數學知識不確定性的價值范文

本站小編為你精心準備了數學知識不確定性的價值參考范文，愿這些范文能點燃您思維的火花，激發您的寫作靈感。歡迎深入閱讀并收藏。

《全球教育展望雜志》2014年第八期

一、確定性數學知識的局限

作為自然科學的基礎，數學知識確實具有客觀性、準確性和普遍性。追求確定性數學知識本身沒有什么錯，錯在“唯確定性”，即人們過于強調其確定性，排除了其它的可能性。在教學中，如果過于強調數學知識的確定性，就會嚴重限制教師的教和學生的學，不利于學生全面自由的發展。1．限制了教師教學的主體性眾所周知，教師是教學過程的重要主體之一。他之所以成為主體，并不僅僅是說他決定著教學進度、教學方法、教學評價等，而且還指他是知識的主體。即是說，當教師可以在課堂上用自己的方式講述自己的知識時，他才是一個真正的主體。過度重視確定性數學知識，容易使教師形成這樣一種教學觀:數學教學向學生演繹、解釋數學真理。對于數學知識而言，教師沒有權力和能力去改變，甚至不能有一點不同于書本的理解。在這樣的教學中，教師雖然講述著數學知識，但卻是以他人規定好的方式講述他人的知識。他不但沒有成為知識的主體，反而被知識奴役。這種教學對教師來說是痛苦的，因為他不能自主，沒有激情和創造性，并由此陷入一種惡性循環:“學術生涯使他感到痛苦，他要把同樣的痛苦加諸于學生———這是對自我本身深感困擾的痛苦”。［9］這樣，教師無法在教學中進行反思和建立自我感，最終使自己與教學分離。2．窄化了數學教學的內容由于數學本身被認為是確定性知識的典范，同時加上人們通常認為基礎教育的主要任務是向學生傳授基礎知識(基礎知識一般是指具有確定結論的知識)，于是確定性的數學知識幾乎成了數學教學的唯一內容，或者說不確定的數學知識僅僅是教學內容的點綴。過度強調數學知識的確定性，限定了數學教學內容。一是將數學教學的內容限定為那些確定性的內容，不確定性的數學知識沒有資格成為數學教學的內容，或者說所占比重非常小。二是教師在講授確定性的內容時，不敢加以引申，僅僅局限于那個內容。不僅數學內容的范圍被限制了，內容的深度也被限制了。在講授數學知識時，教師認為數學答案就是唯一的，因此很少在課堂上與學生深度探討數學問題。數學知識對于學生來說，就像是庫存的展品，學生站在展品面前欣賞，但卻無法觸摸其真正的內涵，無法看到知識的多元意義。其實，對每個學生來說，“知識的現實意義是多元的、多樣的、意義的，實現方式也是無限的”。［10］3．不利于學生創造力的培養“創造力是一種產生新穎事物的能力，是一種解決問題的能力，是一種破除傳統的能力。”［11］培養學生的創造力是數學教育的重要目標。新數學課程標準指出:“數學教學活動，要引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維”。［12］確定性數學知識觀，不僅無益于，反而會阻礙學生創造力的培養。由于將數學知識當作是客觀的、永恒的，因此人們不僅不敢質疑它，而且認為沒有必要質疑它。然而，“知識原本是他人對世界的一種看法，把知識當作絕對真理意味著承認他人看法的唯一合法性而否定了自己看法的必要性和合理性。”［13］教學過程中，過于強調數學知識的確定性，會導致學生被動地“接受”數學公式、定理與答案。因此，一方面學生不能形成數學批判思維能力;另一方面，學生思想被禁錮，不敢大膽想象，而批判與想象是創造的前提。正如杜威(Dew-ery，J．)所說，“教育最大的錯誤在于認為一個人只學習他當時所學的特定事物”。［14］

二、數學知識的不確定性及其價值

數學知識的確定性在19世紀出現了斷裂，因為在這個世紀，人們發現數系、幾何等知識都具有不確定性。數學知識不確定性的發現，對數學、對教育都具有重要意義。

(一)數學知識不確定性的涵義數學知識的不確定性是指數學知識具有開放性和模糊性等特征。數學知識的開放性是指，數學知識并不是靜止不變的，而是一個動態變化發展過程;它有可能被推翻。數學知識的模糊性是指數學結論本身具有不精確性，如概率論、模糊數學和灰色數學等，都具有模糊性。數學發展到19世紀，就陷入自相矛盾的境地。數學知識不再是非此即彼的，而是亦此亦彼的。數學的發展也超越了其固有的邏輯路線，這從數系、函數和幾何等板塊的發展過程中可以看出。在數系中，無理數、復數的出現，表明數具有不確定性。以前，整數、分數和小數是確定的數。畢達哥拉斯派認為線段的長度與它所對應的原子數目之間的比例是一一對應的，因此直角三角形的三邊之比都應是整數比，一些例子也證明它的“正確性”，如3:4:5、5:12:13、8:15:17等直角三角形。然而后來畢達哥拉斯學生發現當兩直角邊均為1時，斜邊為槡2，這樣斜邊既不是整數，也不是分數，在線段中無法找到一個具體的點，歷史上將槡2稱作不可公度比。后來人們就將類似于槡2的數統稱為無理數。傳統意義上，人們將函數定義為:設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數，x叫做自變量。然而正切函數的出現，表明當x為90°時，y無限接近但永遠不會等于一個值，y成為一個不確定的值。幾何學中，歐氏幾何一直被當作是唯一正確的幾何學，定理和公設是確定不移的真理，然而許多數學家卻發現它并不是確定無疑的。例如在歐氏幾何中三角形內角和等于180°，鮑耶(Bolyai，J．)和羅巴切夫斯基(Lobachevsky，N．I．)卻證明三角形內角和小于180°，即雙曲幾何。同時黎曼(Giemann，G．B．)也得出結論:三角形內角和大于180°，即黎曼幾何。雙曲幾何和黎曼幾何(兩者統稱為非歐幾何)的出現，表明三角形內角和等于180°并不是確定無疑的真理。

(二)數學知識不確定性的價值1．為數學學科的繁榮提供了可能正是由于數學知識本身的不確定性，促使數學不斷發展。如歐氏幾何第五公設(即平行公設):同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小于二直角的和，則這二直線無限延長后在這一側相交。1826年，羅巴切夫斯基提出一條與之相反的公理:過平面上一已知直線外的一點至少可以引出兩條直線與該已知直線不相交。1854年，黎曼有得出一個相反的命題:過直線外一點不能引出與該直線不相交的直線。因此，正是由于第五公設陳述上的模糊性促進非歐幾何的出現。再如18世紀以后，人們發現微積分也存在著邏輯上的局限性，如數學家也無法明確給極限和無窮小下定義。然而正是由于這一局限促使歐拉(Euler，L．)提出了不定積分和定積分的概念，柯西(Cauchy，A．L．)給出了極限、連續、導數、微分和積分等一系列微積分基本概念的嚴格定義。2．為教師教學創造提供了空間不確定數學知識觀，使教師認識到數學知識具有相對性、條件性、主觀性。教師在教學過程中，可以談自己對數學的理解與認識，也可以結合自己或學生的經驗來講解數學知識。這樣，教師就不再僅僅是數學知識的忠實實施者，而是數學知識的創造者，就容易實現自己、學生和數學知識真正相遇。數學課堂就變成一個開放的學習空間，每個人可以對某個數學問題發表自己的見解，師生可以圍繞著某個不確定的、有待解決的數學問題，共同探討數學真理，形成教師、學生和知識融于一體的學習共同體。數學教學也不再僅僅是教師將數學真理以“展品”的形式展現在學生的面前、控制課堂的過程，而是教師將數學知識融入自身價值觀中，促使教學與自身融為一體，這樣的數學教學才有可能是好的教學。3．激發學生學習探究欲望數學知識的不確定性使學生認識到世界上并不存在永恒的數學真理，不要盲信數學定理。于是，他們才有可能對數學產生懷疑，進而去探究;才會破除自己固有的僵硬思維，開拓學生的視野。學生在質疑數學、研究數學的過程中，會獲得一種自信，認為知識是可以被自己改變的。在陳景潤讀中學的時候，沈元老師給學生講了一道困擾人們200多年的數學難題———哥德巴赫猜想，他恰當的引出數學界比喻“數學是自然科學皇后，‘哥德巴赫猜想’則是皇后王冠上的寶石”引起了陳景潤的興趣。雖然沈元老師也沒有解出這道題，但他促使陳景潤對這道題保持著好奇心，一直研究這道題，最終《大偶數表示一個素數及一個不超過2個素數的乘積之和》，引起世界轟動。因此，有時不確定性的數學知識可以激發學生探究欲望，使學生獲得自信。

三、不確定性數學知識價值的實現策略

如上所述，數學知識的不確定性具有重要的教育價值。那么在實際教育中如何實現這些價值值得我們去研究。

(一)突出確定性知識成立的條件強調數學知識的不確定性，并不是說在教學中不教確定性的數學知識，而是說要換一種思維去教授確定性知識。其實，任何數學知識要正確，都是有條件的。在教學過程中，教師要強調數學知識確定性成立的前提和條件。某個知識正確，只是在某個特定條件下正確;若超出了這個條件，其正確性就受到了挑戰。首先，在課堂上教師要告訴學生數學定理的成立是需要條件的。如在初中講數的平方這一規律時，一定要告訴學生只有在實數范圍內，一個數的平方才是正數。其次，告訴學生即使現在這些數學知識是準確的、唯一的，也不代表它就永恒不變。在教學中，可以適當增加數學史的知識，告訴學生這些知識后來引起的爭議，使學生能夠用動態的眼光看待數學知識。

(二)適當增加課程內容的不確定性多爾(Doll，W．E．Jr．)認為，“課程應具有‘適量’的不確定性、異常性、無效性、模糊性”。《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出課程基本理念“課程內容的呈現應注意層次性和多樣性。”［16］因此，國家和地方在制定教材時，以及教師在教學時，要適當地多增加一些不確定性的、有爭議的、能引起學生認知沖突的數學知識。“編制課程大綱或教學計劃應該采用一種一般的、寬松的、多少帶有一定的不確定的方式”。［17］如在教學不同學段，可適當增加不等式、不定方程、負數、估算、統計與概率、無理數等不確定數學知識的比例，引導學生用“亦此亦彼”的思維模式去思考問題。國外的某些做法值得借鑒。如在我國老師教授時(－8)13，老師告訴我們將它看作是－8的開立方，因此結果為－2。而在國外，老師認為這題有3種不同的結果。“第一種方法與我國解法是相同的，將(－8)13看作是－8的開立方，因而結果為－2。

(三)注重數學教學的開放性開放性教學在教學中發揮著重要的作用，“開放性教學是為學生提供一個發現和創新的環境和機會，為教師提供一個培養學生解題能力、自控能力和應用數學知識能力的有效途徑。”［19］因此，教師的教學應具有開放性。這里的開放性，首先是指教師在教授數學時，不一定非得將結論教給學生;其次，要注重選擇一些沒有確定答案的數學內容;再次，要選擇一些條件并不是十分明朗的數學問題讓學生思考;最后，還可以創造一些只有部分條件的問題，讓學生補充相關條件，并提出問題。如小學低年級可以設計這樣的題型:羊圈里有8只羊這樣每個學生補充的條件不同，最終得出的結果也就不一樣。同時，教師可以自己結合生活經驗進行教學，重視數學經驗在教學中的作用，培養學生直覺思維和求異思維能力。如在課堂上讓小學生設計如何測量土豆的體積，不同學生有不同測量方法，一個學生也可以有多種方法;讓學生自己描述回家路線圖，這樣題目就與學生實際生活聯系，且每個人回家路線的不同，得到的答案必然不同。

(四)注重評價方式個性化既然數學知識具有不確定性，那么對學生的評價就不能局限于統一的標準。要在評價中突出學生的主體地位，注重學生數學學習的個別差異性，“新評定走出了甄別的誤區，評定尊重學生的個別差異和個性特點，問題要求具有相當的開放性，允許學生依據自己的興趣和特長作出不同形式和內容的解答。”［20］只有根據每個學生實際情況進行評價，才能夠發現每個學生數學學習的差異性，才能夠因材施教，也才能引導學生對數學充滿懷疑，才有利于學生發散思維的形成與發展。《素質教育在美國》一書中作者講到在一次數學對數測試中，美國一個學生礦礦在考試時，在對數這一題上畫了一只咬原木的河貍，手中拿著一塊木頭(在英語中Log除了表示對數，還可以表示原木)，并寫上“Logsarefun!”(木頭真有趣味)。礦礦試卷本身得了100分，老師又給試卷上的畫“原木和河貍”加了0．2分，這0．2分表明老師對礦礦數理邏輯、形象思維和自信心的充分肯定。這位教師把學生當作獨特的個體，這種評價更具有指導性作用，激勵學生“探究”數學而不是“學習”數學。

作者：羅祖兵余瑤單位：華中師范大學教育學院