投資組合保險策略收益保證的定價范文

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《管理科學學報雜志》2015年第七期

投資組合保險(portfolioinsurance，PI)是一類動態投資組合管理技術，它使得投資者的投資組合在投資期限到期時或期間某一時點的價值不低于某個事先設定的值(通常是投資期初資產價值的某個百分比)．由于PI策略為投資者實現既定保值目標提供了易于操作的工具而為廣大投資者尤其是機構投資者所青睞．基于期權的投資組合保險(option-basedportfolioinsurance，OBPI)策略與固定比例投資組合保險(constantproportionportfolioinsurance，CPPI)策略是最常用的兩種PI策略，為市場中大多數收益保證類金融產品，如保本基金、銀行結構化理財產品、保險類理財產品等，所采用．例如，據劉海龍等［5］的統計，我國20只保本基金中有19只采用CPPI策略作為自身資產配置的唯一或主要策略．OBPI策略常常需要運用標的資產來復制所需的期權，考慮到新興金融市場中存在諸多交易限制，如融資成本較高、禁止賣空或允許賣空的證券品種非常有限以及賣空成本高昂等問題，該策略的運用非常有限．

盡管CPPI策略具有簡單、可控以及富有靈活性等優點，該策略只能對本金進行保護，而未能對投資期內的收益或資本利得進行保護．針對CPPI策略的不足，學者們在該策略的基礎上相繼提出了一些改進策略，最流行的當屬Estep和Kritzman提出的時間不變投資組合保護(time-invariantportfo-lioprotection，TIPP)策略．TIPP策略提出應該在市場處于上升行情中提高策略價值底線(floor)以便對投資期間的收益進行保護．收益保證類金融產品的投資者常常要向產品的發行機構或管理機構繳納一定比例的管理費和保本費．保本費是第三方提供到期償付能力擔保的費用，該費用可視為收益保證服務的市場價格．不管對收益保證進行擔保的機構還是對收益保證產品的投資者而言，如何確定一個合適的保本費用(率)是一個十分重要的現實問題．保本費率定的過低不足以補償擔保方所承擔的風險，定的過高則會損害收益保證產品投資者的利益并降低產品的吸引力．對收益保證服務的定價是否適當的評定則至少需要在理論上對收益保證服務提供一個定價基準．對于通過采用CPPI策略與TIPP策略配置資產的收益保證產品而言，主要有兩類因素會導致到期時投資組合市值低于期初設定的收益保證水平，即會誘發缺口風險(gaprisk):非連續交易(discon-tinuoustrading)與資產價格向下跳躍(downwardjump)．而缺口風險直接影響第三方提供償付能力擔保的費用并最終體現為較高的保本費率，因此更加貼近實際的定價研究必須考慮非連續交易與資產價格存在跳躍的情形．

連續時間市場環境下將價格跳躍考慮在內對PI策略進行的研究還非常少．Prigent和Tahar考察了CPPI策略的一個變體:對緩沖額(cush-ion)進行額外保險的情形，即每當投資組合的價值到達給定的底部水平(floor)，投資者就會獲得固定數額的支付．Prigent和Tahar給出了對緩沖額進行額外保險的價值，并將分析擴展到風險資產價格服從有限跳躍(finite-activity)Levy過程的情形．而Cont和Tankov則在更為一般的情形下考察了CPPI策略的觸底概率、期望損失以及損失的分布．Cont和Tankov證明了在風險資產價格存在跳躍情形下即便投資者可以連續交易，缺口風險總是存在的．國內對PI策略的研究主要集中在策略績效的實證評估上，如杜少劍等［11］、陳湘鵬等、劉鵬和史本山等．王亦奇和劉海龍在純擴散模型假設下結合CPPI策略對多期收益保證的價值進行了測算．目前還未看到在跳躍擴散模型假定下對PI策略進行研究的國內文獻．總體上，國內外對資產價格存在跳躍情形下的PI策略的研究還很少．

本文考察在隨機利率金融市場中當風險資產價格存在有限跳躍情形下運用CPPI策略與TIPP策略配置資產時收益保證的定價問題，并考慮借款限制對收益保證定價的影響．本文的研究是對Cont和Tankov、王亦奇和劉海龍［14］等研究的擴展．Cont和Tankov未能考慮借款限制對收益保證價格的影響;王亦奇和劉海龍假定風險資產價格服從純擴散模型因而未能考慮資產價格的跳躍對缺口風險進而對收益保證價格的影響．本文的研究與另外一大類對收益保證價值進行測算的文獻相聯系但與后者又存在顯著差別．對收益保證價值的測算研究大多不考慮投資策略的選擇對投資收益進而對收益保證價值的影響，即收益保證價值的測算與投資策略的運用是分離的．Chang等是該方面研究的一個新近例子．由于綜合考慮了資產價格跳躍、隨機利率以及借款限制等對收益保證定價的影響，相對于已有的研究，本文對收益保證的定價研究更加貼近現實因而對現實市場中收益保證產品保本費用的確定具有更強的指導意義．一方面，對于為收益保證產品提供擔保的機構來說，本文的分析結果可以為其確定保本費用(率)提供直接指導;另一方面，不同策略下收益保證成本的比較結果可以為收益保證類金融產品的發行方或管理方選取合意的資產配置策略以及策略參數提供有力的指導．而資產配置策略以及策略參數的選擇可以控制向投資者收取的保本費用(率)并最終增強產品的吸引力．

1模型

1．1市場假定假定無摩擦市場中有兩種資產可供連續交易:保守性資產(reserveasset)與風險資產(activeasset)．根據Black和Jones［2］對保守性資產與風險資產的定義以及投資上的可操作性，本文選取貨幣市場賬戶作為保守性資產，選取股票作為風險資產．假定風險資產在投資期內未派發股利或其他現金流。為了考慮價格跳躍因素對收益保證價格的影響，本文采用有限跳躍Levy過程來對風險資產價格進行建模．但出于比較的目的，本文將首先考察風險資產價格服從GBM過程情形下的收益保證的定價問題，該簡單情形下的結果可以作為比較基準(benchmark)以彰顯價格跳躍風險的引入對收益保證價格的影響．根據Levy-Ito分解公式，任何一個有限跳躍Levy過程均可表示為一個帶漂移的布朗運動與有限個獨立泊松過程之和相疊加的形式．與不考慮股利的情形相比，二者只是漂移項稍有不同而已．可見，連續派發股利情形下的研究除了分析上稍稍繁瑣些以外，并未增加多少洞見(insight)．

1．2投資組合模型CPPI策略的基本原理是將資產的一部分配置在保守性資產上并將剩余部分資產或者稱為緩沖額(cushion)加杠桿放大后投資在風險資產上，以期通過保守性資產取得本金的保護并通過風險性資產取得市場上升行情中的收益．CPPI策略旨在對本金進行保護而未能對期間的收益進行保護．TIPP策略則提出對CPPI的價值底線(floor)進行修改，認為應在市場處于上升行情時調高價值底線而在市場處于下行行情中保持原有的價值底線．

1．3收益保證的定價根據第1．2部分的假定，投資期末收益保證的支付(payoff)為max{G－AiT，0}，i∈{CPPI，TIPP}．由該支付的表達形式不難看出，收益保證等同于一個歐式看跌期權．但該看跌期權并非普通香草(plainvanilla)型期權，因為投資組合的市值過程具有路徑依賴性(path-dependency)．由風險中性定價理論，該收益保證的價格。由方程(12)與(13)或方程(15)與(16)可以看出Ait的表達式是較為復雜的分段形式，這將無法得到收益保證價格的封閉解．本文第2部分采用數值算例來揭示模型參數及借款限制對收益保證價格的影響．當CPPI策略的乘數等于1時，對應的策略為買入持有(buy-and-hold，BH)策略;當CPPI策略的乘數介于0與1之間，且價值底線為0時，對應的策略為固定混合(constant-mix，CM)策略，且CM策略在風險資產上的配置比例參數對應CPPI策略乘數．由于本文假定隨機利率與絕對收益保證，即便是在BH策略與CM策略下收益保證也無封閉形式的定價公式．王亦奇和劉海龍［14］文獻中CM策略下封閉形式的定價公式依賴于其采用的盯住短利率rt的相對收益保證的設定形式．但應該注意到的是，我國金融市場中幾乎所有的收益保證產品皆為單期絕對收益形式．出于說明或示例的目的，本文提供單期相對收益保證設定下CM策略收益保證的封閉形式定價公式，如命題1與命題2所示②．命題1假定金融市場的短利率rt由式(3)刻畫，保守性資產價格Bt與風險資產價格St分別。

2數值分析

由于投資組合模型的復雜分段形式，無法得到各策略下收益保證封閉形式的定價公式．本部分通過數值算例來揭示模型參數的變動以及借款限制對收益保證價格的影響．本文數值分析的核心是模擬生成瞬時短利率rt與投資組合市值Ait的若干路徑．連續時間金融市場中常用的短利率模型有Vasicek模型［20］與CIR模型［21］．由于Vasicek模型會產生與市場觀測不符的負利率，故本文采用CIR模型來刻畫市場短利率．CIR模型下，rt服從如下平方根(square-root)過程。由Merton［16］引入的LNJD過程是金融領域最早的跳躍擴散模型，該模型可解釋經驗研究中廣泛存在的資產日收益率的非對稱尖峰厚尾特征(asymmetricleptokurticfeature)與期權定價中的波動率微笑(volatilitysmile)現象，再加上其自身的簡便性，該過程廣泛應用于連續時間條件下的金融市場研究．本部分便采用LNJD過程來對風險資產的價格進行模擬．令Y=ln(K)．，假定期初投資額為1000，即A0=1000．令投資期限為1年，即T=1，步長為0．004，即每年模擬250個交易日觀測，模擬產生70000條樣本路徑③．鑒于Ait的復雜表達形式，本文采用歐拉離散化(Eulerdiscretization)方法來對其進行模擬．模擬采用的參數值如表1所示．值得注意的是，本文設定的模型包含較多參數，考察每一個參數的變動對收益保證價格的影響將費時且計算成本較高，這是由于相對于連續樣本路徑的隨機過程而言，帶跳隨機過程假定下定價模型的數值計算往往需要模擬更多的樣本路徑才能得到收斂的結果．由于收益保證水平G、策略乘數m，底部百分比參數f以及借款限制是影響收益保證價格的重要因素，本文數值模擬著重考察收益保證價格與這四個因素之間的關系．由于CPPI策略收益保證所內嵌的看跌期權在本質上是一個波動率產品［9］，本文還將考察風險資產價格的波動率σS對收益保證價格的影響④

2．1收益保證價格與策略乘數圖1報告了CPPI與TIPP策略收益保證的價格(Ci，i∈{CPPI，TIPP})與策略乘數(m)之間的關系．圖1(a)－(d)的結果表明，無論是否存在借款限制，1)風險資產價格連續變化時，CPPI策略與TIPP策略皆不存在缺口風險，CPPI策略與TIPP策略收益保證的價格皆為0，策略乘數的變化不影響收益保證價格;2)風險資產價格存在跳躍時，CPPI策略與TIPP策略收益保證的價格皆隨著乘數的增大而上升;3)風險資產價格存在跳躍時，CPPI策略與TIPP策略收益保證的價格均大于GBM假定下的價格，且二者之間的差異隨著乘數增大而增加．可見，傳統GBM假定下對收益保證的定價研究低估了收益保證的缺口風險從而致使其定價偏低，而對收益保證估值偏低會損害對收益保證進行擔保的機構的利益，因為其所收取的保本費不足以補償其所承擔的缺口風險．當風險資產價格出現跳躍時，CPPI與TIPP策略收益保證的價格會隨策略乘數的提高而上升，且乘數越大其上升的越快．這表明，乘數的選取是控制策略缺口風險進而控制收益保證價格的重要因素．收益保證類金融產品的發行者或管理者可以通過選取適當的策略乘數來控制向投資者收取的保本費用以增強產品的競爭力．將圖1(a)與圖1(c)進行比較不難看出，當風險資產價格連續變動時，借款限制對CPPI策略收益保證的缺口風險從而對收益保證的價格沒有影響;但當風險資產價格出現跳躍時，借款限制顯著降低了CPPI策略收益保證的缺口風險，從而顯著降低了收益保證的價格．這比較容易理解:當存在借款限制時，CPPI策略投資于風險資產的頭寸受到限制，從而投資組合對于價格向下跳躍的風險敞口受到抑制，收益保證所面臨的缺口風險也會顯著下降，最終收益保證的價格就會相應下降．圖1(b)與圖1(d)的結果表明，不論價格是否存在跳躍，借款限制對TIPP策略收益保證的價格不產生影響．由于TIPP策略的價值底線棘輪式上升(ratchetup)，投資期內的收益或資本利得已經經由該機制導入到保守性資產中，從而投資于風險資產的比重已受到抑制，這使得借款限制對于TIPP策略的影響遠不如像對CPPI策略那樣顯著．將圖1(a)與圖1(c)分別與圖1(b)與圖1(d)進行比較，不難看出，TIPP策略下收益保證的價格顯著低于CPPI策略下的價格，至少從降低保本費用的角度來看，TIPP策略要優于CPPI策略。

2．2收益保證價格與收益保證水平圖2給出了CPPI與TIPP策略收益保證的價格(Ci，i∈{CPPI，TIPP})與收益保證水平(G)之間的關系．從圖2(a)－(d)的結果可以看出，無論是否存在借款限制，當風險資產價格服從GBM過程時，TIPP與CPPI策略收益保證的價格皆為0，收益保證水平的變動對收益保證價格不產生影響;當風險資產價格服從LNJD過程時，TIPP與CPPI策略收益保證的價格隨著收益保證水平的上升而上升．可見，其他條件保持不變，收益保證水平設定的越高，投資組合對于價格向下跳躍的風險暴露就越容易引致缺口風險，從而會使收益保證的價格上升．將圖2(a)與圖2(c)的結果進行比較，不難看出，考慮借款限制后，LNJD過程假定下CPPI策略收益保證的價格較不存在借款限制時明顯下降，這是由于借款限制使得CPPI策略變得更為保守所致．圖2(b)與圖2(d)的結果則反映出，借款限制對TIPP策略收益保證的價格與收益保證水平之間的關系未產生任何影響．

2．3收益保證成本與風險資產波動率圖3報告了風險資產價格波動率(σS)的變動對收益保證價格(Ci，i∈{CPPI，TIPP})的影響．從圖3(a)－(d)的結果來看，無論是否存在借款限制，(1)風險資產價格連續變動時，CPPI與TIPP策略收益保證的價格均為0，風險資產價格波動率參數的變動對收益保證價格不產生影響;(2)風險資產價格存在跳躍時，CPPI與TIPP策略收益保證的價格均大于0，并且CPPI與TIPP策略收益保證的價格不隨風險資產價格波動率的變動而變動．可見，如果風險資產價格是連續變動的，連續交易總可以使得投資組合的市值不低于價值底線，即連續交易可以化解風險資產價格的連續波動所可能引致的缺口風險．但當風險資產價格存在跳躍時，價格跳躍時點上連續交易也無法消除(向下的)價格跳躍所引致的缺口風險［9］．本文假定風險資產價格的連續部分(布朗運動)與非連續部分(價格跳躍)是相互獨立的，于是，從圖3(a)－(d)中兩條曲線之間的差異可以清晰直觀地反映出價格跳躍的引入對收益保證價格的影響．

2．4收益保證成本與TIPP底部百分比參數圖4給出了TIPP策略收益保證的價格(CTIPP)與策略底部百分比參數(f)之間的關系．圖4(a)與(b)的結果表明，TIPP策略收益保證的價格與策略底部百分比參數呈負相關關系，且該關系不受借款限制與價格跳躍因素的影響．給定策略乘數(m)與收益保證水平(G)條件下，TIPP策略的風險敞口主要受底部百分比參數(f)的影響．底部百分比參數(f)設定的越高，TIPP策略配置在保守性資產上的資金比重就越大，配置在風險資產上的資金比重就越小，整個投資組合的風險敞口就越小，風險資產價格波動及價格跳躍所引致的缺口風險就越低，從而收益保證的價格就越低．將圖4(a)與(b)的結果進行比較，可以看出，借款限制降低了TIPP策略收益保證的價格，且當底部百分比參數(f)越低時該效應越顯著．這不難理解:TIPP策略底部百分比參數(f)設定的越低，TIPP策略越激進(aggressive)，配置在風險資產上的比重更可能觸及借款限制所規定的上限，借款限制的約束作用就越明顯;反之，TIPP策略底部百分比參數(f)設定的越高，TIPP策略越保守(conservative)，配置在風險資產上的比重越難有機會觸及借款限制所規定的上限，借款限制的約束作用就越不明顯．從以上對圖1－圖4的分析可以看出:(1)考慮價格跳躍后的收益保證價格要高于傳統GBM假定情形下的價格;(2)TIPP策略收益保證的價格要低于CPPI策略;(3)CPPI與TIPP策略收益保證的價格與策略乘數以及收益保證水平正相關，與風險資產價格波動率無關;(4)TIPP策略收益保證的價格與策略底部百分比參數負相關;(5)借款限制會顯著降低CPPI策略收益保證的價格而對TIPP策略收益保證的價格影響相對較?。?/p>

3結束語

本文考察了風險資產價格服從有限跳躍Levy過程情形下CPPI策略與TIPP策略收益保證的定價問題．由于兩策略下投資組合的復雜分段特征，無法得到收益保證封閉形式的定價公式．本文以CM策略為例，給出了收益保證的解析定價公式．對于CPPI策略與TIPP策略下的收益保證定價問題，文章通過數值算例考察了策略乘數m、收益保證水平參數G、風險資產價格波動率參數σS以及底部百分比參數f的變動對收益保證價格的影響．文章的研究結果對理論研究與業界實踐都具有重要的啟示或參考價值．比如，本文的研究結果至少有以下幾個方面的含義或啟示:(1)基于傳統GBM假定的定價研究會低估收益保證的價格，因而會對為收益保證進行擔保的第三方機構的利益造成損害;(2)至少從降低保本費用(率)的角度來說，TIPP策略要優于CPPI策略;(3)策略乘數的選擇是控制收益保證缺口風險因而也是控制保本費用(率)的關鍵所在，收益保證類金融產品的發行方與管理方可通過選取合適的乘數以便將保本費率控制在合意的范圍內以增強產品的吸引力;(4)在CPPI策略的運用中，借款限制或對保守性資產的賣空限制(或者是缺乏做空該資產的金融工具，如期貨等)可能會使購買保本類金融產品的投資者受益．

作者：張飛 劉海龍 單位：上海交通大學安泰經濟與管理學院 中國金融期貨交易所研發部