數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的范疇論分析范文

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《科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究雜志》2014年第四期

一、范疇結(jié)構(gòu)主義的基本思想

20世紀(jì)30年代布爾巴基學(xué)派提出了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義，認(rèn)為我們應(yīng)該圍繞結(jié)構(gòu)而不是經(jīng)典問題發(fā)展數(shù)學(xué)，主張結(jié)構(gòu)主義關(guān)注對象間的關(guān)系而不是其內(nèi)在本質(zhì)。布爾巴基學(xué)派明確支持集合論結(jié)構(gòu)主義，因其能夠為數(shù)學(xué)的各個分支提供一個統(tǒng)一框架，但集合論結(jié)構(gòu)主義面臨不能應(yīng)用于集合論自身，尤其是集合全域的多樣性問題。這促使數(shù)學(xué)家們和哲學(xué)家們開始發(fā)展其他可以闡明結(jié)構(gòu)主義的方式，其中主要有斯圖爾特•夏皮羅(StewartSha-piro)的自成一體(suigeneris)結(jié)構(gòu)主義，但這種結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)含有非嚴(yán)格的結(jié)構(gòu)，如復(fù)數(shù)a+bi與它的共軛a－bi共享所有的結(jié)構(gòu)屬性;杰弗里•赫爾曼(GeoffreyHellman)的模態(tài)結(jié)構(gòu)主義(modalstruc-turalism)，其面臨的是一致性問題;第三種進路是基于范疇論的，1945年塞繆爾•艾倫伯格(SamuelEilenberg)與麥克蘭恩引進了范疇的數(shù)學(xué)概念，并證明范疇也包含這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，由此產(chǎn)生了范疇結(jié)構(gòu)主義。

(一)范疇論的結(jié)構(gòu)主義基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)主義者夏皮羅對結(jié)構(gòu)的表述是，“我把系統(tǒng)定義為有某些關(guān)系的對象的集合，……結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)的抽象形式，突出了對象間的相互關(guān)系，并且忽略不影響它們與系統(tǒng)中其他對象相聯(lián)系的任何特征。”［3］為了具體說明結(jié)構(gòu)的概念及結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，我們不妨以阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)來舉例說明，例如0，1，2，3，……;以及策梅羅數(shù)字系統(tǒng)，例如，，{}，{{}}，{{{}}}，……，這兩個系統(tǒng)具有很多不同的特征，比如初始元素不同。但也有一些共有的特征:比如都有一個可辨別的初始元素;除初始元素外的每一元素都是其他元素的后繼;并且它們的后繼都滿足歸納原理，這三個特點就是這些系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。這兩個系統(tǒng)的抽象形式，與其他具有可辨別的初始對象且又滿足歸納原理的后繼關(guān)系的形式，都是自然數(shù)的結(jié)構(gòu)，也就是說滿足相同結(jié)構(gòu)性質(zhì)的系統(tǒng)可以表征同一個結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)主義者認(rèn)為數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)是與這個結(jié)構(gòu)中其他對象之間的關(guān)系，與其內(nèi)在屬性無關(guān)。拿自然數(shù)結(jié)構(gòu)來說，自然數(shù)的實質(zhì)就是它所擁有的與其他自然數(shù)之間的關(guān)系。通過對數(shù)學(xué)的考察，可知自上而下的結(jié)構(gòu)概念占據(jù)主導(dǎo)地位，這一現(xiàn)象體現(xiàn)在:它比自下至上的結(jié)構(gòu)概念更靈活，并且能非常有效的為證明定理產(chǎn)生有力的工具。需要指出的是，范疇論可以為自上而下的結(jié)構(gòu)概念提供一個理論框架。總的來講，范疇論有三個特征是值得注意的:(1)一些結(jié)構(gòu)范疇特征的獨立性來自其初始的說明方式，而這種說明方式部分地解釋了“自上而下”的概念;(2)范疇論通過其對于同構(gòu)的一般性概念為“相同結(jié)構(gòu)”和“結(jié)構(gòu)屬性”提供了精確的定義;(3)在一個給定范疇中的給定對象可能具有的唯一屬性是，作為該范疇中的對象具有結(jié)構(gòu)的屬性。因此數(shù)學(xué)的“箭頭理論”①自動為數(shù)學(xué)提供了一個結(jié)構(gòu)性的方法。因此，至少在表面上，范疇論為闡明結(jié)構(gòu)主義提供了一個理想框架。

(二)范疇論結(jié)構(gòu)主義的形式化表征在集合和函數(shù)中，f∶A→B表示f是一個定義在集合A上的函數(shù)并且它的值在集合B中。每個集合A都有一個恒等函數(shù)，對A中的每個x記作1A∶A→A和1A(x)=x，并且對A中的所有x任何函數(shù)f∶A→B和g∶B→C都有一個復(fù)合gf∶A→C和gf(x)=g(f(x))。在形式語言的演繹規(guī)則中，f∶A→B表示f是一個證明，它唯一的假設(shè)是公式A結(jié)論是公式B。每個公式A都有一個證明1A∶A→A，其中A既是假設(shè)又是結(jié)論。將證明f∶A→B和g∶B→C連接起來可以給出gf∶A→C。據(jù)此，證明可以看作是將假設(shè)轉(zhuǎn)變成它的結(jié)論。這兩個例子所共有的特征在數(shù)學(xué)中是普遍的，范疇論可以對它們進行公理化處理。范疇公理抽象地談到“對象”和“箭頭”:每個箭頭都有一個作為定義域的對象和另一個作為值域的對象，f∶A→B表示f是對于定義域A和值域B的箭頭。如果某個箭頭的值域是另一個的定義域，如f∶A→B和g∶B→C的這種情況，箭頭就有一個“復(fù)合”gf∶A→C。每個對象A都有一個“恒等箭頭”1A∶A→A。公理要求對任何箭頭f∶A→B，g∶B→C和h:C→D我們都有h(gf)=(hg)f，f1A=f和1Bf=f。按照這樣的公理化，我們有范疇“集”()，它的對象是集合，箭頭是函數(shù);還有范疇“證明”(Proof)，它的對象是公式，箭頭是證明。范疇公理顯然適用于“集”和“證明”。還有其他的范疇如:“拓撲”(Top)，拓撲空間是對象，連續(xù)函數(shù)是箭頭;“群”(Group)，對象是群(抽象代數(shù))，箭頭是群同態(tài)。在這些不同的范疇中，范疇論有一個統(tǒng)一的作用就是論證不同背景下的不同定理，更重要的是，它專注于對象間相關(guān)的結(jié)構(gòu)關(guān)系。正如史蒂夫•阿沃第(SteveAwodey)對范疇的描述，“范疇為給定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一種表征和描述的方式，即在具有所討論的結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)對象之間映射的保存方面。范疇可以理解為包含具有某種結(jié)構(gòu)的對象以及保有該結(jié)構(gòu)的對象間的映射。”［4］

(三)作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的范疇論毋庸置疑，范疇論并非談?wù)摻Y(jié)構(gòu)的唯一方式，甚或最好的方式。但值得強調(diào)的是，范疇論的確是非常恰當(dāng)?shù)姆绞健６我赃@項工作由范疇論而非圖論、泛代數(shù)學(xué)、一階邏輯或是描述性集合論來完成有其理論根源。范疇論發(fā)展得如此廣闊是基于范疇的概念及函子性、自然性與伴隨性的相關(guān)概念在現(xiàn)代抽象的數(shù)學(xué)證明中所具有的廣泛適用性。而這種廣泛的適用性恰好表明了范疇論在具體說明和操作結(jié)構(gòu)時的有效性。在范疇論中，像關(guān)系、連接、屬性和算子這樣的概念都包括在初始的態(tài)射概念之下。態(tài)射概念所具有的一般性和靈活性，足以達到其他更多概念能發(fā)揮的功能。具體來看，需要關(guān)系的概念就用乘積和單態(tài)射;需要算子的概念就用乘積上的態(tài)射;同態(tài)的概念就考慮結(jié)構(gòu)范疇;結(jié)構(gòu)之間的連接，用范疇間的函子;連接中的連接，用函子的范疇等等。許多表面上不同的現(xiàn)象都能以統(tǒng)一的方式進行描述，它們很容易通過范疇論的語言相互關(guān)聯(lián)起來。但是這些范疇存在于何處?例如，在任意的范疇C中一個群G的概念僅僅涉及一些對象、箭頭和圖解，然后討論這個范疇中所有群的范疇Group(C)，接著討論從群范疇回到C的所有函子的范疇CGTOUP(C)等等，這些構(gòu)造一定會發(fā)生在某處，它們需要一些采集原理(collectionprinciples)。但情況并非如此，在層級中“向上”(ingup)的思想，需要越來越強的采集原理和存在性假定，而這些卻依靠基礎(chǔ)主義的概念，其涉及的對象是固定的、確定的。從范疇的角度來看，一個相當(dāng)于“向下”(ingdown)的思想，則是通過詳述更多需要考慮的環(huán)繞結(jié)構(gòu)，如在一個笛卡爾的(cartesian)閉范疇S中最初的范疇C是不重要的。那么范疇S來源于哪里?我們通過笛卡爾閉范疇的少數(shù)公理來描述它，然后進一步假定其中的范疇C具有任何讓我們感興趣的性質(zhì)———特別是，它有一個群G。我們是以這個相同的范疇C開始的嗎?這個問題毫無意義。因為這里的G、C、S都不是特殊的，它們是圖解的結(jié)構(gòu)，也可以說，它們是通過這些范疇上的對象、箭頭與條件的構(gòu)形(configuration)來指定或確定的，這可以在各種不同的情形下假定或得到，反過來也可能是圖解的。例如，“現(xiàn)在假設(shè)這個特殊的太陽系是一個原子，這個原子在一個巨大的太陽系的一些大物質(zhì)中，”［5］有人提出另一種說法“現(xiàn)在假設(shè)特殊的構(gòu)形出現(xiàn)了，不是作為太陽系，而是作為太陽系中一些大物質(zhì)中的原子”。［5］第一個假設(shè)確實需要附加的存在性假定，但第二個并不需要。構(gòu)形一開始僅被假定為一個結(jié)構(gòu)，因此可以通過假定它發(fā)生在更多特殊的情形中來具體說明。結(jié)構(gòu)陳述的圖解特征對這個方法顯然是必不可少的;無論我們最初關(guān)于C說什么(例如，在它里面有一個群)，在我們把它放到環(huán)繞范疇S中后仍然可以說到C，因為我們起初沒有給出任何關(guān)于它的特殊假定。然而，我們獲得有關(guān)結(jié)構(gòu)圖解陳述的精確概念了嗎?僅僅用范疇論的通常語言與方法就可以獲得;它們自動地把數(shù)學(xué)對象看作結(jié)構(gòu)，并且在所需意義上對它們的范疇陳述是內(nèi)在“圖解的”。基于此，范疇論無疑是結(jié)構(gòu)主義的一種恰當(dāng)呈現(xiàn)方式。

二、作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的范疇論面臨的爭論

威廉•勞佛爾(F．WilliamLawvere)在20世紀(jì)60年代初首先提議范疇論可以替代集合論擔(dān)任整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題提供了新的選擇。該主張一經(jīng)提出，就得到了當(dāng)代一些倡導(dǎo)數(shù)學(xué)實踐的數(shù)學(xué)哲學(xué)家的擁護，如阿沃第和科林•麥克拉蒂(ColinMcLarty)，他們都贊同我們應(yīng)把范疇論作為數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)主義基礎(chǔ)。但與此同時，這一主張也遭到了集合論者以及其他結(jié)構(gòu)主義進路的反對，其中最具代表性的是赫爾曼的批判。兩方陣營就是否應(yīng)把范疇論作為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)展開了激烈而持久的論爭。

(一)范疇論對集合論的假定赫爾曼指出，范疇的基礎(chǔ)假定了集合論與函數(shù)，“坦率承認(rèn)在公理化范疇論時函數(shù)概念是假定的，至少是非正式地，在公理化范疇論時”。［6］133“非正式地假定”這個意思就是說首先它意味著公理沒有正式的假定任何這樣的事情，當(dāng)然如果公理已經(jīng)正式假定，那么它必定會被明確地指出。這個事實說明公理沒有被假定，只是受到了某一個非正式的函數(shù)思想的激發(fā)，也可以解釋為是函數(shù)的概念激發(fā)了范疇的箭頭概念。麥克拉蒂對此質(zhì)疑做出了回應(yīng)“一個最一般的函數(shù)概念，早于集合論出現(xiàn)，必然激發(fā)了范疇論。但是激發(fā)不是假定”。［7］例如，一階邏輯的句法發(fā)展是由所需的語義學(xué)激發(fā)的，但我們并不能僅依據(jù)歷史的事實推知一階邏輯的句法假定了語義學(xué)概念。集合范疇的基本理論(簡稱ETCS)①由集合和函數(shù)的一個非正式的思想所激發(fā)，甚至一般的范疇公理在20年前正是受到某一個非正式函數(shù)的思想激發(fā)。另外我們還能證明函數(shù)可以在范疇論中定義，例如，把范疇“集”②的內(nèi)容看作是所有這些小集合的對象和所有這些集合間函數(shù)的箭頭。在“集”中定義一個內(nèi)在范疇C，通過這種方式內(nèi)在范疇C中的函數(shù)概念可以看作是環(huán)繞范疇“集”中的箭頭，由此可以得出一個結(jié)論，范疇論可以自主地為函數(shù)提供解釋，無需得到ZF的支持。

(二)范疇論公理是“圖解的”為便于理解這一論題，我們首先回顧有關(guān)公理的兩個概念:一個是弗雷格式(Fregean)的，也稱為確定的，即這個公理傳統(tǒng)上是作為普遍的基礎(chǔ)真理，如傳統(tǒng)的歐幾里得幾何學(xué)概念或者算術(shù)公理或者策梅羅－弗蘭克爾集合論公理，其中初始術(shù)語有確定的意義，所有用到它們的公理都有確定的真值。另一個是希爾伯特式(Hilbertian)的，也稱為代數(shù)的，圖解的。例如群、模塊、環(huán)、場等的代數(shù)結(jié)構(gòu)公理，它們甚至不是斷言的，而是在感興趣的結(jié)構(gòu)類型上定義條件，初始術(shù)語的意義也不是確定的，通常只是以圖解式的方式得以理解。比如對于范疇而言，其初始術(shù)語“對象”、“態(tài)射”、“定義域”、“值域”和“復(fù)合”等都沒有明確的意義，只能在滿足公理的特定解釋的情況時這些初始術(shù)語才能獲得意義。可以說，希爾伯特公理系統(tǒng)的崛起和涌現(xiàn)標(biāo)志著現(xiàn)代數(shù)學(xué)對結(jié)構(gòu)主義概念的傾向，而范疇論無疑強化了這一趨勢的發(fā)展。赫爾曼對范疇數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的主要批判在于，范疇論公理在他看來總是按圖解式得到理解。他認(rèn)為范疇論“作為一個結(jié)構(gòu)主義的基礎(chǔ)框架至少在兩個主要相關(guān)方面是不完全的:(1)它缺少一個外在的關(guān)系理論，(2)它缺少實質(zhì)性的數(shù)學(xué)存在公理”。［6］138在赫爾曼的論證中(2)是很容易理解的，在他看來，為了使公理蘊涵涉及數(shù)學(xué)實體的存在性，公理就必須斷言，但從上述公理的概念得知范疇論是圖解的，是沒有斷言的，所以赫爾曼表示“數(shù)學(xué)存在性的問題真的就是似乎不能由范疇論解決”。［6］136關(guān)于(1)在赫爾曼的論證中并不十分顯然，他首先指出對這個觀點我們要先“了解滿足范疇論公理的結(jié)構(gòu)”，［6］135繼而“在這個水平上求助于一些形式上的‘集’和‘運算’似乎是不可避免的。事實上，可以在一個邏輯或關(guān)系(與作為一元關(guān)系的集合)理論下包容這兩個概念:那正是范疇和拓撲斯①理論缺失的，兩個都作為一階理論，更重要的是，作為非形式數(shù)學(xué)，但是由集合論提供。”［6］135也就是說，因為范疇論是圖解的，我們需要了解滿足其公理的結(jié)構(gòu)，這就反過來使得范疇論依賴某個外在的關(guān)系理論。麥克拉蒂對赫爾曼的這一觀點提出了反駁。他指出，把范疇論公理和一般的拓撲斯(Topos)公理理解成代數(shù)的———也就是沒有斷言的，這是正確的。然而，某些特別的范疇以及拓撲斯的特定公理是確定的，具體的以范疇為基礎(chǔ)的理論就可以提供這樣一個框架，他特別指出了集合范疇的基本理論(簡稱ETCS)以及范疇的范疇作為基礎(chǔ)(簡稱CCAF②)。ETCS和CCAF公理提供了一個與其主題有關(guān)的范疇理論的描述———分別即集合與集合間的函數(shù)，范疇與范疇間的函子。他主張ETCS和CCAF的公理可以被斷言，因而赫爾曼提出的(1)就是無效的。進一步地，ETCS和CCAF對涉及數(shù)學(xué)實體存在性的問題均提供了具體解答，這就表明赫爾曼提出的(2)也是站不住腳的。

(三)對ETCS和CCAF的質(zhì)疑ETCS就是將范疇“集”公理化;將“范疇的范疇”公理化，這樣得到的公理稱為CCAF。這些系統(tǒng)的公理不僅定義了結(jié)構(gòu)類型而且是斷言性的，從而對數(shù)學(xué)實體的存在而言是正確的。事實上，ETCS可以理解為與ZFC所描述的是一回事，盡管前者所使用的是箭頭理論而不是初始的集合從屬關(guān)系。關(guān)于CCAF，勞佛爾把“范疇的范疇”作為基礎(chǔ)，這樣就可以解決存在性的問題。的確，范疇論本身沒有這樣的公理，但它也不缺乏這樣的公理，因為范疇論自身是適用于許多結(jié)構(gòu)的一般理論。每個特殊的范疇基礎(chǔ)都提供不同的但相當(dāng)強的存在性公理。這些都是在范疇的基礎(chǔ)上，在ZF的基礎(chǔ)上沒有這樣的多元性。任何人談到“集合公理”或多或少都會意味著一些潛在性的基礎(chǔ)理論，例如ZF，但集合的公理幾乎沒有其他用途。相反，范疇公理在日常的數(shù)學(xué)實踐中以多種方式應(yīng)用于多種不同的結(jié)果中。不可否認(rèn)，的確存在一些公理，麥克蘭恩等人并未給出特別解釋。這進一步引發(fā)了赫爾曼的質(zhì)疑，即何以這些公理沒有存在性的聲明還能用于如此眾多的不同解釋中。而這一質(zhì)疑對ETCS和CCAF來說是不起任何作用的。赫爾曼并未止步于此，他進而對ETCS和CCAF作為基礎(chǔ)框架提出了質(zhì)疑。在他看來，ETCS的不足是它不能充分地解釋數(shù)學(xué)的開放性(－ended-ness)，例如，數(shù)學(xué)表面上不確定的可擴充性。赫爾曼甚至僅把ETCS看成是“方便的虛構(gòu)”。

赫爾曼表示與ETCS相比，CCAF算是“抓住了公牛的角”［8］156。他認(rèn)為，根據(jù)日常的、數(shù)學(xué)的與科學(xué)的經(jīng)驗，初始概念和框架的公理這些前提條件應(yīng)該是明了的。“范疇”和“函子”正是初始概念，因而CCAF公理可以解釋范疇的范疇和函子。通過借鑒數(shù)學(xué)實踐可知，能夠通達這個初始術(shù)語“范疇”的唯一概念途徑可以支持范疇的范疇理論，由“結(jié)構(gòu)滿足范疇論的代數(shù)公理”這種類型的表征所提供的作為恰當(dāng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理論具有足夠的一般性。赫爾曼意識到，在數(shù)學(xué)實踐中有無數(shù)多例子都用到了“范疇”和“函子”這種初始術(shù)語，并為它們提供了一種特定類型概念上的理解。然而，把這種理解看作是恰當(dāng)?shù)母爬ǎ諣柭J(rèn)為這是不充分的;因為這樣的概括，必須依靠上述提到的那種表征。此外，所有這些表征都使用了滿足或可接受性等這類概念，這些都依賴于外在關(guān)系理論。因此，麥克拉蒂對CCAF的解釋，在概念層面上依賴于外在的關(guān)系理論。麥克拉蒂對赫爾曼的批判進行了反駁，為作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的范疇論作辯護。關(guān)于ETCS，他論證說“這不是我的虛構(gòu)，我經(jīng)常拒絕任何確定的或最大的集合全域。”［9］他還援引數(shù)學(xué)實踐中許多“范疇”和“函子”的實例論證了通向CCAF公理概念的途徑是完全明了的。例如:任意的偏序集＜P，≤＞構(gòu)成一個小范疇，其對象是P的元素;態(tài)射是從X指向Y的箭頭，其中X≤Y。把一個偏序集P看作范疇，那么按P引入的有序系統(tǒng)就可以看作是函子。如此可以定義“范疇的范疇”和“函子”，從而完全明了地通向CCAF公理。此外，赫爾曼使用上述類型的表征得到了廣泛的認(rèn)可，但他認(rèn)為數(shù)學(xué)對象只能通過集合論的說明或一些相似的說明才能在一個完全明了的方式上定義。這一觀點是不正確的。我們不妨以線性變換為例，當(dāng)前的數(shù)學(xué)實踐中線性變換定義為同一域上兩個向量空間之間的映射。從集合論的意義上講，定義線性變換首先要對向量空間作定義，但集合論之外的數(shù)學(xué)實踐表明情況并非如此。依據(jù)亞歷山大•格羅滕迪克(AlexanderGrothend-ieck)對阿貝爾范疇(Abeliancateries)的公理化，線性空間是阿貝爾范疇中的任意對象，通過箭頭的方式定義。線性變換可以通過阿貝爾范疇中箭頭的加減以及加法的復(fù)合來表達。因此描述線性變換不需要談及向量空間或其他線性空間，除非這些空間是轉(zhuǎn)換的定義域和值域。通過上述線性變換的定義可以例證在邏輯和集合論之外的數(shù)學(xué)實踐中，數(shù)學(xué)對象通常能以完全明了的方式得到定義，而無須使用集合論或相似的說明。結(jié)語“把范疇論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”，這一觀點的提出從本質(zhì)上改變了集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的傳統(tǒng)理解，以全新的語言對數(shù)學(xué)實踐進行重解，不僅消解了集合論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所引發(fā)的悖論，更為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的研究提供了新的視角與解答。盡管這一主張受到了集合論者以及其他結(jié)構(gòu)主義者的質(zhì)疑，在一段時間內(nèi)還會面臨新的挑戰(zhàn)。但它作為對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一種可能的嶄新解釋，正以席卷的方式徹底改變著人們對數(shù)學(xué)本質(zhì)的看法。而以范疇論為基礎(chǔ)興起的范疇論結(jié)構(gòu)主義，無疑是詮釋數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的最佳語言，其作為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的恰當(dāng)理論框架，必將成為一個具有發(fā)展前景的綱領(lǐng)，在本體論、認(rèn)識論以及方法論上為數(shù)學(xué)哲學(xué)煥發(fā)新的活力，對傳統(tǒng)的問題給出新的詮釋和求解。

作者：劉杰孔祥雯單位：山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心