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摘要:皮爾士、拉卡托斯和歐里斯特對(duì)于數(shù)學(xué)可謬性的論斷是從宏觀的角度進(jìn)行的。數(shù)學(xué)證明的可審查性可以最大限度地保證其正確性，但機(jī)器證明和長(zhǎng)證明使得審查難以進(jìn)行，它們的存在也為數(shù)學(xué)可謬性提供了微觀證據(jù)。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)證明;可審查性;數(shù)學(xué)可謬性

一方面，就今天的數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)可謬性已經(jīng)成為共識(shí)，盡管很多數(shù)學(xué)家們對(duì)此并不在意。另一方面，數(shù)學(xué)科學(xué)在當(dāng)代的發(fā)展出現(xiàn)了一些新的情況如信息技術(shù)在數(shù)學(xué)研究中扮演重要角色、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系更加密切以及數(shù)學(xué)家之間合作研究程度的增加等。其中，難以審查數(shù)學(xué)證明的出現(xiàn)尤為引人注目。我們認(rèn)為，難以審查數(shù)學(xué)證明的出現(xiàn)實(shí)際上為數(shù)學(xué)可謬性提供了進(jìn)一步的證據(jù)。

一數(shù)學(xué)可謬性

長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)都被賦予成一種可靠、準(zhǔn)確和客觀知識(shí)的典范。一般人皆視數(shù)學(xué)為真理，數(shù)學(xué)家們對(duì)此往往更是引以為傲。數(shù)學(xué)家克蘭茨(Krantz，S)的話是具有代表性的，他說(shuō)，數(shù)學(xué)“具有一種確定性，這是其他科學(xué)所不具備的。我們賦予這個(gè)系統(tǒng)以可靠性、再現(xiàn)性以及可移植性，這是任何其他科學(xué)所做不到的”。克萊因(Kline，M)在描述傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)真理觀也說(shuō)過(guò):“無(wú)論什么時(shí)候，當(dāng)一個(gè)人需要一個(gè)確定性和推理正確性的例子時(shí)，他一定會(huì)求助于數(shù)學(xué)”。［1］數(shù)學(xué)哲學(xué)家們對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)是否具有真理性的問(wèn)題很早以前就有過(guò)認(rèn)真的思考。以美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)哲學(xué)家皮爾士(CharlesSandersPeirce，1839—1914)、匈牙利數(shù)學(xué)哲學(xué)家拉卡托斯(ImreLakatos，1922—1974)和英國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)家歐里斯特(PaulEr-nest，1944—)為代表的數(shù)學(xué)哲學(xué)家相繼地提出了數(shù)學(xué)具有可謬性的看法。簡(jiǎn)單地說(shuō)，皮爾士認(rèn)為數(shù)學(xué)可謬性的根據(jù)主要是通過(guò)將數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造與科學(xué)家對(duì)于經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的探究過(guò)程進(jìn)行對(duì)比得出的。皮爾士指出，數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)創(chuàng)造過(guò)程中需要將數(shù)學(xué)命題轉(zhuǎn)換成頭腦中的圖形，思維的過(guò)程就是對(duì)圖形的操作，該過(guò)程與科學(xué)家的實(shí)驗(yàn)是很相似的。由于經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的探究是可謬的，因而數(shù)學(xué)也將是可謬的。拉卡托斯區(qū)分了兩類系統(tǒng)即歐幾里得系統(tǒng)和擬經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義三大學(xué)派的基礎(chǔ)研究本質(zhì)上都是要將全部數(shù)學(xué)重建為歐幾里得系統(tǒng)，而它們的失敗說(shuō)明了數(shù)學(xué)必然是擬經(jīng)驗(yàn)的，數(shù)學(xué)的擬經(jīng)驗(yàn)性又說(shuō)明了數(shù)學(xué)的可謬性。［2］歐里斯特的數(shù)學(xué)可謬觀最先來(lái)自于拉卡托斯的數(shù)學(xué)可謬思想，并在后者的基礎(chǔ)上進(jìn)行了進(jìn)一步的分析。他將數(shù)學(xué)上的認(rèn)識(shí)論觀點(diǎn)分成絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀和可謬主義數(shù)學(xué)觀，而三大學(xué)派都持有絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀。歐里斯特通過(guò)分析指出，三大學(xué)派的絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀都是錯(cuò)誤的，因此，數(shù)學(xué)就應(yīng)該是可謬的。［3］可以看出，歐里斯特?cái)?shù)學(xué)可謬觀的得出與拉卡托斯在本質(zhì)上是類似的，都是通過(guò)對(duì)于絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀的否定而實(shí)現(xiàn)的，而皮爾士的數(shù)學(xué)可謬觀則是通過(guò)對(duì)于數(shù)學(xué)創(chuàng)造與經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的探究之間的相似性而得出。盡管二者是從不同的途徑得出數(shù)學(xué)可謬性這個(gè)相同的結(jié)論，但二者之間也有其共同點(diǎn)，那就是它們都是從宏觀上說(shuō)明數(shù)學(xué)是可謬的。根據(jù)皮爾士觀點(diǎn)，既然數(shù)學(xué)創(chuàng)造與自然科學(xué)的探究相似，那么數(shù)學(xué)本身就一定也像自然科學(xué)一樣是可謬的;而根據(jù)拉卡特斯與歐里斯特的觀點(diǎn)，可謬性本來(lái)就是數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)。那么，除此之外，是否還有其他的證據(jù)表明數(shù)學(xué)的可謬性呢?特別是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展有沒(méi)有為數(shù)學(xué)可謬性提供更加微觀的證據(jù)呢?

二數(shù)學(xué)證明可審查的必要性

數(shù)學(xué)證明被認(rèn)為是數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之間的核心區(qū)別所在，它在數(shù)學(xué)發(fā)展中扮演著極為重要的作用。通過(guò)數(shù)學(xué)證明，一個(gè)對(duì)錯(cuò)不定的數(shù)學(xué)猜想或者變成了一個(gè)數(shù)學(xué)真命題或數(shù)學(xué)定理，或者被認(rèn)定為假命題而拋棄。就數(shù)學(xué)共同體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)證明發(fā)揮著讓數(shù)學(xué)家們確信某個(gè)命題是正確無(wú)誤的作用，從而可以讓他們?cè)谧约旱臄?shù)學(xué)研究中放心地加以運(yùn)用。就數(shù)學(xué)科學(xué)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)發(fā)展的必要途徑，通過(guò)數(shù)學(xué)證明得到一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)真命題，而數(shù)學(xué)真命題是一個(gè)數(shù)學(xué)分支的主要構(gòu)成。顯然，數(shù)學(xué)證明要想發(fā)揮應(yīng)有作用，正確性是最基本的要求。泰馬祖科(ThomasTymoczko)認(rèn)為，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念中，數(shù)學(xué)證明具有三個(gè)基本的特點(diǎn)即有說(shuō)服力、可審查性以及形式化［4］。有說(shuō)服力就是上文所說(shuō)的讓共同體中其他數(shù)學(xué)家對(duì)該證明的正確性充分的確信，可審查是指其他的數(shù)學(xué)家能夠對(duì)數(shù)學(xué)證明進(jìn)行檢查以確定其是否正確，形式化是指數(shù)學(xué)證明應(yīng)該用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言書寫而成。其實(shí)，這三點(diǎn)之間是有聯(lián)系的，形式化是證明的外在形式，可審查性保證了證明的正確性，而有說(shuō)服力則是可審查性的結(jié)果。形式化是可審查性的必要條件，數(shù)學(xué)內(nèi)容用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)共同體中的成員要對(duì)數(shù)學(xué)證明進(jìn)行審查，當(dāng)然需要該證明是用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言書寫的，否則數(shù)學(xué)家可能根本就看不懂，從而就不存在審查了，從這個(gè)角度看，形式化其實(shí)是附著于可審查性的。因此，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)證明的三個(gè)特點(diǎn)的核心應(yīng)該是可審查性。關(guān)于可審查性，除了要求證明要用數(shù)學(xué)共同體共同認(rèn)可的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行形式化書寫外，還有兩點(diǎn)是需要強(qiáng)調(diào)的。其一是證明審查的主體應(yīng)該是數(shù)學(xué)共同體的成員。一個(gè)證明如果是正確的，那么也就意味著其結(jié)果能夠進(jìn)入到數(shù)學(xué)之中成為數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分而為數(shù)學(xué)共同體所接受，因此，一個(gè)證明是不是一個(gè)合法的證明應(yīng)該由共同體成員來(lái)確定。其二，證明的長(zhǎng)度應(yīng)該是適當(dāng)?shù)模@樣可以便于數(shù)學(xué)共同體的其他成員對(duì)之加以審查。如果證明過(guò)長(zhǎng)到要一位數(shù)學(xué)家化數(shù)年甚至一輩子的時(shí)間才可以看完的話，那么這樣的數(shù)學(xué)證明實(shí)際上將是難以審查的。數(shù)學(xué)證明的可審查性具有極為重要的意義，它起碼從理論上保證了數(shù)學(xué)證明的正確性。數(shù)學(xué)家在完成某個(gè)數(shù)學(xué)證明后，他會(huì)對(duì)自己的證明進(jìn)行反復(fù)的審查，從而盡可能發(fā)現(xiàn)存在的錯(cuò)誤。然后，數(shù)學(xué)家將論文投給數(shù)學(xué)期刊，期刊編輯部會(huì)安排其他數(shù)學(xué)家對(duì)該論文進(jìn)行審稿，審稿的過(guò)程也就是對(duì)數(shù)學(xué)證明審查的過(guò)程，通過(guò)該過(guò)程，如果證明中存在錯(cuò)誤的話，審稿者可能會(huì)發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤所在。當(dāng)論文正式發(fā)表后，閱讀論文的數(shù)學(xué)家們會(huì)進(jìn)一步對(duì)之進(jìn)行審查，如果仍然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，那么，證明過(guò)程及其結(jié)論就會(huì)成為數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分從而為數(shù)學(xué)家們所吸收或內(nèi)化。至此，該證明的過(guò)程和結(jié)論就真正地為數(shù)學(xué)共同體所認(rèn)可。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)證明的可審查性對(duì)于保證數(shù)學(xué)證明的正確性是極端重要。如果數(shù)學(xué)證明不具有可審查性的話，以傳統(tǒng)的觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)家共同體是不可能接受這樣的結(jié)論進(jìn)入到數(shù)學(xué)之中成為合法知識(shí)的。正如皮爾士所說(shuō)的那樣，數(shù)學(xué)知識(shí)是人的知識(shí)，而是人就會(huì)犯錯(cuò)誤，因而，作為一種人的知識(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)就具有可謬性。大學(xué)生和中學(xué)生在做數(shù)學(xué)證明時(shí)會(huì)由于各種原因出錯(cuò)，數(shù)學(xué)家做數(shù)學(xué)證明時(shí)也會(huì)時(shí)常出錯(cuò)。數(shù)學(xué)史告訴我們，錯(cuò)誤的證明是經(jīng)常發(fā)生的即使是大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家在進(jìn)行數(shù)學(xué)證明時(shí)也無(wú)法避免犯錯(cuò)。例如，肯普(Kempe)在1879年發(fā)表了他對(duì)四色猜想的證明，11年后希伍德(Heawood)發(fā)現(xiàn)了肯普證明中的一個(gè)致命錯(cuò)誤。1911年6月大數(shù)學(xué)家哈代(Hardy)和李特爾伍德(Litterwood)合作的一篇論文在倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)上散發(fā)，但后來(lái)他們發(fā)現(xiàn)其證明是錯(cuò)誤的。1945年，拉特馬赫(Rademacher)認(rèn)為他已經(jīng)證明出了黎曼猜想，甚至?xí)r代雜志都宣布了該結(jié)果，但后來(lái)被審查發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤。［5］正是由于數(shù)學(xué)證明具有可審查性，才使得許多錯(cuò)誤的證明在公開(kāi)后能夠被發(fā)現(xiàn)。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)的健康發(fā)展，證明的可審查性功不可沒(méi)。

三難以審查的數(shù)學(xué)證明的出現(xiàn)

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)證明具有可審查性，它最大限度地保證了數(shù)學(xué)結(jié)論的無(wú)誤性。數(shù)學(xué)科學(xué)從古希臘的幾何到今天達(dá)數(shù)百個(gè)數(shù)學(xué)分支，數(shù)學(xué)成為一個(gè)參天大樹(shù)有賴于數(shù)學(xué)內(nèi)容的正確性，而這與數(shù)學(xué)證明的可審查性是分不開(kāi)的。但是，數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，竟然在數(shù)學(xué)證明上出現(xiàn)了不可審查的問(wèn)題，以下是兩個(gè)典型的例子。第一個(gè)例子是四色定理的證明。四色定理的表述如下:將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1234這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字。這里所指的相鄰區(qū)域是指有一整段邊界是公共的，而如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)就不叫相鄰的。最先正式提出“四色問(wèn)題”的是英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊，他于1872年正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)提出了“四色問(wèn)題”。從那以后，包括閔可夫斯基在內(nèi)的不少大數(shù)學(xué)家都試圖證明該猜想，但均沒(méi)有成功。1976年，黑肯和阿佩爾運(yùn)用計(jì)算機(jī)歷時(shí)1200小時(shí)證明了“四色問(wèn)題”。第二個(gè)例子是有限單群分類定理即所謂的“宏大定理”。有限單群分類定理表述如下:任何一個(gè)有限單群必定屬于如下四類群中的一個(gè):素?cái)?shù)階循環(huán)群、n≥5的交換群An、Lie型單群以及26個(gè)散在單群。如果從拉格朗日研究置換算起(1770年)到諾頓證實(shí)了散在群F1的唯一性為止(1981年)，前后用了200年時(shí)間，完整證明分散在大約500篇論文中，總長(zhǎng)度達(dá)15000個(gè)印刷頁(yè)。2011年四位數(shù)學(xué)家出版了一本名為《有限單群分類》的書，該書是有限單群分類證明的摘要或?qū)ёx，篇幅就達(dá)350頁(yè)。第一個(gè)例子代表著數(shù)學(xué)猜想的機(jī)器證明。四色定理的證明是對(duì)數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行機(jī)器證明的第一次，而在這之前，一些數(shù)學(xué)家已經(jīng)運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行許多幾何定理的證明，其中就包括我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家吳文俊先生在這方面所做的大量工作。在四色定理機(jī)器證明之后的1988年，美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾斯(ThomasHales)用計(jì)算機(jī)證明了開(kāi)普勒猜想。與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)證明不同的是，這類證明并非是用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言書寫的，而是用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言表述的。實(shí)際上在黑肯和阿佩爾的四色定理證明發(fā)表后不久，數(shù)學(xué)哲學(xué)家泰馬祖科就在《哲學(xué)雜志》上發(fā)表了論文“四色問(wèn)題和它的哲學(xué)意義”。

論文認(rèn)為，黑肯和阿佩爾運(yùn)用計(jì)算機(jī)的運(yùn)算和歸納所得到的結(jié)果并不能算作真正意義上的數(shù)學(xué)證明，其主要原因之一就是這樣的證明不具有可審查性，他進(jìn)一步提出，如果我們要承認(rèn)這是一種數(shù)學(xué)證明的話，那么傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)證明的含義就需要改變，甚至傳統(tǒng)意義上數(shù)學(xué)的含義都需要改變。泰馬祖科的論文引發(fā)了激烈的爭(zhēng)論，一部分學(xué)者同意泰馬祖科的看法，另一部分學(xué)者持反對(duì)態(tài)度，反對(duì)者的共同之處都是回避了可審查性這個(gè)數(shù)學(xué)證明重要特點(diǎn)的作用。例如，萊溫(MargaritaLevin)否認(rèn)作為數(shù)學(xué)證明特點(diǎn)之一的可審查性所具有的重要作用，而特勒(PaulTeller)則認(rèn)為某個(gè)東西是不是一個(gè)證明與我們能不能對(duì)它進(jìn)行核查是沒(méi)有關(guān)系的。［6］118盡管這些反對(duì)者從很多角度對(duì)泰馬祖科的觀點(diǎn)進(jìn)行批駁，但是他們無(wú)法否認(rèn)黑肯和阿佩爾對(duì)四色定理證明是不能被數(shù)學(xué)家用傳統(tǒng)的方式進(jìn)行審查的事實(shí)。第二個(gè)例子代表著數(shù)學(xué)的長(zhǎng)證明。與一般學(xué)習(xí)過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)甚至大學(xué)數(shù)學(xué)后對(duì)于數(shù)學(xué)證明的印象不太一樣的是，今天一些數(shù)學(xué)定理的證明是需要很長(zhǎng)的篇幅才能完成的。“宏大定理”15000頁(yè)的長(zhǎng)度也許是比較極端的，但是數(shù)百頁(yè)篇幅的數(shù)學(xué)證明在今天并不鮮見(jiàn)，我們甚至不能排除今后還會(huì)出現(xiàn)其他的比“宏大定理”更“宏大”的定理證明。懷爾斯證明費(fèi)馬大定理用了一百多個(gè)印刷頁(yè)被數(shù)學(xué)家們認(rèn)為是比較簡(jiǎn)短的證明，而上文提到的哈爾斯證明開(kāi)普勒猜想就用了250頁(yè)的文稿和約10萬(wàn)行的計(jì)算機(jī)程序。究竟多長(zhǎng)的證明才可以算做“長(zhǎng)證明”?實(shí)際上這是一個(gè)比較模糊的概念。泰馬祖科曾給出了一個(gè)界定即“一個(gè)數(shù)學(xué)家一輩子也難以審讀完”的證明，顯然，該界定本身也是比較模糊的。我們認(rèn)為，長(zhǎng)證明就是那些需要一個(gè)同方向數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)家小組數(shù)年甚至更長(zhǎng)時(shí)間才能審讀完的數(shù)學(xué)證明。為什么長(zhǎng)證明難以審查甚至不具有可審查性呢?以下我們進(jìn)行一些分析。

首先從社會(huì)學(xué)的角度看。我們知道，數(shù)學(xué)家的工作是數(shù)學(xué)創(chuàng)造，是產(chǎn)生出新的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)家都是社會(huì)人，榮譽(yù)、地位和財(cái)富對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)同樣具有吸引力，特別是榮譽(yù)更是對(duì)于數(shù)學(xué)家有著異常強(qiáng)烈的吸引力。一個(gè)數(shù)學(xué)家如果用數(shù)年的時(shí)間和精力也許可以證明一個(gè)重要的數(shù)學(xué)猜想從而收獲巨大的榮譽(yù)，但如果是將自己數(shù)年寶貴的時(shí)間用去審查他人的證明，他能夠得到什么?懷爾斯(AndrewWiles)因?yàn)樽C明出費(fèi)馬大定理成為世人眼中的數(shù)學(xué)英雄，獲得了沃爾夫獎(jiǎng)、沃爾夫斯凱爾獎(jiǎng)、菲爾茲特別獎(jiǎng)以及邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)等大獎(jiǎng)，得到了作為數(shù)學(xué)家所能得到的最大榮譽(yù)。可是有幾人知道是哪些數(shù)學(xué)家完成了對(duì)費(fèi)馬大定理證明的審查，這些數(shù)學(xué)家又得到了什么榮譽(yù)?

其次從證明審查的難度上看，這又可以進(jìn)一步分成復(fù)雜性和困難性兩個(gè)方面。首先看證明審查的復(fù)雜性。學(xué)習(xí)過(guò)中學(xué)甚至大學(xué)數(shù)學(xué)的人往往對(duì)于數(shù)學(xué)證明的印象是篇幅上不會(huì)超過(guò)一頁(yè)紙并且在證明過(guò)程中只會(huì)用到數(shù)個(gè)三段論，因此，他們很難想象長(zhǎng)證明的復(fù)雜。一個(gè)長(zhǎng)證明會(huì)涉及很多的部分，每一部分又由邏輯推導(dǎo)而組成，各個(gè)部分之間存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系。在所有的數(shù)學(xué)證明中，數(shù)學(xué)家都像是在迷宮中找到一條連接已知條件和結(jié)論的通道，如果是長(zhǎng)證明的話，數(shù)學(xué)家通過(guò)這個(gè)迷宮相對(duì)來(lái)說(shuō)就更為困難。對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)是迷宮的證明，對(duì)于審查者來(lái)說(shuō)同樣也是迷宮。由于過(guò)長(zhǎng)和其中的復(fù)雜性，因此，要對(duì)這樣的證明進(jìn)行審查是一個(gè)非常棘手的事情。貝斯勒(Bassler)分析了審查長(zhǎng)數(shù)學(xué)證明的復(fù)雜性。他認(rèn)為，審查者既要對(duì)證明進(jìn)行局部的審查也要對(duì)證明進(jìn)行全局性的審查，前者是一步一步地進(jìn)行檢查后者是從整體上進(jìn)行檢查，他強(qiáng)調(diào)光是進(jìn)行局部的審查并不能保證證明的正確性［6］101－105。因此，對(duì)于長(zhǎng)證明，不難理解數(shù)學(xué)家很少會(huì)愿意花數(shù)年甚至更長(zhǎng)時(shí)間自覺(jué)地去進(jìn)行審查。例如，對(duì)于有限單群分類定理的證明，就很少有人完整地看完所有的證明材料，甚至有一些群論數(shù)學(xué)家私下里表達(dá)了是否真的有人完整看過(guò)所有證明材料的懷疑。［7］

其次，看數(shù)學(xué)審查的困難性。由于長(zhǎng)數(shù)學(xué)證明往往伴隨著很高的難度，因此，審查這樣的證明是一項(xiàng)很艱苦的工作。審查的過(guò)程實(shí)際上也是審查者對(duì)證明的學(xué)習(xí)理解過(guò)程，由于審查者往往面臨的是新的思想和方法，因而需要審查者反復(fù)地思考。為此，審讀者需要花費(fèi)大量的時(shí)間和艱苦的工作。例如，2003年數(shù)學(xué)奇才佩雷爾曼(GrigoriyPerelman)完成了龐加萊猜想的證明，頂級(jí)數(shù)學(xué)家們不得不化數(shù)年的時(shí)間才完成對(duì)它的審查。再如，2012年8月底，日本數(shù)學(xué)家望月新一宣布證明了ABC猜想。該證明由四篇論文組成，總長(zhǎng)度超500頁(yè)。望月新一的證明不但長(zhǎng)度可觀，更重要的是他采用了他自己發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)工具。除了他自己，幾乎沒(méi)有第二個(gè)數(shù)學(xué)家能夠看懂，即使是和望月新一相同研究方向的數(shù)學(xué)家也不例外。由于證明難度過(guò)大，從而使得其他的數(shù)學(xué)家在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)對(duì)證明過(guò)程無(wú)法準(zhǔn)確地理解，這使得對(duì)該數(shù)學(xué)證明進(jìn)行審查困難重重。對(duì)于長(zhǎng)證明審查困難的問(wèn)題實(shí)際上已經(jīng)引起了不少包括數(shù)學(xué)家在內(nèi)的相關(guān)學(xué)者的關(guān)注。例如，內(nèi)桑森(M．Nathanson)就曾在《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告》(NoticesoftheAmericanMathematicalSociety)發(fā)文談到了該問(wèn)題，“我們?cè)趺粗酪粋€(gè)證明是正確的呢?只能是通過(guò)對(duì)它進(jìn)行一行一行的檢查。……如果一個(gè)定理的證明是短小的，那么我們確實(shí)能夠檢查其中是否有錯(cuò)。但如果該證明是難以理解并且其篇幅超過(guò)100個(gè)印刷頁(yè)，或者沒(méi)有人有時(shí)間和精力去詳細(xì)地檢查它，或者一個(gè)證明篇幅有100000頁(yè)長(zhǎng)，那么我們只能依賴該領(lǐng)域的大牛們?nèi)プ龀雠袛嗔恕！诖蠖鄶?shù)進(jìn)行審查的期刊中的許多論文(我認(rèn)為占大多數(shù))都沒(méi)有被審查過(guò)。這些審查者大概是這樣進(jìn)行審查的，他看看論文，閱讀一下論文的開(kāi)頭和結(jié)論，大致上瀏覽一下證明過(guò)程，如果這些看起來(lái)都沒(méi)有問(wèn)題的話，那么他就建議可以發(fā)表［8］”。內(nèi)桑森的這段話盡管未必與實(shí)際的證明審查完全吻合，但從某種程度上確實(shí)反映了對(duì)長(zhǎng)證明審查的困難。

四難以審查的數(shù)學(xué)證明與數(shù)學(xué)可謬性

如果我們將數(shù)學(xué)證明分成可審查的證明與不可審查的證明，因?yàn)榭蓪彶榈淖C明能最大限度地保證其正確性，那么對(duì)于不可審查的證明，數(shù)學(xué)家們必然無(wú)法肯定其正確性。因?yàn)闊o(wú)法對(duì)四色定理以及其他的機(jī)器證明進(jìn)行審查，定理的正確性是計(jì)算機(jī)或者運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算的專家(可以說(shuō)是數(shù)學(xué)共同體以外的人)告訴數(shù)學(xué)家的，由于并非是數(shù)學(xué)共同體成員進(jìn)行形式化的證明也并非是數(shù)學(xué)共同體成員進(jìn)行審查，因此，至今仍有不少的數(shù)學(xué)家并不認(rèn)可這樣的證明，而不認(rèn)可這樣的證明也就意味著它可能并不正確。因?yàn)橹两裆踔炼紱](méi)有人完整地看完宏大定理的完整證明，因而對(duì)于很多數(shù)學(xué)家看來(lái)，證明中出現(xiàn)的錯(cuò)誤也是可能的。正如在有限單群分類定理最后證明中起重要作用的阿斯伯杰(Aschbacher)所說(shuō)的那樣“當(dāng)證明長(zhǎng)度增加時(shí)，錯(cuò)誤的概率也增加了。在分類定理中出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率實(shí)際上是1”［9］。機(jī)器證明和長(zhǎng)證明的出現(xiàn)是與數(shù)學(xué)自身的發(fā)展以及人的證明能力有限有關(guān)的。像四色猜想這樣的問(wèn)題，因?yàn)閿?shù)學(xué)家為此花了太多的時(shí)間而無(wú)果，人們希望能夠盡快地解決這樣的問(wèn)題。毋庸置疑，如果有可能的話，數(shù)學(xué)家一定會(huì)通過(guò)自己的努力，用邏輯推理的方法去證明該定理。而計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為解決問(wèn)題提供了一種方法。可以說(shuō)是數(shù)學(xué)家自身能力的局限與計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)從而導(dǎo)致了機(jī)器證明。長(zhǎng)證明的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)發(fā)展自然形成的。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，有些問(wèn)題的證明需要涉及很多的內(nèi)容和方法，因而顯得異常復(fù)雜，需要數(shù)學(xué)家用大量的篇幅才能將其解決過(guò)程完整地表述清楚，這也正是一些猜想幾十年甚至數(shù)百年難以解決的原因所在。由于證明中涉及的對(duì)象(概念、定理、方法等)過(guò)于復(fù)雜，因而在證明表述中出現(xiàn)各種錯(cuò)誤將是難以避免的。可以肯定的是，像哥德巴赫猜想等一批數(shù)學(xué)難題的證明也必將是長(zhǎng)證明。今天，從四色猜想被絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家稱為四色定理可以看出，多數(shù)數(shù)學(xué)家對(duì)于機(jī)器證明是認(rèn)可的，從而可以說(shuō)，今后，計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)證明上將扮演一個(gè)重要的角色，機(jī)器證明也必將逐步成為一種為數(shù)學(xué)共同體認(rèn)可的合法數(shù)學(xué)證明，相應(yīng)地，傳統(tǒng)的認(rèn)為數(shù)學(xué)證明應(yīng)該是用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言書寫的觀點(diǎn)也將會(huì)逐步改變。另外，數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，一些數(shù)學(xué)假設(shè)的證明也必將涉及更多的數(shù)學(xué)知識(shí)和更特別的數(shù)學(xué)方法，因此也就必然會(huì)出現(xiàn)了更多的長(zhǎng)證明。伴隨著機(jī)器證明和長(zhǎng)證明的大量出現(xiàn)，將可能會(huì)使得未來(lái)的數(shù)學(xué)不但具有宏觀上的可謬性而且更具有微觀層面的可謬性。當(dāng)數(shù)學(xué)中充斥著很多可謬性內(nèi)容，對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)意味著什么?朝氣蓬勃發(fā)展的數(shù)學(xué)發(fā)展到頭了?肯定不是這樣。它只是意味著數(shù)學(xué)并不神圣，它不是神的創(chuàng)造而是人的學(xué)問(wèn)。數(shù)學(xué)共同體允許可能的錯(cuò)誤進(jìn)入數(shù)學(xué)，也將會(huì)采取各種方法改正可能的錯(cuò)誤，數(shù)學(xué)的明天一定會(huì)更加繁榮。

作者：張曉貴 單位：合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院