數(shù)學思維的含義范文

前言：我們精心挑選了數(shù)篇優(yōu)質(zhì)數(shù)學思維的含義文章，供您閱讀參考。期待這些文章能為您帶來啟發(fā)，助您在寫作的道路上更上一層樓。

第1篇

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；函數(shù)教學；數(shù)學思維能力培養(yǎng)

函數(shù)，是初中階段中數(shù)學教學的重點，也是學生學習的難點。但是，不可否認，作為綜合性極強、探究性極高的知識，函數(shù)教學對學生數(shù)學思維的激發(fā)和培養(yǎng)有著極其重要的作用和意義。故此，對初中數(shù)學函數(shù)教學所能培養(yǎng)學生數(shù)學思維的能力進行重點分析，并深入探究函數(shù)教學培養(yǎng)學生具體能力的措施和方法，不僅有利于初中學生學習水平的提升和強化，還有利于我國初中數(shù)學教學事業(yè)的整體發(fā)展和進步。

一、選擇判斷能力及其培養(yǎng)方式

（一）概念

作為數(shù)學創(chuàng)造能力的主要構(gòu)成部分，選擇能力和判斷能力不可或缺。這一能力的表現(xiàn)主要可以從兩個方面進行：一，判斷和確定數(shù)學推理的基本過程以及最終結(jié)論正誤。二，估計并選擇數(shù)學相關(guān)的命題、解決思路、事實、以及最佳方案等。從某種程度分析，判斷能力其實就是思維者對自身思維活動的自我反饋能力，而選擇能力則是思維者綜合考慮所有因素后最終做出決定的能力。

（二）培養(yǎng)方式

學生在學習函數(shù)相關(guān)知識時，必然離不開相應的的數(shù)學選擇能力和判斷能力。故此，在具體的函數(shù)教學過程中，教師可以利用函數(shù)正反面變式對學生進行選擇判斷能力的培養(yǎng)和提升。也就是說，讓學生針對函數(shù)正反面變式進行題組和問答的選擇與判斷，在一系列的解答過程和判定過程中，不斷培養(yǎng)學生相應的選擇能力和判斷能力。

二、抽象概括能力及其培養(yǎng)方式

（一）概念

從本質(zhì)上講，數(shù)學范圍內(nèi)任何的概念、規(guī)律、算式或是符號，都可以稱為是抽象概括的結(jié)果。所以，想要將學生對事物的感性認知成功轉(zhuǎn)變成理性認知，就需要培養(yǎng)學生的抽象概括能力。作為智力與能力的核心成分，思維至關(guān)重要，但是，概括作為思維最基本的特征，在其自身發(fā)展和后續(xù)培養(yǎng)過程中有著極其重要的作用和意義。

（二）培養(yǎng)方式

在初中數(shù)學的函數(shù)教學中，大部分函數(shù)知識的教學都可以有效培養(yǎng)并提升學生的抽象概括能力。以“一次函數(shù)”的相關(guān)知識為例，不僅讓學生學習了正比例函數(shù)的概念、性質(zhì)、特征以及常用表達公式y(tǒng)=kx等，還經(jīng)過知識擴展和推廣，讓學生理解了一次擴展函數(shù)y=kx+b的特征、概念以及性質(zhì)等。客觀而言，這一系列知識的學習和理解都可以歸納為學生抽象概括能力的培養(yǎng)和提升。另外，教師利用函數(shù)例題對學生進行相關(guān)能力培養(yǎng)時，也可以將函數(shù)知識與實際問題相結(jié)合，從而在不斷激發(fā)學生學習興趣的基礎上，促使其抽象概括能力得以提升。

例如：一超市正在進行優(yōu)惠促銷活動，針對茶壺和茶杯的優(yōu)惠方式有兩種：一，買一送一。二，九折奉送。且兩種方式的優(yōu)惠前提均需要購買三個以上的茶壺。問：這兩種優(yōu)惠方式有差別嗎？哪一種更優(yōu)惠？

針對這一類題，教師就可以積極引導學生進行思維擴展和延伸，可以讓學生自行設定每個茶壺和茶杯的單價以及函數(shù)未知數(shù)，然后利用兩種優(yōu)惠方式進行最終價格比對。在此過程中，學生通過單價確定、未知數(shù)評估、方式比對等，會形成一定程度的抽象概括能力。經(jīng)過各種題型的訓練，學生這一能力也會不斷得到加強和提升，最終達到成熟的地步。

三、數(shù)學探索能力及其培養(yǎng)方式

（一）概念

數(shù)學探索能力，是一種有別于選擇判斷能力以及抽象概括能力的高級數(shù)學思維，是在綜合了一定能力的基礎上形成并發(fā)展起來的。嚴格意義上講，數(shù)學探索能力其實是一個創(chuàng)造性思維的綜合能力。在數(shù)學中，探索主要表現(xiàn)在數(shù)學問題的提出、數(shù)學結(jié)論的探求、數(shù)學解題途徑和策略的探索以及數(shù)學解題規(guī)律的尋找等方面，而探索能力則主要表現(xiàn)在設想的提出以及設想轉(zhuǎn)變的進行等方面。

（二）培養(yǎng)方式

在函數(shù)的教學過程中，想要培養(yǎng)學生對數(shù)學知識的探索能力，就必須切實做好課題教學的相關(guān)工作。讓學生針對討論價值高、挑戰(zhàn)性強、探索性強的研究課題進行課題學習，不僅可以推動和促進學生應用函數(shù)相關(guān)知識進行實際問題解決和處理，使其對應的意識和能力得到深層次發(fā)展和培養(yǎng)，還能最大限度地幫助學生進行函數(shù)相關(guān)知識的認知、理解和記憶，使其進一步認識和理解函數(shù)變量間的關(guān)系以及變量變化的客觀規(guī)律。

例如：有一長度為20米的欄桿，若一面靠墻，怎樣圍才能圍出一個面積最大的矩形花圃？

對于這類題型的課題研究，教師可以首先要求學生進行“特殊值嘗試”，將其一邊長依次設為1，2，3，4，5，6，7，8，???，則另一邊長可求出，依次為18，16，14，12，10，8，6，4，2，???，如此，其對應面積依次為18，32，42，48，50，48，42，32，18，???。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)其面積和設定的邊長有著必然的聯(lián)系，其變化規(guī)律也相當直觀。由此，便可引出一元二次函數(shù)方程式：Y=x（20-2x），求出面積最大值為50。

通過這樣的思維培養(yǎng)，相信無論是學生的選擇判斷能力，還是數(shù)學探索能力，都能得到一定程度的提升。

第2篇

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學 函數(shù) 解題

高中數(shù)學解題受到函數(shù)概念認知的干預，在高中數(shù)學習題解答中，函數(shù)模型的應用有著很重要的作用，要想高效解答高中函數(shù)習題，利用函數(shù)模型解答是最正確的行為。高中數(shù)學中最困擾學生的一個問題就是函數(shù)，大多數(shù)高中生對函數(shù)概念的認知程度不夠，導致函數(shù)習題解答中出現(xiàn)了很多困難，學生對高中數(shù)學產(chǎn)生畏懼心理。高中生必須具備函數(shù)概念認知，才能從根本上解決函數(shù)習題中遇到的困難，減輕對函數(shù)乃至于數(shù)學的畏懼心理。

一、認識函數(shù)

1.認識重要性，提高學習動力。

學生大量接觸函數(shù)是在高中時期，函數(shù)是大多數(shù)高中生心目中比較難掌握的知識點，但是高中時期函數(shù)是數(shù)學課中很重要的知識點，要想提高高中生的數(shù)學成績，就必須解決函數(shù)這個對高中生來說很難的問題。對一般實際生活中的問題利用函數(shù)模型解決就是函數(shù)，高中數(shù)學學習中，函數(shù)占據(jù)重要地位，并且是最難懂最難學的知識點，函數(shù)在大多數(shù)高中生心目中并沒有清晰的認知，導致函數(shù)學習中存在很多不容易解決的難題。并不是說沒有辦法提高高中生對函數(shù)概念的認知，深入了解函數(shù)模型和概念，能夠有效解決函數(shù)中的難題[1]。函數(shù)同時是高考數(shù)學科目考查的難點和重點，所以對函數(shù)概念進行深刻把握具有重要意義。

2.了解概念，破除認知障礙。

函數(shù)的概念：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫做自變量。

在一般書籍和資料中，函數(shù)的概念就是用x和y表示一個函數(shù)模型，函數(shù)習題中經(jīng)常解決的是實際存在的問題，高中學生的函數(shù)學習任務就是利用函數(shù)模型對這些實際問題進行解決。函數(shù)對于高中學生來說并不陌生，學生對實際中存在的問題也不陌生，但是在解決實際問題中使用函數(shù)就不一樣了，大多數(shù)高中生利用函數(shù)模型解決實際問題的時候常常不能靈活運用函數(shù)模型，學生對函數(shù)概念的認知障礙就是這樣形成的[2]。所以必須提高學生利用函數(shù)解決實際問題的能力，但是提高運用能力的時候首先要對函數(shù)的概念有深刻的認識。

二、函數(shù)的了解方法

1.參考資料，實地思考。

高中學生深入了解函數(shù)概念的最主要方式就是參考相關(guān)資料，翻閱對函數(shù)模型有一定解釋的書籍，通過書籍中對函數(shù)概念的理解對函數(shù)概念有深入認識。高中函數(shù)最重要的問題就是利用函數(shù)解決實際生活中的問題，所以通過相關(guān)資料和書籍對函數(shù)概念有深刻認識之后，要結(jié)合實際生活情況，把習題放進實際生活環(huán)境中解答，這樣關(guān)于函數(shù)的一切問題就會變得更加簡單化和生活化，再把和習題相關(guān)的函數(shù)模型運用到習題解答中，就能快速高效地解答函數(shù)習題。

2.結(jié)合實際，舉例分析。

枯燥的理論對于學生的學習來說往往不重要，為了讓學生感受到課堂樂趣及讓學生更信服，需要相關(guān)函數(shù)例子佐證。

案例：

題目：納稅是我國每一個公民都應該盡到的義務，進行生產(chǎn)經(jīng)營活動的商鋪和企業(yè)必須向稅務部繳納一定的稅務。某市對于服裝業(yè)的稅收標準如下：每月銷售額在2000元以內(nèi)的征稅400元，超過2000元的，前2000元收300元的稅款，超出2000元部分的稅率是3%.

問：（1）寫出該市服裝業(yè)征收的稅金y（元）和營業(yè)額x（元）的函數(shù)關(guān)系式。

（2）該市某一個服裝店7月份的營業(yè)額是50000元，這家服裝店七月份該繳納的稅金為多少？

分析：這道函數(shù)習題背景就是我國一般的納稅問題，結(jié)合實際生活中納稅的情況進行分析，根據(jù)題目中表達的情況，對稅金（y）和營業(yè)額（x）之間的函數(shù)關(guān)系式進行設定，這樣不僅解決了函數(shù)習題，而且是對實際生活中的問題的解答。

高中生的數(shù)學學習受到函數(shù)概念認知的影響和干預很大，用函數(shù)習題的解答能夠幫助學生對函數(shù)概念有深刻的認知，靈活地對實際生活中的問題利用函數(shù)概念解決。

三、結(jié)語

在高中數(shù)學乃至高考數(shù)學科目中，函數(shù)占據(jù)重要地位，所以高中學生必須學好函數(shù)。利用函數(shù)模型解答實際生活中的問題，這就是數(shù)學解題受到函數(shù)概念認知干預的后果。

參考文獻：

[1]朱健忠.例析三角函數(shù)的解題技巧[J].理科考試研究（高中版），2014，21（7）：14.

第3篇

關(guān)鍵詞：函數(shù) 定義域 思維品質(zhì) 解題

思維品質(zhì)是指個體思維活動特殊性的外部表現(xiàn).它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì).函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿于整個高中數(shù)學的始終.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，函數(shù)的定義域(或變量的允許值范圍所組成的集合)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數(shù)題中強調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)是十分有益的.本文就常見的函數(shù)解題與函數(shù)定義域的密切解析以具體案例的形式展開論述。

1.函數(shù)解析式與定義域

函數(shù)解析式包括定義域和對應法則，所以在求函數(shù)的解析式時必須要考慮所求函數(shù)解析式的定義域，否則所求函數(shù)解析式可能是錯誤的.

案例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)解析式？

解：設矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：S=x(50-x)

故所求函數(shù)的解析式為：S=x(50-x)．

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)解析式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量x取負數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負數(shù)，即矩形的面積為負數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0

即：函數(shù)的解析式為：S=x(50-x) （0

這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴密性.

2.函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題.如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤.

案例2：求函數(shù)y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值．

解：y= x2-2x-3=( x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

當x=1時，ymin=-4

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學生思維缺乏靈活性.

其實以上結(jié)論只是對二次函數(shù)y= ax2+bx+c(a>0)在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p,q]上，它的最值應分如下情況：

⑴ 當 時，y=f(x)在[p,q]上單調(diào)遞增函數(shù)f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；

⑵ 當 時，y=f(x)在[p,q]上單調(diào)遞減函數(shù)f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；

⑶ 當 時，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min= ，

f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一個值.

故本題還要繼續(xù)做下去：-2≤1≤5 f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3

f(5)=52-2×5-3=12

f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

函數(shù)y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12．

這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學生思維的靈活性.

3.函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當定義域和對應法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時，應注意函數(shù)定義域.

案例3：求函數(shù) 的值域．

錯解：令t= ,則2x=t2+3

y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=

故所求的函數(shù)值域是 ．

剖析：經(jīng)換元后，應有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函數(shù)，

所以當t=0時，ymin=1．

故所求的函數(shù)值域是[1, +∞）．

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

4.函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.

案例4：判斷函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：2 ∈[-1,3]而-2 [-1,3]

定義域區(qū)間[-1,3]關(guān)于坐標原點不對稱

函數(shù)y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數(shù)．

若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學生解題思維的敏捷性.

如果學生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯誤結(jié)論： f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)函數(shù)y=x3, x∈[-1,3]是奇函數(shù)．

錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯誤的原因.

5.結(jié)束語

綜上所述，在求解函數(shù)解析式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結(jié)果有無影響，就能提高學生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性.

參考文獻