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《數學雜志》2015年第六期
摘要:
本文研究了棱形六面體經兩兩面面疊合后所能得到幾何體.利用流形判別和基本群計算的基本方法,獲得了在可能疊合到的476種幾何體中,有409種不是流形,而在是流形的情形時,其基本群包括1,Z,Z2,Z3,Z5,Z7,Z8以及5種只能用關系表示的群.
關鍵詞:
三維流形;基本群;棱形六面體疊合
1引言
就三維流形的構作而言,到目前為止,已有許多頗為有效的方法,如利用Heeggard圖式,Dehn手術以及紐結理論等,近年來應用雙曲幾何的方法來討論三維流形也逐漸形成趨勢,成為研究三維流形不可或缺的重要方法(見文獻[1–3]）.在對曲面進行分類過程中,許多好的曲面如球面,環面,Klein瓶等都可用一矩形面片經過邊的兩兩疊合而得到,這啟發我們想到能否對空間中的體經過類似的線疊合和面疊合而得到三維流形.本文試圖對體的一種簡單模型――棱形六面體,經過面面、線線疊合得到的多面體進行研究,這種疊合的種類共476種.在文獻[4]中,有關于該情況下判斷多面體是否是流形以及如何計算其基本群的方法.在文獻[5]中,可見到關于經四面體疊合的多面體的基本群的結論,但計算方法卻沒有給出,本人曾對這個模型進行了詳盡計算,得到了與之相同的結論（見文獻[6]）,而在此基礎上對另一種模型的研究,則是本文的主要內容.
2基本結論
引理2.1[4]設M是由成對地疊合一個多面體的面而成的復合形,則M是流形的充要條件是它的示性數為0.注疊合時若有公共棱,則定向的棱與它的定向的反向不能相互疊合,因為此時其中間點找不到與之疊合的其它點,這樣疊合而成的多面體不是流形.以下回到本文討論的重點:如圖2,給定棱形六面體,經兩兩對折后變成一復合形M,將討論:1)M是否為流形;2)若M是流形,其基本群為何者.規定,前面上下面分別為①②,后右側上下面分別為③④,后左側上下面分別為⑤⑥,再規定,頂點1,2,3,4,5如圖2,各條棱a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9也如圖2.疊合后幾何體M的零維Betti數恰為頂點的個數,以下簡寫為“0維”,一維Betti數為疊合后邊的個數,簡寫為“1維”,二維Betti數位疊合后面的個數,簡寫為“2維”,三維Betti數位復合形的個數1,記為“3維”.現將六個面兩兩對折,使得頂點與頂點重合,邊線與邊線重合,這時中間的面將相應重合,如①②對折,有五種折法。
3棱形六面體的兩兩面疊合
總體而言,從折法上看,可以分成五類情況:分別為折法一,①②對折,③④對折,⑤⑥對折;折法二,①②對折,③⑥對折,④⑤對折;折法三,①②對折,③⑤對折,④⑥對折;折法四,①④對折,③⑥對折,⑤②對折;折法五,①③對折,④⑥對折,⑤②對折.限于篇幅,本文無法對476種情形一一闡述,僅將上述5種折法中的典型情形各舉一個例,并把得到的結果以表格的形式給出(見表1–5).總之,將本節所得各結論綜合,棱形六面體經過兩兩面疊合后,在同胚的意義下,總計476種疊法中,可以得到為數不多的幾種情形,其基本群包括1,Z,Z2,Z3,Z5,Z7,Z8以及只能用關系表示的群。
參考文獻
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[5]WilliamJaco.IntroductiontothehomeomorphismProblem[J/OL].jaco,2005.
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作者：王建軍 單位：淮北師范大學數學科學學院