬件，每件可變成本10元.問：在最優(yōu)化的條件下應(yīng)該建大廠還是建小廠？解：

1問題分析

對(duì)于該公司來說，擴(kuò)大公司規(guī)模的目的是最大限度的追求最大利潤(rùn).那么，對(duì)于他建廠的方案，我們就可以考慮如下的建廠決策，以其來決定最終的建廠方案：（1）盈利的可能性在99%以上；（2）期望利潤(rùn)最大；（3）期望成本最低；（4）實(shí)現(xiàn)最低成本的可能性最大.

2符號(hào)說明

Q———產(chǎn)量；R———總收益；C———總成本；F———固定成本；V———可變成本；P———單件售價(jià).

3建模與計(jì)算

3.1求各個(gè)方案的盈虧平衡點(diǎn)產(chǎn)量由于總收益R=PQ，總成本C=F+VQ，所以盈虧平衡點(diǎn)為：Q*=FP-V；代入數(shù)據(jù)得：Q*甲=40020-11.5=47（萬件）；Q*乙=60020-10=60（萬件）；由上述計(jì)算得：Q*甲＜Q*乙；所以方案甲有較低的盈虧平衡點(diǎn)，即只要產(chǎn)量超過47萬件，就開始盈利，但是它的可變成本增加的陡度超過方案乙，因而開始盈利后在，增加的速度比乙慢.方案乙有較高的投資成本，且盈虧平衡點(diǎn)比甲高.由此可知，甲乙兩種方案各有利弊，尚不能對(duì)最優(yōu)方案做出判斷.

3.2盈利的可能性計(jì)算因?yàn)樵摦a(chǎn)品的未來市場(chǎng)需求量是隨機(jī)的，故銷售該產(chǎn)品所得的總收益也是隨機(jī)的.但盈利的條件是需求量超過盈虧平衡點(diǎn)的產(chǎn)量，故盈利的可能性即需求量大于平衡點(diǎn)產(chǎn)量的概率.（1）由于該產(chǎn)品的未來市場(chǎng)需求量服從正態(tài)分布N(120,202)，故需求量Q的概率密度函數(shù)為P(Q)=120姨2πe-12Q-120202；所以甲乙兩種方案盈利的可能性如下：方案甲：P(Q>Q*甲）=P（Q>47）=∞47乙P（Q）d（Q）=99.95％方案乙：P(Q>Q*乙）=P（Q>60）=∞60乙P（Q）d（Q）=99.86％（2）盈利在300萬以上的可能性:假設(shè)能盈利在300萬以上則有20Q-F-VQ>300；所以此時(shí)有Q>300+F20-V;從而盈利在300萬以上的可能性為：PQ>300+F20-V乙乙=∞300+F20-V乙P(Q)d(Q)；代入數(shù)據(jù)得：方案甲：PQ>300+40020-11.5乙乙=∞82.35乙P(Q)d(Q)=97％;方案乙：PQ>300+60020-10乙乙=P（Q>90）=∞90乙P(Q)d(Q)=93.3％；（3）盈利在400萬以上的可能性：方案甲:PQ>400+40020-11.5乙乙=PQ>8008.5乙乙=∞8008.5乙P(Q)d(Q)=89.5％;方案乙:PQ>400+60020-10乙乙=PQ>10乙乙0=∞100乙P(Q)d(Q)=84.1％;兩種方案盈利的可能性都在99％以上，因而虧本的可能性很小.雖然盈利在300萬和400萬以上的可能性都是甲比乙大，但不能僅憑此就斷定甲方案比乙方案優(yōu)，我們要綜合考慮各種可能的影響因素.下面我們看期望利潤(rùn)、期望成本、實(shí)現(xiàn)最低成本的可能性.

3.3期望利潤(rùn)計(jì)算由于總收益和總成本均是需求量的函數(shù)，故總利潤(rùn)R-C=20Q-F-VQ=(20-V)Q-F是隨機(jī)變量Q的函數(shù)，但由于各種變量均受設(shè)備生產(chǎn)能力的限制，故期望利潤(rùn)為：方案甲：由于設(shè)備最大生產(chǎn)能力為每年130萬件，故它的利潤(rùn)公式計(jì)算為：R甲-C甲=(20-V甲)Q-F甲當(dāng)需求量Q≤130時(shí)(20-V甲)×130-F甲當(dāng)需求量Q>130≤時(shí)故期望利潤(rùn)為：E（R甲-C甲）=130-∞乙（20-11.5)QP(Q)d(Q)+∞130乙(20-11.5)×130P(Q)d(Q)-400=644.936+341.445-400=586.408（萬元）方案乙：由于設(shè)備最大生產(chǎn)能力為每年160萬件，故它的利潤(rùn)計(jì)算公式為：R乙-C乙=(20-V乙)Q-F乙當(dāng)需求量Q≤160時(shí)(20-V乙)×160-F乙當(dāng)需求量Q>160乙時(shí)故期望利潤(rùn)為E（R乙-C乙）=160-∞乙（20-10)QP(Q)d(Q)+∞160乙(20-10)×160P(Q)d(Q)-400=1161.6+36.8-600=598.4（萬元）.

3.4期望成本計(jì)算成本公式為C=F+VQ;所以方案甲的成本公式為C甲＝400＋11.5Q當(dāng)需求量Q≤130時(shí)400＋11.5×130當(dāng)需求量Q>130乙時(shí)故方案甲的期望成本為：E（C甲）=400+130-∞乙11.5QP(Q)d(Q)+∞130乙130×11.5P(Q)d(Q)=400+954.132+237.705=1591.837（萬元）方案乙的成本公式為：C乙＝600＋10Q當(dāng)需求量Q≤160時(shí)600＋10×130當(dāng)需求量Q>160乙時(shí)故方案乙的期望成本為：E（C乙）=600+160-∞乙10QP(Q)d(Q)+∞160乙160×10P(Q)d(Q)=600+1161.9+36.8=1798.7（萬元）.

3.5實(shí)現(xiàn)最低成本的可能性首先將甲乙兩種方案的成本直線圖繪制在同一直角坐標(biāo)系中，如下所示：C甲與C乙相交于點(diǎn)A，故在點(diǎn)A處有C甲=C乙，即400+11.5Q=600+10Q；于是QA=600-40011.5-10=133.3（萬件）上述QA將產(chǎn)量分為兩部分，從圖形上看，當(dāng)Q≤QA時(shí)，方案甲有最低成本；當(dāng)Q>QA時(shí)，方案乙有最低成本.實(shí)現(xiàn)最低成本的可能性為：方案甲：P(Q<QA)=P(Q<133.3)133.3-∞乙P(Q)d(Q)=74.22%方案乙：P(Q>QA)=P(Q>133.3)∞133.3乙P(Q)d(Q)=25.78%

4優(yōu)化分析

為便于綜合分析，先將上述結(jié)果列表如下：從上表可知，甲乙兩方案的盈利可能性都在99％以上，因而虧本的可能性很小；從利潤(rùn)上看，方案甲在盈利300萬元以上和盈利400萬元以上的可能性都比乙大，雖然方案乙的期望利潤(rùn)高于甲方案，但兩者差別不大；從期望成本上看，方案甲的期望成本比較低，而且實(shí)現(xiàn)最低成本的可能性也比乙高.所以綜合考慮各因素可知，方案甲是最優(yōu)方案.在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，類似的例子還有很多,要步步領(lǐng)先走在時(shí)代的前列，科學(xué)的決策是必要的.要進(jìn)行科學(xué)的決策，我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想，將在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中遇到的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行解決.