數(shù)學史中的數(shù)學思想方法與數(shù)學教育范文

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摘要:從數(shù)學史的角度概述了數(shù)學發(fā)展所經(jīng)歷的三大危機和克服危機所產(chǎn)生的成果，對數(shù)學分析中函數(shù)、極限、化歸三大經(jīng)典數(shù)學思想方法進行歸類和探源，啟發(fā)人們從事數(shù)學教育、培育數(shù)學人才需要從培養(yǎng)人的思維習慣做起。

關鍵詞:數(shù)學思想;方法;數(shù)學危機;數(shù)學教育

一部數(shù)學史就是一部人類科學技術發(fā)展史，也是一部人類文明進步史。每一次數(shù)學的重大進步都標志著人類社會文明的發(fā)展。從歐式幾何的形成到微積分到現(xiàn)代數(shù)學再到近代數(shù)學，從數(shù)學的三大危機到每次危機后的勃勃生機，無論哪個時空的數(shù)學波動都與其所處時空的科學技術、政治、經(jīng)濟、社會的進步和震蕩同步感應，從數(shù)學的產(chǎn)生到實數(shù)公理化，從代數(shù)學、幾何學的形成到數(shù)形統(tǒng)一，從博彩的娛樂到概率統(tǒng)計學原理，從微積分的發(fā)展到物理三大定律，從天文學到空間數(shù)學，從邏輯學到量子糾纏，從二位進制到計算機產(chǎn)生和應用，從幾何畫圖到機械工程，從微分方程到生命科學等，無一不是經(jīng)典故事。近現(xiàn)代生產(chǎn)技術、軍事、航天科學乃至核科學，沒有哪一項人類科學技術的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明沒有數(shù)學的身影，也沒有哪一項領先的工具不是數(shù)學的應用。比如當代使用最為廣泛的芯片技術，沒有先進的算法跟進可能實現(xiàn)嗎?又如高大上的航空航天科技沒有軌跡運算同步可能成功嗎?量子計算機的生產(chǎn)和通訊技術重大進步?jīng)]有數(shù)學計算的同步跟進和算法的優(yōu)勢體現(xiàn)都是難以實現(xiàn)的［1－4］。數(shù)學體系繁雜卻自成一體，有其天然的嚴謹性、完備性，如同網(wǎng)絡疏而不漏。現(xiàn)代數(shù)學分支很多，邊緣學科發(fā)展很快，各領域應用廣泛性超越了時空局限。如計算機技術、網(wǎng)絡信息技術、控制論、規(guī)劃論等，特別是量子技術的發(fā)展預示一場前所未有的人類科技的變革，體現(xiàn)了人類社會未來發(fā)展的不可測性［5－6］。

1數(shù)學發(fā)展歷程的三大危機及其成果

1．1第一次數(shù)學危機及其成果

在公元前500年左右，因為發(fā)現(xiàn)了不可通約性而產(chǎn)生了數(shù)學的第一次危機，打破了古希臘以畢達哥拉斯為代表的唯心主義學派王國。導致這一危機產(chǎn)生的經(jīng)典故事是勾股定理被證明，結果證明幾何學的某些真理與算術無關，由此建立了幾何學體系，產(chǎn)生了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。經(jīng)過兩千多年，到18世紀，高斯、希爾伯特、羅巴切夫斯基、波耶等大師們通過選取與平行公設相矛盾的其他公設，建立了非歐幾何，形成了現(xiàn)代的幾何公理體系［7－8］。

1．2第二次數(shù)學危機及其成果

第二次數(shù)學危機是在17世紀至18世紀，因為無限小量的產(chǎn)生，即極限的嚴格化，如瞬時速度Δs/Δt，當Δt趨向零時的值，Δt是零又不是零，無窮小究竟是不是零的問題引起極大爭論。經(jīng)過半個多世紀的努力，經(jīng)波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利、威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等一大批數(shù)學家的努力，建立了通用的ε－δ的極限連續(xù)定義，同時將導數(shù)、積分等概念嚴格地定義在極限基礎上，從而克服了危機，建立了現(xiàn)代數(shù)學分析的基本體系，從而有了實數(shù)的公理體系，才有了20世紀的數(shù)學基礎［9－12］。

1．3第三次數(shù)學危機與及其成果

在第二次數(shù)學危機中基本上解決了數(shù)學的基礎問題，極大地發(fā)展了極限理論與應用，數(shù)學家們構建并實踐了包括數(shù)理邏輯在內(nèi)的多門學科，同時大量地使用數(shù)學符號表達數(shù)學的運算和邏輯推理，簡化了數(shù)學表達式，極大地推動了數(shù)理邏輯學的發(fā)展。隨著邏輯學快速發(fā)展與應用，19世紀末至20世紀初出現(xiàn)了一系列邏輯悖論，如羅素悖論震動了整個數(shù)學界，產(chǎn)生了第三次數(shù)學危機，這次危機幾乎動搖了數(shù)學的公理體系。經(jīng)眾多數(shù)學家的努力，數(shù)理邏輯終于完善。至20世紀，數(shù)學的公理體系趨于完備，數(shù)學基礎趨于成熟，各種數(shù)學分支迅猛發(fā)展，其應用理論在社會各領域的廣泛應用又極大地反作用于數(shù)學的進步，如計算機、網(wǎng)絡信息技術，既依賴于算法，又推動著算法的進步，從而促進了計算數(shù)學與信息技術互為進步的格局，產(chǎn)生了超算。有限元理論等各學科的進步推動著規(guī)劃論、運籌學的構建與應用，空間科學的建立又推動了航空航天技術的進步，數(shù)學成為推動科學技術進步的強力工具，從而極大地提高了科技生產(chǎn)力，推動人類社會文明的進步。從公元前2000年左右的巴比倫數(shù)學，到歐式幾何流行于歐亞大陸，從極限思想到微積分的產(chǎn)生、數(shù)學分析的完整，到計算機的產(chǎn)生、到量子技術的應用，在漫長而艱難的4000多年歷程中，數(shù)學在人類社會進步的每一個階梯上都有極其重大的業(yè)績，僅從數(shù)學的三次危機來概述數(shù)學發(fā)展的三次質(zhì)的飛躍，只是以孔窺大，以一斑而概全貌，起拋磚引玉之功效而已［7－8，13－14］。

2數(shù)學史中包含的主要數(shù)學思想與方法

數(shù)學的發(fā)展歷程長，有4000余年歷史，幾乎跨越整個人類發(fā)展的時空度，其內(nèi)容的廣度與深度是難以測量的，包含的數(shù)學思想與方法是多種多樣的，但其主要的經(jīng)典有函數(shù)思想、極限思想、化歸思想三種重要的數(shù)學思想，用這三種思想來解決數(shù)學問題的方法稱之為函數(shù)方法、極限方法、化歸方法，是解決數(shù)學問題的三個重要工具。

2．1數(shù)學中的函數(shù)思想方法

函數(shù)是數(shù)學的一個常用且廣泛應用于其他學科的重要概念，其意義遠遠超出了數(shù)學界，經(jīng)典的數(shù)學分析的主要研究對象就是函數(shù)。函數(shù)既是初等數(shù)學的主體，也是高等數(shù)學的核心內(nèi)容。函數(shù)思想的建立使常量數(shù)學成就了變量數(shù)學，使數(shù)學用上了辯證法。物理、化學、經(jīng)濟、軍事等多學科與數(shù)學結下了不解之緣，直至社會、軍事等領域亦是如此:物體冷卻，鐳的衰變，樹木的生長，人口的增長率等，它們的具體意義不一定相同。

2．2數(shù)學中的極限思想方法

研究函數(shù)的一個極重要工具就是極限，極限在現(xiàn)代數(shù)學中處處出現(xiàn)，是許多數(shù)學概念賴以建立的基礎和分析問題、解決問題的重要工具，極限思想貫穿于整個數(shù)學的始終，它使數(shù)學真正成為了在各領域廣泛應用的科學。從極限思想發(fā)展的歷程看，大約經(jīng)歷了四個主要階段:一是萌芽時期，我國莊子說“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，劉徽建立的“割圓術”，古希臘時期歐多克斯所構建的窮竭法等，都是這個階段的極限思想代表;牛頓、萊布尼茲等數(shù)學家為代表創(chuàng)立的微積分，對極限的研究成果的應用極大地發(fā)展了極限思想，這一階段為極限的發(fā)展階段;由于牛頓、萊布尼茲對極限的敘述嚴密性不夠，產(chǎn)生了一系列不能自圓其說的矛盾，如級數(shù)的收斂和發(fā)散應用過程中產(chǎn)生的悖論和不同意見的爭論等，這一時期稱之為極限的爭論階段;嚴密的極限思想是從波萊諾(Bolzano)、柯西(Cauchy)，阿貝爾(Abel)和迪里克萊(Dirichlet)的工作開始，而由維爾斯特拉斯(Weierstrass)進一步發(fā)展整理為一門完整的學科“數(shù)學分析”，這一時期，是十九世紀三十年代到五十年代極限概念嚴格化，即是現(xiàn)代數(shù)學分析中極限概念的嚴格化時期，也是微積分學發(fā)展的一個重要的里程碑［15］。正是極限思想和極限方法推動數(shù)學進步的同時廣泛應用于天文、地理、物理、化學及各工程領域，強力推動了科學技術的進步和經(jīng)濟社會文明的發(fā)展。

2．3數(shù)學中化歸思想方法

數(shù)學中的化歸思想有宏觀與微觀兩方面的意義，其宏觀意義主要體現(xiàn)在數(shù)學家區(qū)別于一般科學家思維的獨到之處，是分析問題、解決問題，形成數(shù)學構想的方法論的依據(jù);其微觀意義是數(shù)學問題的解決過程是不斷地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題到歸結為熟知問題或已解決問題的過程。數(shù)學史上，化歸思想最有代表意義的作品是G•波利亞在1944年發(fā)表的《怎樣解題表》，這張表集中體現(xiàn)了化歸思想在解決數(shù)學問題上的精華。G•波利亞提出了數(shù)學解題思維過程的四個階段:發(fā)現(xiàn)問題、分析問題(擬定計劃)、解決問題(實現(xiàn)計劃)和回顧。這四個階段的思維本質(zhì)是:理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思。在這張表中波利亞用了一系列的問題，啟發(fā)你找到解題路徑。這種思維過程的核心思想就是不斷變換問題、連續(xù)地簡化問題，把數(shù)學解題變成了問題的劃歸過程，最終歸結到熟悉的基本問題予以解決。

3數(shù)學史啟迪

數(shù)學思想方法教育在數(shù)學進程中，數(shù)學家對數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)、解答、求解過程無不體現(xiàn)了數(shù)學思維方式的重要性。數(shù)學史上教育的成敗都揭示了的一個重要的教學規(guī)律是教學的教育性，即在教學過程中揭示教學知識的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)思維規(guī)律，達到培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力的目的。數(shù)學史對傳播數(shù)學思想及方法的運用是一個潛移默化的過程，體現(xiàn)在整個教學過程中。概念的形成、定理、推論的證明、習題的推導過程等，都是體現(xiàn)數(shù)學思想方法的過程。教師在這個過程中抓住機會，教會學生在數(shù)學概念的理解與運用的基礎上逐步形成數(shù)學思維習慣，教會學生在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解答問題的過程中學會數(shù)學方法與概念的運用，使二者互為運用，形成辯證的思維習慣［17］。一部數(shù)學史體現(xiàn)的是數(shù)學家的思想方法的故事。大量的概念、定理、法則的運用都體現(xiàn)在教授的解題過程中，教師講授課程中對數(shù)學思想方法的運用，會使學生在潛移默化中學會“想數(shù)學”“用數(shù)學”，只有這樣學生才獲得終身受益的思想方法，如柯西、牛頓等授課無不如此。數(shù)學方法與數(shù)學概念是數(shù)學思想的高層次的具體表現(xiàn)。定義的表述，體系的嚴格性、完備性都靠老師在教學過程中體現(xiàn)，使學生觸類旁通，養(yǎng)成解決問題的綜合思維能力，是數(shù)學史對實踐教育的重要啟示。

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作者：劉水強 單位：邵陽學院