民俗數學及教育學的轉化范文

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一、非洲日常用品中的幾何變換

非洲是人類文化的發祥地之一，但其在數學上的貢獻卻未受到人們的充分重視。特別是當學校數學主要體現的是一種西方數學的狀況下，學生經過學校學習后甚至會認為，數學與非洲等非西方文化是沒有多少關聯的。但有學者對非洲文化深入研究后指出，這里的紡織用品中所展現的豐富的幾何樣式是其他文化所無法比擬的，其設計中還體現出了對圖形組合的無限可能性的追求，這也是幾何學乃至數學領域仍在不斷尋求的。從某種意義上講，“幾何學是研究圖形在變換過程中的不變性質”，幾何圖形的變換既是數學研究的重要工具，也是數學研究中一個復雜而重要的課題。然而，這些復雜的數學元素卻非常普遍地出現在非洲日常用品中，特別是全等變換中的平移、旋轉(中心對稱)和反射(軸對稱)，以及相似變換。圖1是一塊來自非洲的門板。兩側門框各雕刻有6個頭像，這12個頭像從縱向看形象各異，但如果將左右兩側的頭像對應起來看，又是一一對應的。換言之，左側門框的頭像可以經過平移變成右側門框上的頭像。門板中間有3行6列共18個人物。這18個人物各有不同，但其中第一行和第二行相應所列人物在神態、形象上又是極為相似的，或者說第二行的人物可以近似地看做第一行人物向下平移后的結果。圖2是非洲的一張做工精致的座椅，這里顯示了更為復雜、嚴格的平移變換。無論是椅背還是椅身都是由相同的人物形象平移疊加而成，每個人物的手又是其上一層相應人物的腳。在這張座椅中，人們可以找到更多的基本圖形，也能找到更多的平移模式。圖3的面具是一張人臉，并用曲線描繪人的皮膚紋路。從數學的角度看，這是一個以鼻梁所在直線為對稱軸的軸對稱圖形。如果說五官及其位置呈左右對稱是由于對人臉自然狀態的刻畫，那么皮膚紋路的左右對稱則體現了人們對“對稱美”的一種追求。圖4的面具中包含著圓形、正方形、四邊形、三角形等多種幾何圖案。這些圖案除了明顯的左右對稱外，還包含了相似變換。在自上而下的第二個圖案中，用兩條對角線將正方形分成4個大三角形，又在左右兩個大三角形中分別畫了一個小三角形。不難發現，小三角形是與大三角形相似的，是一種相似變換。間部分。這部分由半徑逐漸增大的3個同心圓組成(依次記作:O1、O2、O3)，其中O1和O2之間的圓環被分為8個大小、形狀完全相同的弓形。O2和O3用同樣的小花朵加以裝飾。這些弓形和花朵以圓心為中心呈中心對稱。另外，從圖5－1中還可以發現，該面具的上、下兩部分中，除左右兩側均用花朵按直線形排列勾畫外，其余部分都用O3的部分圓弧經平移后得到。同時，該面具的裝飾物品的位置還呈現出左右對稱的特點。可見，在這個面具中蘊含了數學中三種全等變換，即旋轉變換、平移變換和反射變換。事實上，上述多種變換存在于一件藝術品中的情形在非洲是非常普遍的。比如，BAMULIKE族面具(圖6)上的平移、軸對稱;東正教十字架(圖7)上的軸對稱和中心對稱;非洲面具(圖8)上的軸對稱、中心對稱及相似變換等。

二、非洲民俗數學的教育學轉化

要使民俗數學進入課堂，并與學校數學有地融合，還需要對上述民俗數學進行必要的教育學轉化。

(一)提煉與梳理民俗數學中蘊含的數學元素與思想我國《義務教育數學課程標準(2011版)》在小學階段將“圖形的運動”作為圖形與幾何學習領域的四大內容之一，在初中階段將“圖形的變化”列為圖形與幾何學習領域的三大內容之一，其中涉及了平移、軸對稱、中心對稱、相似等數學變換。從對非洲文化中一些日常用品的介紹、分析中可以發現，這些物品中蘊含著豐富的幾何元素和幾何變換。在利用這些民俗數學教學圖形的運動與變化時，需要重視以下兩點:第一，提煉與梳理不同的民俗數學素材中所蘊含的數學元素。具體而言，要根據數學知識將民俗數學素材歸類。比如，圖1、圖2屬于平移，圖3屬于軸對稱，圖5－2屬于中心對稱，這些都屬于全等變換的素材;圖4則屬于相似變換，除此以外的其他圖形則至少包括兩種類型的變換。第二，從知識結構角度將上述民俗數學素材進行排序。幾何變換從知識難度而言包括變換中形狀與大小均不改變的全等變換;只改變大小、形狀不變的相似變換;形狀、大小都變，但線段連接方式不變的拓撲變換等。在中小學階段僅涉及前兩種變換，其中最為常見的是全等變換。全等變換中以平移最為直觀，以軸對稱(反射)最為基礎。因為平移除了形狀、大小不變外，連圖形的方向都不改變，所以最為直觀。而平移、旋轉(中心對稱)只要通過兩次反射變換就可以實現同樣的效果，因此三者中以反射變換為基礎。基于上述分析，可以將上述素材進行排序:首先，分成單一變換(圖1－圖4，圖5－2)與多重變換(圖5－1，圖6－圖8)兩大類;其次，在單一變換中，又以圖1、圖2最為直觀，以圖3最為基礎，之后的圖越來越復雜與綜合。

(二)從教學角度轉化民俗數學的呈現形式從教學的角度思考民俗數學的呈現問題，要從學生認知規律出發設計知識鏈和問題鏈。具體而言，可以包含以下任務:任務1:平移變換的學習由于學生最容易操作和觀察的是平移，因此應首先讓學生思考以圖1和圖2為素材背景的相關問題，要求學生觀察這兩件物品中的基本圖形和變化規律，以此學習平移，并歸納出平移的三個特點:圖形大小、形狀、方向均不發生變化。教學中，圖形1的觀察可以由教師來引導發現，在圖形2的觀察過程中教師的引導作用應有所下降，以增加學生觀察的自主性。任務2:反射變換、中心變換的學習在學習平移之后，要求學生觀察并說出圖形3、圖形5－2的基本圖形和變化規律，從而歸納出反射變換、旋轉變換過程中圖形大小和形狀不變，但方向發生變化。由于在這些任務中，學生的數學活動經驗有較明顯的相似性，均是首先觀察基本圖形，然后分析這些基本圖形之間的關系。因此，學生在完成任務2時可以借助任務1中得到的活動經驗，教學中教師的引導作用要進一步下降，通過問題來驅動學生的觀察與思考。任務3:全等變換的綜合學習向學生呈現圖5－1、圖6、圖7，讓學生盡可能多地發現其中的幾何變換，并向全班同學解釋自己的發現。在組織這一學習任務時，教師要放手讓學生去發現基本的圖形及其變換模式，更要鼓勵學生解釋自己發現的幾何變換。另外，這一階段還可以引導學生去發現反射變換在其中的基礎性作用。任務4:相似變換的學習如果是在初中階段，還可以讓學生通過圖4、圖8學習相似變換，可以作為學習“相似形”的載體。

三、民俗數學及其教育學轉化時需要關注的問題

(一)深刻把握民俗數學的教育價值在學校數學教育中強調民俗數學，一個不可回避的價值性問題是:民俗數學究竟能為學生的學習帶來什么?這個問題的答案其實也是民俗數學在進行教育學轉化時追求的方向。第一，從宏觀的教育價值角度看，民俗數學可以拓寬學生對“什么是數學”以及“什么是數學觀點和行為”的跨文化理解。長期以來，學校數學常給人一種價值無涉、文化自由的感覺。民俗數學使人們“發現不同社會的人用不同的方式開展他們的數學活動，人們再也不能視數學為文化自由的了”。因此，學校課堂中使用民俗數學時，要有助于學生從更廣泛的視角理解數學和數學活動，進而形成更為客觀而全面的數學觀念。舉例而言，通過非洲民俗數學中幾何變換的學習，使學生感受到數學除了發生在西方白人的世界里，同時也產生并廣泛地存在于非洲、亞洲等非西方文化中。第二，從微觀的教育價值角度看，民俗數學使學生的數學學習更有意義。首先，民俗數學要重建學生學習數學的信心。從20世紀90年代起，我國數學教育界就開始倡導從“精英教育”轉向“大眾教育”，然而也許由于考試文化的限制，這種轉向始終未能真正落實。在教學實踐中，許多教師會有意無意地表現出以培養未來數學家的標準開展課堂教學，這也使學生感到數學難學、枯燥，甚至使不少學生感到自己并不適合學習數學。在教學中整合民俗數學的活動，“可以幫助學生產生對數學積極的態度，并認識到其在文化中的地位。特別是能消除這樣一種想法:數學是為精英而準備的”。比如，通過非洲文化中的幾何變換的學習，學生感受到像農民、手工藝工人等平民老百姓也在創造和使用著數學，有些數學還相當復雜，從而認為自己也能學習、使用甚至創造數學。其次，民俗數學要讓學生經歷數學發展的過程，并學習數學思維方法。從一定程度上而言，學校數學是經過邏輯整理后的知識結構體系，抺去了數學發展的曲折過程，并與學生的文化經驗存在較大距離。而民俗數學素材能為學生提供從文化經驗向學校數學轉化的載體。比如，學生在對非洲文化產品的觀察、分析中，學會了尋找幾何變換關系的方法，即觀察基本圖形，比較基本圖形之間的關系。再次，民俗數學要使學生通過數學欣賞豐富的文化。民俗數學為學生提供了欣賞文化的新視角———數學，而數學思想的普遍性讓學生感受到不同文化的人們普遍追求的東西，后者能給人帶來無窮的美感。比如，幾何變換不僅存在于非洲文化中，同樣廣泛地存在于中國的剪紙、雕刻、建筑等藝術品中。可見，如對稱、相似等變換之美是人類的普遍追求。

(二)基于知識序、認知序設計數學課程與教學中的民俗數學民俗數學有效地融入學校數學的基本前提是其在數學知識上與學校數學具有相關性。我們在此強調民俗數學，并非想用民俗數學去替代學校數學，而是希望更好地促進學生的數學學習。因此，民俗數學與學校數學無論從內容上還是目標上都應該是協同的，而不是相悖的。因此，應在數學課程與教學中整合民俗數學。第一，梳理民俗數學中所蘊含的數學知識及這些知識之間的關系，并考察與學校數學課程之間的關聯。比如，在對上述非洲民俗數學進行教育學轉化時，首要的即是分析其中蘊含了哪些幾何變換，這些幾何變換之間的關系又是怎樣的?并進而與數學課程標準、教科書的要求進行對比，后者為教學方案的設計提供了基礎，同時又為教師形成較為完整的知識結構提供了依據。第二，還需要從學生認知角度設計民俗數學融入學校數學的順序與形式。數學的教學需要綜合考慮數學結構和學生的認知結構。由于反射變換在全等變換中具有基礎性地位，因此從數學結構的角度考慮，會首先安排軸對稱的學習。但從學生的學習難度來看，平移的學習顯然比軸對稱的學習要簡單，而且更具有操作性。因此，在教學中會將平移的學習置于其他幾何變換的學習之前。另外，單一變換的圖形往往比多重變換的圖形簡單，因此多重變換的學習會以單一變換的學習為基礎。可見，民俗數學融入學校數學的順序要遵循學生的認知水平和認知順序。第三，由于數學學科的特殊性和義務教育階段學生的認知特點，數學教學不可能完全依賴學生的自主發現或創造，更多的還是在教師指導下，開展經由模仿到發現與創造的過程。因此，在民俗數學的呈現形式上，要考慮將其分為教師講解數學和學生探究數學兩種載體。隨著教學過程的推進，民俗數學的呈現也要發生變化，由傾向于教師講解的載體逐漸轉變為學生探究的載體。比如，在任務1到任務3中，不同任務階段的民俗數學就可以區分為這兩種載體，并表現出上述變化。

總之，民俗數學為人們提供了認識數學和數學教育的新視角，同時也具有重要的教育意義，有研究者甚至將其作為基礎性的教學手段之一。然而，民俗數學要有效地融入課堂教學還需要進行教育學轉化。本研究以非洲民俗數學為例，進行了嘗試性的探索，但這方面的研究還有待進一步深化。

作者：唐恒鈞張維忠單位：浙江師范大學教師教育學院