數學教學開導藝術范文

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啟發是教學得法的基礎和條件。啟發的藝術是研究教學過程的重要組成部分。在實際工作中，啟發常常被認為與問答等同，以為啟發就是問答，進行問答教學，也就是進行啟發教學了，這當然是一種誤解。啟發與問答是不同的，問答充其量是啟發的一個部分，而啟發則除了問答藝術外，還有講授、討論、演示等藝術，這些方面也有啟發的藝術內涵。因此，啟發藝術是表現在教學各個方面的廣泛的藝術范疇。

1啟發藝術的涵義

“啟發”一詞，來源于我國古代教育家孔子教學的一句格言：“子曰：‘不憤不啟，不悱不發。舉一隅不以三隅反，則不復也。’”朱熹對此解釋說：“憤者，心求通而未得之易；悱者，口欲言而未能之貌。啟，謂開其易；發，謂達其辭。”后來，人們概括孔子的教學思想，也吸取朱熹的注釋，就合稱為“啟發”或“啟發式”。從孔子的話和朱熹的解釋來看，“啟發”主要指教學的表現形式藝術，強調教學的適度性和巧妙性。對于這一點，《學記》給予了更深刻的具體說明：“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。”意思是：引導學生，而不牽著他們的鼻子走，積極鼓舞和督促學生，而不強迫抑制他們，啟發學生獨立思考，而不越俎代庖，立即把現成的結論告訴他們。在這里，“啟發”具有引導、鼓勵、啟迪等涵義，啟發的藝術表現在引導、鼓勵和啟迪等方面。綜上所述，我們認為，啟發的藝術是指教師根據教學的規律和學生的發展水平與需要，適度巧妙地給學生以啟迪、開導、點撥，幫助他們獨立思考，創造性地完成教學任務。

2啟發的要素

啟發是一項系統工程，它主要包括啟發情境、啟發材料、啟發時機和啟發力度等要素。2.1啟發情境學習起源于新的學習情境。合適的情境應該引起學生原有的數學認知結構和新的學習內容之間的認識沖突，打破學生的心理平衡，使他們從內心深處產生學習新知識的需要，引起最強烈的思考動機和思維定向。學習情境首先要具有環繞性。“情境必須和學習者及其面臨的問題有關，即環繞人——題系統產生。情境使人接觸、感受和產生問題所促成的思維活動，把問題內化，成為學習者自己的問題。”學習情境還要具有恰當性，即始終保持在欲知未知，半生不熟的中等強度上。

2.2啟發材料根據學習的認知理論，數學學習過程是新的學習內容與學生原有的認知結構相互作用形成新的認知結構的過程。學生原有的數學認知結構和新的學習內容的相互作用有兩種最基本的形式：同化和順應。同化是把新內容直接納入原有的數學認知結構；順應是改造原有的數學認知結構以適應新內容的需要。用瑞士心理學家皮亞杰的話說，“刺激輸入的過濾和改變叫同化；內部圖式的改造，以適應現實，叫順應。”啟發應根據新問題與學生原有認知結構的不同關系提供不同的材料。當新學習材料或問題與學生原有認知結構的關系是同化關系時，則啟發應選擇能喚起對舊知識回憶、重組和再造的材料，在新舊知識的連接點上著力；當新學習材料或問題與學生原有認知結構的關系是順應關系時，則啟發應選擇提供先行組織者材料，讓學生通過先行組織者材料對新學習內容有相關體驗和思考，從而為學習新內容做好鋪墊。

2.3啟發時機啟發時機的選擇和把握直接影響啟發的質量和效果，內因是變化的根據，外因是變化的條件，外因通過內因起作用。對學生進行啟發，必須在其對問題感知體驗和思考的基礎上進行，離開了學生主體自身的積極思維活動，啟發就會成為無源之水，無本之木。當然也就很難達到預期的目的。一般而言，啟發應在學生思維的停滯處、連接處、轉彎處、疑難處進行。

2.4啟發力度啟發的力度即是啟發的適度。它建立在對學情的準確把握上，只有對學情的準確把握，才能有的放矢，具有較強的針對性和有效性。教師的啟發是為學生思維建立思維場，引發學生思維，而不是把現成結論告訴學生。啟發的最終目的是達到學生的頓悟、理解、豁達和內省，因此，在啟發的過程中，教師要注意點到為止，為學生的思維留下空間。做學習過程的引導者、合作者和欣賞者，把學生置于學習的主體地位。

3啟發的方法

3.1誘引法誘引是一個藝術過程，這個過程一般分這樣幾個步驟：（1）呈現誘引因素，讓學生感受，這是展示、刺激階段。在這個階段，學生受好奇心、求知欲等因素的促動，把注意力、思維力轉向誘引方向；（2）誘引因素的某種特質使學生由好奇轉入興趣，并持續關注；（3）興趣轉化為思考活動，思維機制開動起來，或者是興趣轉化為情感，使情意活動激活起來；（4）思維或情意活動達到一定的程度，有了足夠的動力，即轉化為外部行為，從而使教學產生活力。在這些步驟中，教師始終起著“啟發師”的作用。誘引因素的選擇因教學的不同需要而定。誘引因素一般可分為兩種，一種是認知性的，一種是情感性的。認知性的誘引因素有如下幾種：（1）示范。包括教師的示范，杰出科學家、名人、優秀學生的示范等。這主要表現在對一些特殊問題或例題的解答上，通過解題，給學生以某種啟迪，引發思考，再讓學生獨立解題。例如，可以將高斯獨創性地解答“1＋2＋3＋．．．＋100”這一問題為示范誘引因素，來啟發學生打破常規的解答方法和程式，進行創造性思考和學習。（2）例證。包括正面的例證和反面的例證，可以啟發學生進行正、反向思維活動。在教學中，可針對學生學習過程中容易發生的錯誤，選編一些題目，有意制造一些“陷井”，讓學生解答，然后要學生自己總結經驗教訓，從而引發學生深入思考。這是有益的反例誘引，它常常比正面誘引因素更富有啟發作用。典型而通俗的例子，本身就是教學中的“舉一”，能引起學生積極思考，使學生獲得“反三”的能力。（3）展望性誘引因素。用于指示學生的思考方向。它是對問題的前景進行描述，指出它解決的可行性和重要性，使學生對此產生興趣，進而朝這種解決問題的前景努力。（4）探究性誘引因素。當學生的思維發展到某一點上出現停滯時，可給學生列舉一些矛盾現象及其線索，提出一些設想，讓學生產生探索的興趣，從而進行創造性的思考，直到突破停滯，獲得新的發現。情感性誘引因素常用的有如下幾種：（1）富有感染力的情境。用于刺激和感染學生，觸發情意活動過程。（2）富有情感的語言。用以打動學生，誘發其情意活動。（3）傳情達意的表情、手勢。以它誘發和啟動學生的情意活動，往往能收到很好的效果。

3.2比喻法比喻法即舉出學生早已熟悉的事物，以幫助學生明白不熟悉的事物。運用具體的生動的事例比喻，具有使人豁然開朗、茅塞頓開的功效。因此，我國古代有“能博喻者方為師”之說。運用比喻法的基本要求是：第一，要明理。就是使用的比喻能把要表達的道理明白清楚地表達出來，使學生一目了然，豁然貫通。這就要求比喻貼切、適當，作比的事物（喻體）與被比的事物（主體）有內在聯系。第二，要啟思。即使用的比喻不僅能把道理明白地表達出來，而且能引起更深更遠的思考，使人受到啟迪，獲得比喻以外的收益。第三，要有趣。即比喻在明理、啟思的同時，還要生動形象、幽默詼諧，給人以快樂。教學中的比喻，大致分為這樣幾種：（1）用淺顯事例比喻深奧道理，化深為淺。例如，著名數學家陳景潤中學時代的老師沈元在向他介紹“哥德巴赫猜想”時，就使用了這種比喻：“自然科學的皇后是數學，數學的皇后是數論。哥德巴赫猜想則是皇冠上的明珠。……”（2）用簡單的事物比喻復雜事物，化繁為簡。劉徽、祖沖之對球體積公式的推導就是著例。這篇論證，所涉圖形及辨辭不能說不復雜，但后人能理解其用意，終至補繪成圖，這不能不說是語言直觀的結果。全文所說“立方棋”、“牟合方蓋”、“內棋”、“外棋”、“陽與、倒而立之”……，一系列助人理解的事物形象，都是比喻恰到好處之作。（3）用熟悉的事物比喻不熟悉的事物，化生為熟。例如，概率統計中的完備事件組是對立事件的推廣，也是推導全概率公式的重要基礎概念，但學生理解卻有困難，教學這一概念時，教師可用學生所在班級的分組來比喻，指出一個班的各個組就是一個完備事件組。這樣就將新知識納入了學生的熟悉領域，借助對這一具體完備事件組的剖析，再來理解歸納概括完備事件組的特征就容易了。

3.3點撥法點撥法是啟發教學藝術常用的方法。“點”就是給學生某種啟發性指示；“撥”就是為學生撥開學習上的迷霧，使學生看到希望、光明和前途。點撥法在本質上是富有啟發性的。點撥的關鍵是符合學生的需要。在學生需要時給予點撥，猶如雪中送炭，能收到十分滿意的效果。點撥法可歸納為如下幾種：（1）借例點撥。即借某種具有啟發作用的事例進行點撥，使學生頓悟。例如，學生在高等數學中學習連續函數的概念時，對這一等式的內涵往往理解不深，教師可作如下點撥：這一等式的左邊是什么？（極限），右邊是什么？（函數值）這一等式說明了什么？（連續函數求極限的問題可以轉化為求函數值的問題），進而讓學生體會到化未知為已知，化復雜為簡單，化生疏為熟悉的化歸思想并在這一過程中感受到數學的聯系美。（2）借題點撥。即抓住學生存在的一個問題，借題發揮、啟發，達到對學生進行教育的目的。例如，湊微分法是計算不定積分的基本方法之一，為了使學生對湊微分法的實質和重要性有較深刻的認識，教師可選用這樣一道題：“求不定積分”，這道題可以用不同的方法湊微分：解法1：；解法2：；解法3：學生對于這道題的三種不同解法容易產生疑問，這時，教師適時點撥：這三種結果都對嗎？，在不定積分中怎樣檢驗計算結果是否正確？由此，我們可以得到什么結論？這一系列源于學生疑問的提問引起了學生的好奇，打破了學生的心理平衡，啟動了學生的思維并將其引向深入。（3）借勢點撥。即借助于學生的思維定勢或思想的動向，及時點撥疏導，給予啟發，達到教學目的。例如，歸納推理是數學思維的基本形式之一。為了使學生掌握這一思維形式，不僅要求教師在教學中作出示范，而且要求教師教學有關公式時自覺體現歸納推理的過程，潛移默化。這樣做，比較經濟。例如在教學復合函數的鏈式求導法則時，遵循歸納推理的教學思維邏輯，可從探求復合函數的求導法則入手，在學生利用兩個函數乘積的運算法則計算出，等復合函數導數的基礎上，提出如下問題：(1)由，，能歸納出的求導公式嗎？應用歸納出的結論求出，的導數；（2）能用語言表達的求導法則嗎？（3）能將這一法則推廣到一般復合函數的求導上去嗎？這樣圍繞所提問題，通過學生自身的計算探究活動，使學生獲得復合函數鏈式求導法則的感性體驗和感性認識，最終促使學生認識的升華。這樣的借勢點撥，可以啟迪學生掌握探求規律的方法和解決問題的策略。

3.4類比法類比是根據兩個不同對象在某些方面的類同之處，猜測這兩個對象在其它方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方法。類比推理在數學中的應用極為廣泛，也極富啟發性。主要體現在下列三個方面：發現新的命題乃至新的數學分支；發現解決問題的途徑和方法；實現舊知識對新知識的遷移，在新、舊知識之間建立起聯系，使學生形成良好的認知結構。運用類比法進行啟發的大致步驟為：尋找類比對象、類比、預測和猜測、按目標確定解題途徑和方法。類比的方法多種多樣，其中生疏與熟悉的類比、復雜與簡單的類比、未知與已知的類比是最常見的。（1）生疏與熟悉類比。對于某一數學問題，如果我們暫時不知道如何求解，但發現這一問題的某些部分（條件、結論、圖形等）與我們熟悉的另一問題相類似，則可將兩者加以類比，看能否把解決后一問題的方法移植過來，并逐步消除可能出現的差異，最后找到解決原問題的方法。（2）復雜與簡單類比。數學中常有這樣的情況，從一些簡單的問題引出的結論，可以推廣到更復雜的情況去；反過來，本來是比較復雜的問題，可先研究與之相應的簡單情況，通過類比，看這個復雜問題是不是簡單問題的推廣，能否參照解決簡單問題時所用的方法來解決復雜的問題。例如，多元函數的微分學可以看成是一元函數微分學的推廣，反之，一元函數微分學可以看成是多元函數微分學的特例，因此，在教學多元函數微分學時，可充分利用類比的方法對學生進行啟發。（3）未知與已知類比。在系列問題中，常常要將待解的題與前面已經解過的題進行類比，從而使學生受到啟發，找到解題思路。例如，高等數學教學中，講函數極限的概念和性質時可與數列極限的概念和性質進行類比，在講二重極限的概念和性質時，可與一元函數的極限概念和性質進行類比，通過類比，不僅減少了新知的學習難度，而且使新、舊知識精確分化，便于儲存、便于提取、便于應用。