人口年齡結(jié)構(gòu)的Solow-Swan模型范文

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《數(shù)學(xué)雜志》2015年第六期

摘要:

本文中,我們將人口年齡結(jié)構(gòu)引入經(jīng)典的Solow-Swan模型,探討人口年齡結(jié)構(gòu)變動對經(jīng)濟(jì)增長的影響.利用比較定理證明當(dāng)人口趨于穩(wěn)定的人口結(jié)構(gòu)時刻劃模型的微分方程的解是漸近穩(wěn)定的.通過數(shù)值仿真,我們看到經(jīng)濟(jì)增長在少年撫養(yǎng)下降時加速,在老年撫養(yǎng)上升時減緩.在人口轉(zhuǎn)變時期存在“人口紅利”,人口老齡化導(dǎo)致的勞動力人數(shù)占人口的比重下降會使經(jīng)濟(jì)增長減緩甚至下降.

關(guān)鍵詞:

Solow-Swan模型;微分不等式;漸近穩(wěn)定性;人口年齡結(jié)構(gòu);數(shù)值仿真

1引言

近年來,人口年齡結(jié)構(gòu)變動對經(jīng)濟(jì)增長的影響引起了人口學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的廣泛重視[14].Bloom等人[57]作的經(jīng)驗分析表明當(dāng)少年撫養(yǎng)比下降而老年撫養(yǎng)比上升之前存在“人口紅利”.Wei與Hao[8]建立一個計量模型探討中國人口年齡結(jié)構(gòu)的變動及對經(jīng)濟(jì)增長的影響.Blanchard[9]構(gòu)造一個最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長模型研究人口年齡結(jié)構(gòu)對政府赤字的動態(tài)影響.Hippolyted’Albis[10]給出一個連續(xù)世代交疊模型探討人口年齡結(jié)構(gòu)對經(jīng)濟(jì)增長的影響.然而,在文獻(xiàn)[9]和[10]中,人口結(jié)構(gòu)年齡結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的,即不隨時間而變動.這與世界絕大多數(shù)國家的人口年齡結(jié)構(gòu)實際的變動情況是不相符合的.在經(jīng)濟(jì)增長的文獻(xiàn)中,人口增長率通常簡單地假設(shè)為一個常數(shù)或隨時間單調(diào)下降的函數(shù)[1112].本文中,我們將隨時間變動的人口與勞動力人數(shù)引入經(jīng)典的solow-swan模型,探討人口年齡結(jié)構(gòu)變化導(dǎo)致的人口與勞動力人數(shù)變化對經(jīng)濟(jì)增長的影響.利用比較定理證明當(dāng)人口與勞動力人數(shù)趨于穩(wěn)定時,刻劃模型的微分方程的解是漸近穩(wěn)定的.通過數(shù)值仿真,我們看到經(jīng)濟(jì)增長在少年撫養(yǎng)下降時加速,在老年撫養(yǎng)上升時減緩.在人口轉(zhuǎn)變時期存在“人口紅利”,人口老齡化導(dǎo)致的勞動力人數(shù)占人口的比重下降會使經(jīng)濟(jì)增長減緩甚至下降.

2模型的建立

假定生產(chǎn)函數(shù)為F(K(t),L(t)),滿足新古典主義生產(chǎn)函數(shù)的條件,其中K(t),L(t)為t時刻的總資本和勞動力人數(shù).設(shè)儲蓄率和資本折舊率分別為s和δ。

3比較定理與收斂性

由假設(shè)1和假設(shè)2,人口增長率n(t)和勞動力人口占人口的比重在[0,∞)上有界.記則由引理1和微分不等式[13]。

4數(shù)值仿真

人口轉(zhuǎn)變時期總出生人口變化的顯著特征為由低出生人口轉(zhuǎn)變到高人口出生,然后下降的過程.當(dāng)高人口出生時期人口進(jìn)入生育期后會出現(xiàn)第二次人口生育高峰.因而,通常總出生人口數(shù)在呈現(xiàn)出兩次生育高峰后才進(jìn)入一個穩(wěn)定的狀態(tài).為此,我們用分段函數(shù)B(t)對人口出生過程進(jìn)行數(shù)值仿真(表達(dá)式見附錄).其圖形見圖1.為了反映人口存活率隨時間增長的過程,我們首先給出基準(zhǔn)的人口存活率L(a)=l(60,a),即t=60時的人口存活率.其中,a為年齡.L(a)的函數(shù)表達(dá)式也由分段光滑函數(shù)給出(表達(dá)式見附錄),其圖形見圖2.t時刻的人口存活率設(shè)為l(t,a)=L(a(1h(t)).對于給定t時刻的總出生人口函數(shù)B(t)與人口存活率函數(shù)l(t,a)得出t時刻年齡為a的人口數(shù)為p(t,a)=B(ta)l(t,a).人口年齡結(jié)構(gòu)圖見圖4.對于上述指定不同時刻的存活率,人的最大壽命小于Ω=130.因此,t時刻的人口總數(shù)與勞動力人數(shù)。生產(chǎn)函數(shù)給定為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)AKαL1α.經(jīng)濟(jì)的初始資本、儲蓄率、技術(shù)水平、資本份額和資本折舊分別設(shè)定為K0=1,s=0.3,A=1.2,α=0.25,δ=0.05,則由(2.1)和(2.2)式分別得到資本與人均資本的隨時間的增長過程(見圖13與圖14).

5結(jié)論

由定理2,當(dāng)人口年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定,進(jìn)而人口增長率與勞動人數(shù)占人口比重趨于穩(wěn)定時,經(jīng)濟(jì)增長最終也趨于穩(wěn)定.而由數(shù)值仿真我們看到人口轉(zhuǎn)變時期的人口增長率的變化與人口年齡結(jié)構(gòu)變動導(dǎo)致的勞動人數(shù)占人口比重的變化使得經(jīng)濟(jì)增長出現(xiàn)波動.比較圖1、圖4與圖5,我們看到,隨著總出生人口數(shù)經(jīng)歷一次高峰及后續(xù)的次高峰后,人口總數(shù)的增長達(dá)到一個高峰出現(xiàn)下降.圖6顯示的人口增長率則由加速增長轉(zhuǎn)變?yōu)榈退僭鲩L,最后出現(xiàn)下降.但總?cè)丝诘南陆祫t較為緩慢.這是人口存活率上升的結(jié)果(見圖3).

隨著高人口出生時期人口進(jìn)入勞動年齡人口,勞動年齡人數(shù)呈現(xiàn)快速上升的情況,但勞動年齡人口的下降顯著地先于人口總數(shù)的下降,下降的幅度也大于總?cè)丝诘南陆?這是由于生存率上升導(dǎo)致的人口老齡化產(chǎn)生的結(jié)果.相應(yīng)地,高人口出生時期的人口進(jìn)入勞動年齡人口,少年撫養(yǎng)比下降,勞動力人數(shù)占總?cè)丝诒戎乜焖偕仙?經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)了一個“人口紅利”時期.隨著高出生人口進(jìn)入老年,這一比重開始下降,最后漸近地趨于穩(wěn)定(見圖8).

對應(yīng)于人口出生高峰與跟隨其后的次高峰,少年人口數(shù)也出現(xiàn)高峰和次高峰,其后少年人口數(shù)下降并趨于一個穩(wěn)定的水平(見圖9).少年撫養(yǎng)比呈現(xiàn)出類似的形態(tài)(見圖11).老年人口的迅速上升則是高出生時期的人口進(jìn)入老年時開始的，隨著人口存活率的上升,老年人口總數(shù)快速上升,最后穩(wěn)定在一個較高的水平(見圖10).老年撫養(yǎng)比在經(jīng)歷了一短暫的下降后也呈現(xiàn)出類似的形態(tài)(見圖12).

通過數(shù)值仿真我們看到,人口年齡結(jié)構(gòu)的變化與存活率的上升對經(jīng)濟(jì)增長有著本質(zhì)的影響.在經(jīng)典的Solow-Swan模型中,人均資本隨著人口增長率下降是上升的.其原因在于模型中將經(jīng)濟(jì)中所有人口當(dāng)作勞動力考慮的,沒有區(qū)分勞動年齡人口及他們占總?cè)丝诘谋戎氐膯栴}.而將人口年齡結(jié)構(gòu)的變化及存活率上升導(dǎo)致勞動年齡人口數(shù)和他們占總?cè)丝诘谋戎氐淖儎右虢?jīng)典的Solow-Swan模型后,情況則發(fā)生了本質(zhì)的改變.在“人口紅利”時期,總資本和人均資本都迅速上升,伴隨著總出生人口、勞動年齡人口占總?cè)丝诒戎氐牟▌幼兓?人均資本也出現(xiàn)波動的變化,并在人口老齡化嚴(yán)重的時期出現(xiàn)下降(見圖14).

作者：蔡東漢 葛夫夫 陳忠斌 單位：武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院