人口年齡結(jié)構(gòu)的Solow-Swan模型范文

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《數(shù)學(xué)雜志》2015年第六期

摘要:

本文中,我們將人口年齡結(jié)構(gòu)引入經(jīng)典的Solow-Swan模型,探討人口年齡結(jié)構(gòu)變動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響.利用比較定理證明當(dāng)人口趨于穩(wěn)定的人口結(jié)構(gòu)時(shí)刻劃模型的微分方程的解是漸近穩(wěn)定的.通過(guò)數(shù)值仿真,我們看到經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)在少年撫養(yǎng)下降時(shí)加速,在老年撫養(yǎng)上升時(shí)減緩.在人口轉(zhuǎn)變時(shí)期存在“人口紅利”,人口老齡化導(dǎo)致的勞動(dòng)力人數(shù)占人口的比重下降會(huì)使經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)減緩甚至下降.

關(guān)鍵詞:

Solow-Swan模型;微分不等式;漸近穩(wěn)定性;人口年齡結(jié)構(gòu);數(shù)值仿真

1引言

近年來(lái),人口年齡結(jié)構(gòu)變動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響引起了人口學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的廣泛重視[14].Bloom等人[57]作的經(jīng)驗(yàn)分析表明當(dāng)少年撫養(yǎng)比下降而老年撫養(yǎng)比上升之前存在“人口紅利”.Wei與Hao[8]建立一個(gè)計(jì)量模型探討中國(guó)人口年齡結(jié)構(gòu)的變動(dòng)及對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響.Blanchard[9]構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型研究人口年齡結(jié)構(gòu)對(duì)政府赤字的動(dòng)態(tài)影響.Hippolyted’Albis[10]給出一個(gè)連續(xù)世代交疊模型探討人口年齡結(jié)構(gòu)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響.然而,在文獻(xiàn)[9]和[10]中,人口結(jié)構(gòu)年齡結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的,即不隨時(shí)間而變動(dòng).這與世界絕大多數(shù)國(guó)家的人口年齡結(jié)構(gòu)實(shí)際的變動(dòng)情況是不相符合的.在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的文獻(xiàn)中,人口增長(zhǎng)率通常簡(jiǎn)單地假設(shè)為一個(gè)常數(shù)或隨時(shí)間單調(diào)下降的函數(shù)[1112].本文中,我們將隨時(shí)間變動(dòng)的人口與勞動(dòng)力人數(shù)引入經(jīng)典的solow-swan模型,探討人口年齡結(jié)構(gòu)變化導(dǎo)致的人口與勞動(dòng)力人數(shù)變化對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響.利用比較定理證明當(dāng)人口與勞動(dòng)力人數(shù)趨于穩(wěn)定時(shí),刻劃模型的微分方程的解是漸近穩(wěn)定的.通過(guò)數(shù)值仿真,我們看到經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)在少年撫養(yǎng)下降時(shí)加速,在老年撫養(yǎng)上升時(shí)減緩.在人口轉(zhuǎn)變時(shí)期存在“人口紅利”,人口老齡化導(dǎo)致的勞動(dòng)力人數(shù)占人口的比重下降會(huì)使經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)減緩甚至下降.

2模型的建立

假定生產(chǎn)函數(shù)為F(K(t),L(t)),滿足新古典主義生產(chǎn)函數(shù)的條件,其中K(t),L(t)為t時(shí)刻的總資本和勞動(dòng)力人數(shù).設(shè)儲(chǔ)蓄率和資本折舊率分別為s和δ。

3比較定理與收斂性

由假設(shè)1和假設(shè)2,人口增長(zhǎng)率n(t)和勞動(dòng)力人口占人口的比重在[0,∞)上有界.記則由引理1和微分不等式[13]。

4數(shù)值仿真

人口轉(zhuǎn)變時(shí)期總出生人口變化的顯著特征為由低出生人口轉(zhuǎn)變到高人口出生,然后下降的過(guò)程.當(dāng)高人口出生時(shí)期人口進(jìn)入生育期后會(huì)出現(xiàn)第二次人口生育高峰.因而,通常總出生人口數(shù)在呈現(xiàn)出兩次生育高峰后才進(jìn)入一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài).為此,我們用分段函數(shù)B(t)對(duì)人口出生過(guò)程進(jìn)行數(shù)值仿真(表達(dá)式見(jiàn)附錄).其圖形見(jiàn)圖1.為了反映人口存活率隨時(shí)間增長(zhǎng)的過(guò)程,我們首先給出基準(zhǔn)的人口存活率L(a)=l(60,a),即t=60時(shí)的人口存活率.其中,a為年齡.L(a)的函數(shù)表達(dá)式也由分段光滑函數(shù)給出(表達(dá)式見(jiàn)附錄),其圖形見(jiàn)圖2.t時(shí)刻的人口存活率設(shè)為l(t,a)=L(a(1h(t)).對(duì)于給定t時(shí)刻的總出生人口函數(shù)B(t)與人口存活率函數(shù)l(t,a)得出t時(shí)刻年齡為a的人口數(shù)為p(t,a)=B(ta)l(t,a).人口年齡結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖4.對(duì)于上述指定不同時(shí)刻的存活率,人的最大壽命小于Ω=130.因此,t時(shí)刻的人口總數(shù)與勞動(dòng)力人數(shù)。生產(chǎn)函數(shù)給定為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)AKαL1α.經(jīng)濟(jì)的初始資本、儲(chǔ)蓄率、技術(shù)水平、資本份額和資本折舊分別設(shè)定為K0=1,s=0.3,A=1.2,α=0.25,δ=0.05,則由(2.1)和(2.2)式分別得到資本與人均資本的隨時(shí)間的增長(zhǎng)過(guò)程(見(jiàn)圖13與圖14).

5結(jié)論

由定理2,當(dāng)人口年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定,進(jìn)而人口增長(zhǎng)率與勞動(dòng)人數(shù)占人口比重趨于穩(wěn)定時(shí),經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)最終也趨于穩(wěn)定.而由數(shù)值仿真我們看到人口轉(zhuǎn)變時(shí)期的人口增長(zhǎng)率的變化與人口年齡結(jié)構(gòu)變動(dòng)導(dǎo)致的勞動(dòng)人數(shù)占人口比重的變化使得經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)出現(xiàn)波動(dòng).比較圖1、圖4與圖5,我們看到,隨著總出生人口數(shù)經(jīng)歷一次高峰及后續(xù)的次高峰后,人口總數(shù)的增長(zhǎng)達(dá)到一個(gè)高峰出現(xiàn)下降.圖6顯示的人口增長(zhǎng)率則由加速增長(zhǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)榈退僭鲩L(zhǎng),最后出現(xiàn)下降.但總?cè)丝诘南陆祫t較為緩慢.這是人口存活率上升的結(jié)果(見(jiàn)圖3).

隨著高人口出生時(shí)期人口進(jìn)入勞動(dòng)年齡人口,勞動(dòng)年齡人數(shù)呈現(xiàn)快速上升的情況,但勞動(dòng)年齡人口的下降顯著地先于人口總數(shù)的下降,下降的幅度也大于總?cè)丝诘南陆?這是由于生存率上升導(dǎo)致的人口老齡化產(chǎn)生的結(jié)果.相應(yīng)地,高人口出生時(shí)期的人口進(jìn)入勞動(dòng)年齡人口,少年撫養(yǎng)比下降,勞動(dòng)力人數(shù)占總?cè)丝诒戎乜焖偕仙?經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)了一個(gè)“人口紅利”時(shí)期.隨著高出生人口進(jìn)入老年,這一比重開始下降,最后漸近地趨于穩(wěn)定(見(jiàn)圖8).

對(duì)應(yīng)于人口出生高峰與跟隨其后的次高峰,少年人口數(shù)也出現(xiàn)高峰和次高峰,其后少年人口數(shù)下降并趨于一個(gè)穩(wěn)定的水平(見(jiàn)圖9).少年撫養(yǎng)比呈現(xiàn)出類似的形態(tài)(見(jiàn)圖11).老年人口的迅速上升則是高出生時(shí)期的人口進(jìn)入老年時(shí)開始的，隨著人口存活率的上升,老年人口總數(shù)快速上升,最后穩(wěn)定在一個(gè)較高的水平(見(jiàn)圖10).老年撫養(yǎng)比在經(jīng)歷了一短暫的下降后也呈現(xiàn)出類似的形態(tài)(見(jiàn)圖12).

通過(guò)數(shù)值仿真我們看到,人口年齡結(jié)構(gòu)的變化與存活率的上升對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)有著本質(zhì)的影響.在經(jīng)典的Solow-Swan模型中,人均資本隨著人口增長(zhǎng)率下降是上升的.其原因在于模型中將經(jīng)濟(jì)中所有人口當(dāng)作勞動(dòng)力考慮的,沒(méi)有區(qū)分勞動(dòng)年齡人口及他們占總?cè)丝诘谋戎氐膯?wèn)題.而將人口年齡結(jié)構(gòu)的變化及存活率上升導(dǎo)致勞動(dòng)年齡人口數(shù)和他們占總?cè)丝诘谋戎氐淖儎?dòng)引入經(jīng)典的Solow-Swan模型后,情況則發(fā)生了本質(zhì)的改變.在“人口紅利”時(shí)期,總資本和人均資本都迅速上升,伴隨著總出生人口、勞動(dòng)年齡人口占總?cè)丝诒戎氐牟▌?dòng)變化,人均資本也出現(xiàn)波動(dòng)的變化,并在人口老齡化嚴(yán)重的時(shí)期出現(xiàn)下降(見(jiàn)圖14).

作者：蔡?hào)|漢 葛夫夫 陳忠斌 單位：武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院