國外數學畢業基準經驗與啟發范文

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美國文憑項目（TheAmericanDiplomaPro-ject，簡稱ADP）是由美國非營利性民間組織———成就公司（Achieve）和美國教育信托公司（theEd-ucationTrust）及托馬斯•B.福特漢姆基金會（theThomasB.FordhamFoundation）于2004年合作開發，其目標在于建構高中各科畢業基準，即ADP畢業基準。該基準反映了高中畢業生在升學與就業兩方面所應掌握的知識與技能。實踐表明，ADP是一項成功的倡議，它確保所有的學生高中畢業后從容應對所面臨的工作和大學學習的挑戰。到2009年，ADP已開發出高中數學、英語等多個學科的畢業基準，ADP畢業基準已在美國40個州實施和推廣。本文擬以美國高中數學學科為切入口，對ADP畢業基準研究的緣起、ADP畢業基準的建構等方面加以探討，期望給我國研究高中各科畢業基準提供有益的啟迪。

一、美國文憑項目畢業基準研究的緣起

（一）教育政策的推動：基于就業與升學建構

高中畢業基準美國是教育分權型國家，由于各州及各學區的教育委員會直接決定了轄區范圍內的學校教師應該教些什么和學生應該達到什么程度，因此，對具體學校課程標準以及畢業標準的制定產生實際影響的是各州及各學區的教育委員會。［1］雖然美國各州對高中畢業的要求均有規定，但由于各州課程內容的差異，直接給各大學跨州招生、企業雇主跨州招工帶來了困難。同時，在美國仍有許多學生和家長堅持要求學校頒發的高中畢業文憑理應為學生今后學習和就業做好充分的知識和能力準備。但實際上，高中畢業文憑遠遠沒有達到這一基本目標。對大多數高中畢業生而言，美國的高中畢業證僅僅是一個未履行的承諾而已，學生和家長對高中畢業文憑的實際價值缺乏信心；高等院校和企業雇主也對高中畢業文憑所賦予的知識和能力內涵感到不滿意，認為高中畢業證幾乎沒有價值，學生不需要展示學業成績、不需要展示應用知識的能力即可輕易獲得高中畢業文憑。為改變這一現狀，美國教育部制定和強化高中畢業文憑作為一種通用證明的政策。出于高中畢業生在畢業后就業與升學所欠缺的知識與技能的考量，美國在國家政策層面，開始探討制定具有普適性的高中生畢業基準，實施教育質量問責制度，在高中畢業標準和畢業生升學就業所需要的知識與技能之間搭建溝通的橋梁。實踐表明，雖然美國大多數州在過去的10年里一直致力于提高教學水平并對其進行了嚴謹的評估，但ADP確定的畢業標準似乎更加苛刻。例如，目前美國還沒有州要求所有的學生學習“代數Ⅱ”直到畢業。但是ADP研究表明，學生需要了解這些知識，在某些情況下，基于課程標準的知識與技能考試并不能作為國家課程測試的樣本。為恢復利害相關者對高中畢業文憑價值的信心，國家有必要采取必要的政策和措施，來推動高中畢業基準的構建。

（二）實踐的應答：高中普適性畢業基準的研發

美國在對各州大學生的調查中顯示：39%的學生認為，高中所學知識不能滿足于大學期間需要掌握的基礎性知識，其中各大學開設的新生補課班就在一定程度是反映了這一問題。進入大學的學生中至少有28%的學生需要立即補習英語或數學課程。［2］在高中畢業后進入大學學習的學生中，有53%至少要補習一門數學或英語課程。另一方面，高中畢業后直接進入職業學校的學生情況也不容樂觀，有39%的學生認為自己沒有為就業做好充足的準備，與社會的期望和要求存在著較大差距。［3］而用人單位和大學教師對高中畢業生的評價進一步反映了畢業生的整體素質不達標的現狀。雇主們認為有45%的畢業生不具備確保其獲得晉升機會的技能。同樣，大學教師們認為有42%的大學新生沒有做好大學水平課程的準備。［4］上述問題的普遍存在，無疑給美國現有高中畢業文憑的價值帶來巨大的挑戰。因此，研究適應高中畢業生就業和升學的學科畢業基準就顯得非常緊迫而重要。從美國來看，州高中畢業基準的局限日漸突出，難以適應其他州對高中生知識與能力的要求，構建跨州的具有普適性的高中畢業基準，成為美國課程學者面臨的重要課題。

二、美國文憑項目高中數學畢業基準的基本框架

為重建學生與家長、企業雇主對高中畢業文憑價值的信心，從2004年起ADP就著手開發多個學科的高中畢業基準，并加以不斷的完善。其中2009年完善的高中數學畢業基準，即ADP2009高中數學畢業基準最具代表性。ADP高中數學畢業基準分為四個部分，即數感和數的運算、代數、幾何、統計和概率等領域。ADP在建構數學畢業標準過程中規定，不帶有星號的基準代表的內容是針對所有學生的；而由于高等教育學習的需要，某些數學畢業基準被標有重點星號（*），這對大學中與數學密切相關的專業來說，這一內容要求是必要的。下面是構建的ADP高中數學畢業基準的基本框架。

（一）數感和數的運算領域的畢業基準

數感是日常工作和生活中數學運算的基礎。例如，日常生活中比較商品的價錢；購買商品時估算稅金；決定是買還是租一輛汽車更加劃算；合理的理財以便維持日常的收支平衡；理解通貨膨脹時薪水的增長；決定哪里能夠節省投資，并對大眾媒體和新聞報道中出現的各種變化率的概念能夠有較深的理解等等。在此領域，高中畢業生應該掌握如下幾個方面的知識。

1.流暢而準確的計算有理數，不用計算器來計算。如知道加法、減法、乘法、除法和整數、分數加法的意義；計算并運用比率、比例、利率及百分比來解決問題等。

2.認識并會使用絕對值。如知道該點到原點的距離是其絕對值，知道兩數之間的數軸的距離是他們差的絕對值。

3.理解并解決某些問題和方程式。如了解數系需要從整數擴大到有理數（正數、負數和零）。

4.理解計算器和計算機在解決問題時的能力及其局限。

（二）代數領域的畢業基準

代數是有規律地識別產生變化的根源，區分各種變化中的模式，并尋求多重表征（包括語言的、符號的、數值的、圖像的）表達所發生的變化。數學語言能在抽象層面上為就業者提供解決現實問題的知識，如通過利率和預期營業收入來預測儲蓄，知道當建筑面積增加時成本是如何增加的等。在此領域，高中畢業生應該掌握如下幾個方面的知識。

1.對代數式進行流暢而準確的基本運算。如了解整數指數和根的屬性，并運用這些屬性，以簡化代數式的目的；了解指數式的性質和應用這些屬性，以簡化代數式；多項式的加法，減法和乘法；通過提取公因式來分解多項式；二次多項式的因式分解；有理數表達式的加、減、乘、除法以及簡化運算；給定變量的值求多項式；*推導和使用公式求通項公式以及對有限四則運算及幾何級數求和，對無窮幾何級數求和。

2.了解函數的功能、表達式及屬性。判別以符號或圖像的形式給出的關系是否是一個函數；*確定無論是用符號或圖像所表示的一個函數值域；理解函數符號并在其指定的定義域上的某點求函數值；*知道指數函數的反函數是對數函數，用其反函數的性質來證明對數基本性質并應用這些屬性來解決問題。

3.應用基本代數運算求解方程和不等式。求解線性方程組和含有一個變量的不等式組（包括那些涉及絕對值的線性函數）；求解涉及多個變量的方程，其變量一個依賴于另一個；求解含有兩個變量的兩個線性方程組（二元一次方程組）；求解含有三個變量的三個線性方程組（三元一次方程組）；求解含有一個變量的二次方程組（一元二次方程組）。

4.用曲線表示若干含有兩個變量的方程和不等式，闡明圖像的代數性質和其幾何屬性間的關系，并解釋這樣一個圖像；*用曲線表示橢圓和軸平行的雙曲線，并闡明其標準代數形式及其圖像性質之間的關系；用曲線表示指數函數并確定其關鍵特性；從曲線中讀取信息并下結論，確定曲線的性質，并且用該曲線反映原始問題的有用信息。

5.通過將給定的語言信息轉化成適當的數學模型從而解決問題，這些涉及到方程或者方程組的情形；應用適當的數學方法來分析這些數學模型；并且以書面形式作答及使用適當的計量單位。識別并解決可以歸入這樣一類模型的問題：一元線性方程中只含時間、比率、距離等一元變量的問題；識別并解決可歸結為一元二次方程模型的問題；識別并解決利用一元二次方程解在重力作用下的自由落體運動的問題；識別并解決利用指數函數模型計算復合利率的問題；*識別并解決指數函數方程但需要借助對數計算器，比如指數增長和衰減問題。

6.理解二項式定理及其與組合學、楊輝三角形、概率間的聯系。

（三）幾何領域的畢業基準

幾何能促使畢業生理解空間結構和空間關系。例如，找出使一個超大物體通過一扇門的最優方法；決定如何設計一個房子以使其居住空間最大，所用木材成本最小；比較包含不同包裝形狀的產品等等。幾何測量是量化世界的基礎，蓋房、利用地圖和測血壓都需要某種形式的測量。測量可以培養學生的精密度及準確度，他們還要學會找出潛在的和實際的測量誤差，并了解這些誤差是怎樣在計算中產生的。研究表明，幾何的學習對學生就業具有很好的幫助。在此領域，高中畢業生應該掌握如下幾方面知識。

1.了解在數學邏輯結構（尤其是在幾何）里不同角色的公理、定義和定理。如識別并解釋定義、定理和公理的必要性并給出例子；陳述和證明幾何學關鍵的基本定理，三角形的中位線平行于第三邊并等于第三邊的一半；了解除了歐幾里德公式之外的幾何，平行公設是不成立的。

2.識別和應用直線和角的相關定義并用來驗證歐氏幾何中的定理，解決相關問題、并用尺規完成基本的幾何作圖；識別和應用有關平行線的性質和原理，證明平行于同一條直線的兩直線相互平行，并完成這類作圖；識別和應用正交線的相關原理和性質并用它們來證明相關定理。

3.知道相似三角形的基本定理，并用它們證明其他定理并解決問題。

4.知道圓的基本性質并用它們來證明基本定理并解決問題。

5.運用勾股定理和逆定理以及特殊直角三角形的性質來解決問題。

6.使用剛性移動如反射、平移和旋轉，以確定兩個幾何圖形是否全等，并創建和分析幾何設計。

7.知道圖形的相似性，并使用比例系數來求解問題。

8.知道幾何圖像尺寸（長度，面積，周長，體積）依賴于單位的選擇，并且所測量的尺寸只是物理對象的近似值，計算時要相對于同一基準面測量，而且圖像要固定。

9.給出二維圖像時，要能想象出三維空間中的實體或曲面（如網、多視圖）并且為三維實體的表面創建二維圖像。

10.利用坐標系描繪幾何物體和數字代數，利用代數學解決幾何問題。通過斜率的概念來解釋直觀概念“傾斜”，依據坐標中直線上的兩點來確定其斜率，并用斜率概念解釋直線的平行和垂直；用一個直線方程來描述一條線；利用兩點的坐標和勾股定理求兩點間的距離；*給定圓的圓心和半徑求其方程，給定圓的方程求其半徑和圓心。

11.了解基本直角三角形并運用它來解決問題。理解直角三角形在可以用邊的比率來定義正弦、余弦和正切函數上的相似性并能用這些方程解決問題；在給定一銳角和另一邊長的情況下，應用正弦、余弦和正切函數求直角三角形某未知邊；運用計算三角形面積的標準公式來解釋面積。

12.知道三角函數是如何在實數軸上擴展成周期函數的，從這些函數中導出基本公式，并用這些函數和公式解決問題。

（四）統計和概率領域的畢業基準

研究表明，許多工作都需要工作人員有快速的分析、解釋、描述數據的能力并創造出視覺性數據———圖表、圖解，以便讓人們可以簡潔準確的做出判斷，這就需要學生學習統計和概率的內容。在此領域，高中畢業生應該掌握如下幾方面知識。

1.解釋和運用定量的信息。如使用適當的方法組織并顯示數據（包括電子數據表）以檢測模式和模式偏差；閱讀并解釋表格、條形圖和曲線圖；計算和解釋概率統計，得到數據的分布。

2.解釋并評判呈現及利用信息的各種方式。評價發表在媒體上的數據報告，考察數據的來源、研究的構思以及數據分析和展示的方式；對誤導使用的數據進行識別和解釋；當參數是基于數據時，識別混淆了的相關關系和因果關系。

3.解釋數據的使用及統計思想，擬定推論、做出預測并證明結論。能夠解釋取樣方法、數據收集過程中問題的表達形式，并能得出正確的結論；設計簡單的實驗或調查，從而收集數據來回答自己感興趣的問題；解釋隨機試驗和觀察性研究之間的差異；形成一個配對的數據集散點圖。

4.說明和運用概率的概念來計算樣本概率。解釋如何量化在數量上發生概率事件的可能性；解釋某事件的特定結果的相對頻率如何能用來估計這種結果的概率；解釋大數法則如何能應用于簡單的例子；應用概率概念來計算樣本概率；應用概率概念對實際情況做出明確的決策。

三、美國文憑項目數學畢業基準的啟示

美國通過高中畢業文憑項目研究，構建高中數學等學科的畢業基準，為提高美國高中畢業生的質量提供了依據，這對我國研究高中畢業文憑的質量和內涵具有很好的借鑒意義。

（一）構建高中畢業基準要充分體現升學與就業的需求目前，美國高中文憑項目在州畢業基準的基礎上，從升學與就業兩方面需求，開發全國性的高中各學科畢業基準，以滿足美國社會經濟發展對高中畢業生質量的要求。ADP數學畢業基準在研發過程中充分匯集了大量企業雇主、大學教師、教育專家、課程專家、基礎教育一線教師的智慧，著眼于學生的升學與就業，經過科學、嚴謹、反復修訂與實踐而制定的。這可以看出，升學和就業要求是其構建高質量高中畢業基準的重要視域。而我國高中課程標準所體現的仍然是一種比較典型的知識中心主義課程，課程實施仍以“應試———升學”為導向，尤其是數學課程，帶有濃厚的專業化傾向，過分注重知識體系本身的邏輯性與結論的一致性，忽視了數學知識本身所具有的應用價值，導致學生所學知識與就業和升學需求相偏離。這表明，我國高中畢業文憑還不能很好地反映學生升學與就業的需求，學生畢業后對升學與就業的不適應也就在所難免。借鑒美國的經驗，我國在制定高中畢業標準時，應改變以往依靠專家組成員的觀點制定統一的標準，要充分融合各個領域人士的建議與需求。如企事業單位的人事部門主管、大學教師、教育專家以及學生自身的需求，從而更好地為高中生升學與就業做好準備。

（二）構建高中畢業基準應立足于本土化研究表明，美國是教育分權制國家，各州、各學區、各學校對高中畢業基準制定具有很大的自主權，各州都擁有本州特色的畢業基準，國家及其他組織機構制定的畢業基準只起到參考作用。這在一定程度上暴露了美國高中畢業基準的不足，即難以實現跨州就業和升學的要求。ADP畢業基準的研發，就是在充分考慮并結合各州高中畢業標準的特色的基礎上，為各州學生制定的一套具有普適性畢業基準，進而體現美國社會經濟發展對高中畢業生的知識與能力的要求。我國是教育集權制國家，充分考慮我國與美國基礎教育的差異，應該結合我國實際，從本土化視野制定適應于我國教育體制的高中畢業基準。一方面，我國制定的課程標準，既是高中課程實施的根據，也是高中學生畢業的基準，這在一定程度上，導致我國判斷高中畢業文憑質量的根據不足。究其原因，這與我國課程標準結構中缺失畢業基準是直接相關的。因此，構建本土化的高中畢業基準已成為我國課程改革中的應然選擇。另一方面，我國幅員遼闊，民族眾多，各地經濟發展不均衡。因此，課程研究者和政策決策者應考慮各區域的特色和差異性，制定適應不同省情和區域經濟發展的高中畢業基準，充分滿足不同地區對高中畢業生就業與升學的需求。