數(shù)學(xué)教學(xué)如何促進(jìn)數(shù)學(xué)理解范文

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［摘要］數(shù)學(xué)理解是一種理解的深度，是一種體驗(yàn)的高度，是一種創(chuàng)新的廣度．有深度的數(shù)學(xué)理解，從揭示知識(shí)的來龍去脈開始，從呈現(xiàn)教師的思維過程出發(fā)，從暴露學(xué)生的思維過程展開，并在自編題中實(shí)現(xiàn)從理解知識(shí)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的升華．

［關(guān)鍵詞］高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)理解；暴露思維；自編題

目前，高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在著以下困惑：數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)以及例題等的講解一聽就懂了，而在習(xí)題訓(xùn)練或考試中卻無從下手，這是當(dāng)下嚴(yán)重影響學(xué)生數(shù)學(xué)成績提升的一大“瓶頸”．目前，狂刷習(xí)題是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常態(tài)，尤其是高三學(xué)生，刷題的時(shí)間和數(shù)量是無以計(jì)數(shù)的，而效果卻又是極小的．這與師生中普遍存在的認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是做題和計(jì)算”有著相當(dāng)大的關(guān)聯(lián)，久而久之，就會(huì)出現(xiàn)學(xué)生缺乏對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)必要而深刻的理解，自認(rèn)為知識(shí)的掌握已經(jīng)成型，而事實(shí)上卻是淺顯的、模仿性的．章建躍先生提出需“理解數(shù)學(xué)”，所謂的“數(shù)學(xué)理解”，就是學(xué)生的頭腦中形成一個(gè)強(qiáng)大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，吸收該數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，使之快速與已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，從而內(nèi)化為一個(gè)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，在不斷建構(gòu)和修正數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中可以促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的形成．一般來說，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的前提條件．不少一線教師對(duì)數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)理解不夠透徹，在把握教學(xué)本質(zhì)上有所偏差，僅僅追求表面上的知識(shí)輸送，從而抑制學(xué)生思維的發(fā)展．因此，在教學(xué)中如何促使學(xué)生深刻理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是值得廣大數(shù)學(xué)教師研究的問題．下面筆者就圍繞“促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)”這一主題，談?wù)勛陨淼囊稽c(diǎn)思考，與同行交流．襛數(shù)學(xué)理解，從揭示知識(shí)的來龍去脈開始高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容所包含的不僅僅是數(shù)學(xué)的結(jié)論，還需囊括數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．這樣一來，教師就不可以機(jī)械地將數(shù)學(xué)結(jié)論拋給學(xué)生，而需注重學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其是數(shù)學(xué)概念、定理、公式、發(fā)展等的學(xué)習(xí)過程，從而真正理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的真正理解［1］．例如，在教學(xué)“等差數(shù)列的通項(xiàng)公式”時(shí)，筆者為了讓學(xué)生真正理解定義的來龍去脈，讓學(xué)生親身經(jīng)歷等差數(shù)列定義an－an-1=d（n≥2）向通項(xiàng)公式an=a1+（n－1）d的推導(dǎo)過程，使學(xué)生對(duì)公式中每一個(gè)字母的含義有深層次的認(rèn)識(shí)，并實(shí)現(xiàn)滲透“消項(xiàng)累加”的數(shù)學(xué)思想的目的．案例1：在“球體的體積”的教學(xué)過程中，筆者沒有直接呈現(xiàn)球體的體積公式V=43πR3，而是引導(dǎo)學(xué)生逐步探究和推導(dǎo)此公式，讓學(xué)生對(duì)探求方法有一定的認(rèn)識(shí)，對(duì)體積公式有深刻的理解．具體探究過程如下：首先，研究如何計(jì)算半徑為R的半球體積，借助一個(gè)幾何體，該幾何體與半球相同高度，且在用任何水平面截取時(shí)，所得截面面積均相等．接著，設(shè)與大圓平行且與球心距離是l的平面截半球所得圓面半徑是r=R2-l2姨，可得截面面積S1=πr2=π（R2－l2）=πR2－πl(wèi)2．此處的S1可視為在半徑是R的圓面被挖掉一個(gè)半徑是l的同心圓而得出的圓環(huán)面積．然后，取一個(gè)底面半徑與高都為R的圓柱，并去掉一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點(diǎn)的圓錐，將得到的幾何體和半徑為R的半球置于同一水平面．最后，任意水平面截取這兩個(gè)幾何體，得到的截面分別為圓面與圓環(huán)面．由此可得：圓環(huán)大圓半徑是R，小圓半徑是l，面積是S2=πR2－πl(wèi)2，可得S1=S2，據(jù)祖暅原理，以上兩個(gè)幾何體的體積相等數(shù)學(xué)作為一門理性學(xué)科，理解和思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵詞．在課堂教學(xué)中，只有充分暴露知識(shí)的形成過程，才能讓學(xué)生生成最真實(shí)的體驗(yàn)，才能真正地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，獲取數(shù)學(xué)知識(shí)．這樣的經(jīng)歷過程，是一種有效的、必要的體驗(yàn)，只有當(dāng)學(xué)生獲得了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解，學(xué)生在應(yīng)用時(shí)才能做到游刃有余［2］．

數(shù)學(xué)理解，從呈現(xiàn)教師的思維過程出發(fā)

在課堂教學(xué)中，教師不僅需將教材中的思維結(jié)果傳授給學(xué)生，更需要向?qū)W生呈現(xiàn)自身的思維過程，使學(xué)生得到啟迪．教師將自身的思路或是從學(xué)生的角度進(jìn)行思考的過程分析給學(xué)生，將自己解決問題時(shí)遇到的一系列困惑、難題甚至于失敗暴露給學(xué)生，將自身的調(diào)整、修正以及一步步走向成功解題的過程演示給學(xué)生．這樣一來，在教師與學(xué)生的同步思維中，可以幫助學(xué)生正面解決困難，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)．案例2：以一道拋物線習(xí)題的探究過程為例問題呈現(xiàn)：一直線過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，并與該拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)y1，y2，證明：y1y2=－p2．生（證明過程略）師：現(xiàn)將條件“過焦點(diǎn)”向“過定點(diǎn)（a，0）”推廣，可得到什么結(jié)論？探究1：一直線過定點(diǎn)（a，0）并與拋物線y2=2px（p>0）相交于縱坐標(biāo)為y1，y2的兩點(diǎn)，那么y1y2為常數(shù)．因?yàn)橹本€過定點(diǎn)（a，0），設(shè)直線方程y=k（x－a），聯(lián)立拋物線方程y2=2px（p>0），消掉x后，可得y2－2pky－2pa=0，所以y1y2=－2pa，即為常數(shù)．探究2：已知拋物線y2=2px（p>0）上的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且有y1y2=k（k為常數(shù)），那么直線恒過定點(diǎn)．設(shè)直線AB方程是x=my+a，代入拋物線方程y2=2px，可得y2－2pmy－2pa=0，有y1y2=－2pa．又y1y2=k，則有k=－2pa，a=－k2p，所以直線恒過定點(diǎn)，－k2p，0，．教師以教材中的一道習(xí)題為載體，有目的地向?qū)W生重點(diǎn)暴露變式探究的思維過程，讓學(xué)生看到例題、習(xí)題的多種變化，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，讓學(xué)生真正參與到知識(shí)的生產(chǎn)和發(fā)展中來

數(shù)學(xué)理解，從暴露學(xué)生的思維過程展開

當(dāng)然，作為教師，不僅僅需向?qū)W生展示自己的思維過程，讓學(xué)生獲得深層次的理解，取得思維方法的借鑒，還需善于引導(dǎo)學(xué)生暴露自身的思維過程，展示學(xué)生問題解決的思維過程，暴露學(xué)生解決問題過程中的錯(cuò)誤．教師再以“錯(cuò)”來做文章，讓學(xué)生既能找到自身錯(cuò)誤的根源并糾正，又能在展示中逐步學(xué)會(huì)探究性學(xué)習(xí)，并實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造等高階思維的培養(yǎng)［3］．案例3：已知1≤x+y≤3，①－1≤x－y≤1，，②求出4x+2y的取值范圍．學(xué)生經(jīng)過思考，很快得出以下錯(cuò)解：①+②，可得0≤2x≤4，即0≤4x≤8③，②×（－1），可得－1≤y－x≤1④，%%%①+④，可得0≤2y≤4⑤，%%%%%%③+⑤，可得0≤4x+2y≤12．很顯然，以上的錯(cuò)誤源于求解過程中學(xué)生忽略了x，y之間的相互制約關(guān)系．教師點(diǎn)撥和誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤根源，并與學(xué)生一同探究得出正確的解題思路，從而深化了學(xué)生的認(rèn)識(shí)．由此得出以下正確解題思路：4x+2y=3（x+y）+（x－y）．由①可得3≤3（x+y）≤9⑥，⑥+②可得2≤3（x+y）+（x－y）≤10，即2≤4x+2y≤10．

讓學(xué)生在自編題中實(shí)現(xiàn)從理解知識(shí)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的升華

作為一名數(shù)學(xué)教師，要清楚地指引學(xué)生深層次理解數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步子在哪里．鼓勵(lì)學(xué)生多做自編題這種新的探究活動(dòng)，高起點(diǎn)地吸引學(xué)生的注意力，迫使學(xué)生轉(zhuǎn)變被動(dòng)接受知識(shí)的現(xiàn)狀，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)他們的挑戰(zhàn)和智慧，促發(fā)學(xué)生更高的求知欲．例如，在學(xué)完“幾何體積公式”這一內(nèi)容后，筆者會(huì)引導(dǎo)學(xué)生自編與體積相關(guān)的數(shù)學(xué)問題．學(xué)生們躍躍欲試，形成了多種創(chuàng)編思路，盡管所編題目較為淺顯，有些還略顯“低級(jí)”，不過很顯然他們都參與到了積極思考的氛圍中去，有效迫使學(xué)生自主回歸知識(shí)基礎(chǔ)并完善自身的知識(shí)體系，做到了用“自編題”進(jìn)入數(shù)學(xué)思維火熱碰撞的殿堂．總之，數(shù)學(xué)教學(xué)的落腳點(diǎn)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的終身學(xué)習(xí)能力．因此，教師需轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)的思想，真正從學(xué)生出發(fā)，基于學(xué)生視角去演繹教學(xué)．只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)才能事半功倍，學(xué)生火熱的思維才能得到提煉，得以深化，從而不斷提高他們的思維水平．

參考文獻(xiàn)：

［1］余業(yè)兵，李蓉.揭示數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的有序建構(gòu)———例談高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程建構(gòu)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（06）.

［2］袁永春.注重知識(shí)形成過程的初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（02）.

［3］張昆，張乃達(dá).暴露數(shù)學(xué)思維過程的課堂教學(xué)研究———透過培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視點(diǎn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（04）.

作者：高原 單位：南京師范大學(xué)灌云附屬中學(xué)