數(shù)學(xué)思維的主要類型范文

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第1篇

〔關(guān)鍵詞〕小學(xué)；六年級(jí)；應(yīng)用題；解題錯(cuò)誤；數(shù)困生；數(shù)優(yōu)生

〔中圖分類號(hào)〕G44 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕A 〔文章編號(hào)〕1671-2684（2016）06-0012-06

一、問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良（MD）是學(xué)齡兒童中較為普遍的學(xué)習(xí)不良類型。美國(guó)一項(xiàng)大規(guī)模研究發(fā)現(xiàn)：約有6%的小學(xué)生和初中生被診斷為MD，另外約有5%的兒童被診斷為有閱讀困難（RD）[1]。在另一項(xiàng)研究中，美國(guó)的教師報(bào)告：在他們的學(xué)生里，有26%的學(xué)生由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難而接受特殊教育[2]。雖然數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是普遍的，但是，在學(xué)習(xí)困難研究領(lǐng)域，與閱讀困難研究相比較，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的研究是較少的[3]。

應(yīng)用題學(xué)習(xí)在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位，它是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。許多研究表明，大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生都表現(xiàn)為在解應(yīng)用題上有困難，而且這一問(wèn)題隨著年級(jí)的升高會(huì)越來(lái)越嚴(yán)重[4]。

近一二十年來(lái)，國(guó)外相關(guān)領(lǐng)域的研究興趣逐漸轉(zhuǎn)向?qū)τ袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生的認(rèn)知分析和教育干預(yù)，其中尤以研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生問(wèn)題解決過(guò)程為這個(gè)領(lǐng)域的熱門(mén)話題。原因是它可以幫助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童更好地完成學(xué)校教育的任務(wù)，而且有助于更深入地揭示學(xué)生學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的過(guò)程，對(duì)認(rèn)知心理學(xué)和教育心理學(xué)的發(fā)展都有促進(jìn)作用。

綜合關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題影響因素的研究成果，可以總結(jié)出如下一些結(jié)論：當(dāng)應(yīng)用題中包含了一些額外的信息或者出現(xiàn)了語(yǔ)句陳述不一致的條件時(shí)，學(xué)生的解題表現(xiàn)就會(huì)較差；數(shù)學(xué)解題圖式的形成和發(fā)展直接影響學(xué)生對(duì)問(wèn)題類型的識(shí)別和問(wèn)題的正確表征；元認(rèn)知因素則貫穿學(xué)生解應(yīng)用題的全過(guò)程，影響學(xué)生的解題行為[5-8]。

但另一方面，我們也可以看到，目前國(guó)內(nèi)應(yīng)用題解決的研究主體主要包括心理學(xué)科研人員和教學(xué)一線的數(shù)學(xué)教師。心理學(xué)科研人員關(guān)注的領(lǐng)域比較有限和微觀，而教師的科研報(bào)告往往比較宏觀和經(jīng)驗(yàn)化，二者存在脫節(jié)。因此，本研究擬通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)，采用目前已被證明比較有效的錯(cuò)誤類型分析方法，比較數(shù)優(yōu)生與數(shù)困生的共性和差異，從而得出既有科學(xué)的理論基礎(chǔ)又直接指向?qū)嵺`的結(jié)論。

在課題組的前期研究中發(fā)現(xiàn)，在面對(duì)不同的試題類型、題目類型和難度附加條件時(shí)，四年級(jí)和五年級(jí)的數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生既表現(xiàn)出了階段性特點(diǎn)，又表現(xiàn)出連續(xù)性特點(diǎn)。因此，本研究擬以六年級(jí)學(xué)生為研究對(duì)象，繼續(xù)探究進(jìn)一步的規(guī)律。

本研究的基本設(shè)計(jì)為：2（學(xué)生類別：數(shù)優(yōu)生、數(shù)困生）*2（試卷類型：常規(guī)試題、非常規(guī)試題）*3（題目類型：變化題、合并題、比較題）。非常規(guī)試題中包含四種難度類型（隱蔽條件、概化思維、具體化思維、不一致比較）。學(xué)生類型和試卷類型為被試間設(shè)計(jì)，題目類型為被試內(nèi)設(shè)計(jì)，難度類型為不完全被試內(nèi)設(shè)計(jì)。最后測(cè)量的因變量為所分錯(cuò)誤的類型和數(shù)量。通過(guò)分析數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生在不同試卷類型、不同題目類型和不同難度類型之下的錯(cuò)誤類型和數(shù)量差異，探討小學(xué)六年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題錯(cuò)誤的特點(diǎn)和影響因素等。

二、研究過(guò)程

（一）被試的選擇

在某小學(xué)六年級(jí)隨機(jī)選取由同一數(shù)學(xué)教師任教的兩個(gè)自然班作為實(shí)驗(yàn)班。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的操作定義：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)比根據(jù)其智力潛能達(dá)到的水平顯著落后，而且他們可能同時(shí)在學(xué)習(xí)、品德和社會(huì)性上存在問(wèn)題。這樣，本研究選擇數(shù)困生的標(biāo)準(zhǔn)為：（1）本學(xué)期三次重要數(shù)學(xué)考試的平均成績(jī)居全班后20%；（2）讓科任教師根據(jù)MD的操作定義和特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生作出綜合評(píng)價(jià)，指出班內(nèi)哪些學(xué)生屬于MD；（3）滿足兩條排除性標(biāo)準(zhǔn)：排除智力落后（IQ130）；排除明顯軀體或精神疾病。于是，在兩個(gè)班中各挑出10名數(shù)困生（人數(shù)：男，10；女，10）。同時(shí)，相應(yīng)選出了各10名數(shù)優(yōu)生（人數(shù)：男，11；女，9）。共得到被試40人。

（二）研究材料和工具

1.智力量表

采用張厚粲等人修訂的《瑞文標(biāo)準(zhǔn)推理測(cè)驗(yàn)》（Ravcn’s Standard Progressive Matrices）。該量表經(jīng)國(guó)內(nèi)多次使用，已被證明有較高的信度和效度。

2.數(shù)學(xué)成績(jī)

采用被試本學(xué)期三次重要考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為學(xué)生類別的劃分指標(biāo)。

3.應(yīng)用題測(cè)驗(yàn)

在小學(xué)階段，學(xué)生接觸到的算術(shù)應(yīng)用題主要分為變化題、合并題和比較題三種類型。據(jù)此，自編小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題兩套（A卷和B卷），經(jīng)小學(xué)六年級(jí)的數(shù)學(xué)教師共同討論和小規(guī)模試測(cè)，刪除了過(guò)難的題目和沒(méi)有學(xué)到的內(nèi)容，并對(duì)題目的文字表述進(jìn)行了較大修改，最后每套各保留了10道相對(duì)應(yīng)的題目。其中1、2、4是變化題，3、6、8是合并題，5、7、9、10是比較題。

A卷是常規(guī)類型題，即問(wèn)題表述與教材和平時(shí)練習(xí)題目相同。B卷的題目在題目?jī)?nèi)容、基本數(shù)量關(guān)系和計(jì)算難度上與A卷保持一致，但題干表述與常規(guī)類型題目不同，這無(wú)疑增加了題目的難度。具體而言，與A卷的相應(yīng)題目相比，在B卷的10道題當(dāng)中，1、8題包含了隱蔽條件，2、6題增加了對(duì)概化思維能力的考查，3、4題增加了對(duì)具體化思維的考查，5、7、9、10是比較類應(yīng)用題中的不一致型問(wèn)題。隱蔽條件是指對(duì)題目中的數(shù)量關(guān)系不以直接的形式呈現(xiàn)，如7天以“一周”這個(gè)詞來(lái)代替。概化思維意在考查學(xué)生是否形成了整體概念，如在第二題（同學(xué)們?nèi)ス珗@劃船，三年級(jí)比四年級(jí)少去18人，少租了3條船。問(wèn)平均每條船坐幾人？）中，如果學(xué)生說(shuō)由于不知道三年級(jí)和四年級(jí)各自有多少人，無(wú)法解答此題，則意味著學(xué)生沒(méi)有把這兩個(gè)班級(jí)作為一個(gè)整體來(lái)看，沒(méi)有充分理解題意。具體化思維是考查學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題上的能力。根據(jù)文字表達(dá)和數(shù)量關(guān)系是否一致可將比較問(wèn)題分為兩類：一致問(wèn)題和不一致問(wèn)題。一致問(wèn)題即問(wèn)題中的關(guān)鍵詞與正確的解決計(jì)劃相一致，比如：小明有5個(gè)蘋(píng)果，小強(qiáng)比小明多1個(gè)蘋(píng)果，小強(qiáng)有幾個(gè)？關(guān)鍵詞是“多”，而正確的解法也是加法；不一致問(wèn)題即問(wèn)題中的關(guān)鍵詞與正確的解題計(jì)劃不一致，比如：小明有5個(gè)蘋(píng)果，他比小強(qiáng)多1個(gè)蘋(píng)果，小強(qiáng)有幾個(gè)？關(guān)鍵詞是“多”，正確的解法卻是減法。這與小學(xué)生的語(yǔ)意理解能力有關(guān)聯(lián)。一致題與學(xué)生思維習(xí)慣和平時(shí)練習(xí)相同，不一致題對(duì)小學(xué)生而言則增加了解題的難度。

在每一道應(yīng)用題下面有五個(gè)小問(wèn)題，分別是：（1）你認(rèn)為已知條件充分嗎？給出了三個(gè)備選答案：剛好充足、缺少條件、充足但有多余條件。（2）你認(rèn)為解這道題的關(guān)鍵是什么？（3）列式計(jì)算。（4）列豎式、畫(huà)圖、演算等的區(qū)域（專門(mén)預(yù)留了一定的空間）。（5）如果你不會(huì)也沒(méi)有關(guān)系，告訴我們?cè)蚴鞘裁矗窟@五個(gè)問(wèn)題擬從學(xué)生的審題、找到解題關(guān)鍵、列式和結(jié)果的計(jì)算等方面考查小學(xué)生的解題過(guò)程。同時(shí)，要求做題過(guò)程中寫(xiě)出盡量詳盡的步驟報(bào)告，包括所有演算、推理過(guò)程。解題前后的問(wèn)題設(shè)置都是為了在大樣本的測(cè)驗(yàn)中盡可能地外化解題的思維過(guò)程。

正式施測(cè)前的小規(guī)模預(yù)測(cè)表明兩套題目都具有較好的區(qū)分度。

（三）研究程序

1.自編數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)驗(yàn)的施測(cè)

兩個(gè)班同時(shí)進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，隨機(jī)選取一個(gè)班施測(cè)A卷，另一個(gè)班施測(cè)B卷。每個(gè)學(xué)生一份測(cè)試題，獨(dú)立完成，時(shí)間為50分鐘。指導(dǎo)語(yǔ)中強(qiáng)調(diào)不是考試，是為了消除學(xué)生的緊張感，以利于更好地解題。正式計(jì)時(shí)前先由主試以一道應(yīng)用題的解答為例詳細(xì)講解做題要求和基本步驟。測(cè)驗(yàn)時(shí)，每班都有一名主試（心理學(xué)專業(yè)的碩士研究生）和本班的班主任在場(chǎng)維持秩序，以保證測(cè)驗(yàn)的順利進(jìn)行。

測(cè)驗(yàn)后根據(jù)每道題目中五個(gè)小問(wèn)題的回答情況統(tǒng)計(jì)所犯錯(cuò)誤的類型和各類型錯(cuò)誤的數(shù)量。

2.以自然班為單位進(jìn)行瑞文智力測(cè)驗(yàn)

同時(shí)，查閱學(xué)生成績(jī)檔案，選取被試本學(xué)期三次重要數(shù)學(xué)考試成績(jī)，以平均分作為學(xué)生數(shù)學(xué)能力的標(biāo)準(zhǔn)；訪談每個(gè)班的數(shù)學(xué)科任教師，請(qǐng)他們根據(jù)MD的操作定義確定數(shù)困生，并了解學(xué)生的基本情況；根據(jù)同樣選擇標(biāo)準(zhǔn)確定數(shù)優(yōu)生。

以自然班為單位全體施測(cè)是為了營(yíng)造自然氛圍，避免單獨(dú)抽出數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生帶來(lái)的實(shí)驗(yàn)效應(yīng)。智力測(cè)驗(yàn)和數(shù)困生、數(shù)優(yōu)生的選擇最后進(jìn)行，并要求該班數(shù)學(xué)教師回避測(cè)驗(yàn)整個(gè)過(guò)程等，避免實(shí)驗(yàn)者效應(yīng)和教師期望效應(yīng)。

（四）數(shù)據(jù)處理

用SPSS19.0統(tǒng)計(jì)軟件包對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析。

三、結(jié)果與分析

（一）錯(cuò)誤類型統(tǒng)計(jì)

在本研究中，小學(xué)生解決應(yīng)用題所犯的錯(cuò)誤可總結(jié)為七種類型：第一類是審題錯(cuò)誤，指將條件充足的題目錯(cuò)誤地判斷為條件缺乏或條件多余，從而沒(méi)有作答；第二類是轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤，指由于對(duì)第一步表示關(guān)系的運(yùn)算產(chǎn)生了錯(cuò)誤的表征，因而運(yùn)算用了相反的運(yùn)算（即應(yīng)該用加法時(shí)用了減法，應(yīng)用減法時(shí)用了加法，應(yīng)用乘法時(shí)用了除法，應(yīng)用除法時(shí)用了乘法）；第三類是目標(biāo)監(jiān)控錯(cuò)誤，指錯(cuò)誤理解題目要求、只算了一步或只用了一個(gè)條件；第四類是計(jì)算錯(cuò)誤；第五類是知識(shí)錯(cuò)誤，指學(xué)生把不相關(guān)的數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算；第六類上數(shù)字抄寫(xiě)錯(cuò)誤，屬于粗心或馬虎；第七類是什么也沒(méi)有作答的，原因比較復(fù)雜，可能是難度過(guò)大，根本不會(huì)無(wú)法下手，也可能是時(shí)間分配不合理沒(méi)能做完。也就是說(shuō)，“沒(méi)做”的錯(cuò)誤應(yīng)該反映的是認(rèn)知策略搜尋和元認(rèn)知策略的缺失。

這七類錯(cuò)誤除“沒(méi)做”反映整體應(yīng)用題解題能力最低外，其余六類按照其對(duì)未能完成題目的嚴(yán)重程度從高到低的大致順序?yàn)椋簩忣}錯(cuò)誤、轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤、知識(shí)錯(cuò)誤、目標(biāo)監(jiān)控錯(cuò)誤、計(jì)算錯(cuò)誤、數(shù)字抄寫(xiě)錯(cuò)誤。越排在前面的錯(cuò)誤越反映出學(xué)生對(duì)題目的理解越差，對(duì)題目的把握越表淺。

（二）數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生的錯(cuò)誤分析

從兩類學(xué)生在常規(guī)試題（A卷）上所犯錯(cuò)誤的總數(shù)來(lái)看，相對(duì)前期研究的四、五年級(jí)而言，六年級(jí)數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生的錯(cuò)誤都非常少，甚至出現(xiàn)了在較簡(jiǎn)單的題型上數(shù)優(yōu)生的錯(cuò)誤數(shù)略微高于數(shù)困生的情況。這表明，對(duì)于六年級(jí)的學(xué)生而言，A卷已非常簡(jiǎn)單，數(shù)優(yōu)生、數(shù)困生都能較好地完成，數(shù)優(yōu)生甚至出現(xiàn)了馬虎、輕視的情況。

較少的錯(cuò)誤中，在變化題和合并題上主要犯目標(biāo)監(jiān)控錯(cuò)誤，在比較題上主要為沒(méi)做和犯計(jì)算錯(cuò)誤。

從兩類學(xué)生在非常規(guī)試題（B卷）上所犯錯(cuò)誤的總數(shù)來(lái)看，數(shù)困生的錯(cuò)誤非常顯著地多于數(shù)優(yōu)生，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的結(jié)果分別為χ2（1）=14.7275，p=0.000，χ2（1）=6.429，p=0.011和χ2（1）=9.000，p=0.003。

在三類題型上的卡方檢驗(yàn)結(jié)果表明，學(xué)生類別與錯(cuò)誤類型的關(guān)聯(lián)均不顯著。變化題：χ2（4）=5.194，p=0.268；合并題：χ2（3）=2.910，p=0.406；比較題：χ2（5）=7.143，p=0.210。這表明，對(duì)于B卷而言，六年級(jí)不同類別學(xué)生的錯(cuò)誤的特點(diǎn)沒(méi)有顯著性差異。

題目類型與錯(cuò)誤類型的卡方檢驗(yàn)結(jié)果表明，χ2（10）=44.201，p=0.000，二者有非常顯著的關(guān)聯(lián)，即學(xué)生在不同類型題目上所犯錯(cuò)誤的特點(diǎn)有顯著不同。

結(jié)合具體數(shù)據(jù)可以看出，在變化題上主要是犯審題錯(cuò)誤和沒(méi)做，在合并題上犯目標(biāo)監(jiān)控和知識(shí)錯(cuò)誤較多，而在比較題上沒(méi)做和知識(shí)錯(cuò)誤占了相當(dāng)?shù)谋壤?/p>

從所犯錯(cuò)誤的總數(shù)來(lái)看，與前期研究中五年級(jí)在同樣試題中的表現(xiàn)相比，數(shù)優(yōu)生所犯錯(cuò)誤的數(shù)量有明顯下降，但數(shù)困生只是總體略有下降。

對(duì)數(shù)優(yōu)生而言，附加條件類型與錯(cuò)誤類型關(guān)聯(lián)非常顯著（χ2（12）=42.689，p=0.000）。主要體現(xiàn)為“隱蔽條件”下的“知識(shí)”錯(cuò)誤，“具體化思維”上的“目標(biāo)監(jiān)控”錯(cuò)誤，“不一致比較”題上的“沒(méi)做”，不過(guò)數(shù)量較小。

對(duì)數(shù)困生而言，附加條件類型與錯(cuò)誤類型也存在非常顯著的關(guān)聯(lián)（χ2（15）=51.334，p=0.000）。除在“概化思維”上犯“審題”錯(cuò)誤較多外，其他條件下的特點(diǎn)與本年級(jí)數(shù)優(yōu)生相同。

四、討論

針對(duì)六年級(jí)數(shù)優(yōu)生與數(shù)困生在應(yīng)用題解決過(guò)程中可能存在的試題適應(yīng)性、難度適應(yīng)性和錯(cuò)誤類型的共同特點(diǎn)和差異情況等進(jìn)行了詳盡分析，主要是為了通過(guò)對(duì)數(shù)優(yōu)生與數(shù)困生的比較，發(fā)現(xiàn)六年級(jí)學(xué)生應(yīng)用題解題能力的總體特點(diǎn)，為該年級(jí)階段小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，特別是為數(shù)困生的補(bǔ)救訓(xùn)練提供參考。

第一，從A、B兩卷的錯(cuò)誤總數(shù)看，在常規(guī)試題上，六年級(jí)數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生的錯(cuò)誤都非常少，錯(cuò)誤數(shù)不相上下，表現(xiàn)出了“高限效應(yīng)”，試題沒(méi)有了良好的區(qū)分度。在非常規(guī)試題上，數(shù)困生的錯(cuò)誤顯著地多于數(shù)優(yōu)生。可見(jiàn)，到了六年級(jí)，數(shù)優(yōu)生、數(shù)困生的差距主要體現(xiàn)在非常規(guī)試題上。也就是說(shuō)，如果說(shuō)常規(guī)題目可以通過(guò)思維成熟、年級(jí)升高和不斷重復(fù)接觸而自然提高的話，那么包含附加條件的非常規(guī)題目訓(xùn)練對(duì)于六年級(jí)數(shù)困生還是必須加強(qiáng)的。

第二，從不同題型看，在A卷中，數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生在變化題和合并題上主要犯“目標(biāo)監(jiān)控錯(cuò)誤”，在比較題上主要犯“計(jì)算錯(cuò)誤”和“沒(méi)做”。一方面表明，六年級(jí)學(xué)生已全面掌握三種題型的常規(guī)解答；另一方面表明，目標(biāo)監(jiān)控、時(shí)間分配的元認(rèn)知失誤和能力欠缺依然存在。

在B卷上，六年級(jí)兩類學(xué)生錯(cuò)誤的特點(diǎn)一致，表現(xiàn)為變化題上主要是犯“審題錯(cuò)誤”和“沒(méi)做”，在合并題上犯“目標(biāo)監(jiān)控錯(cuò)誤”和“知識(shí)錯(cuò)誤”較多，而在比較題上“沒(méi)做”和“知識(shí)錯(cuò)誤”占了相當(dāng)?shù)谋壤＿@一特點(diǎn)與前期研究中的五年級(jí)非常相似，但六年級(jí)“沒(méi)做”的比例較高，顯示了時(shí)間分配的不足和解題能力，特別是解比較題能力上的欠缺。

第三，從不同的附加條件看，與前期研究中的五年級(jí)相比，六年級(jí)數(shù)優(yōu)生所犯錯(cuò)誤的數(shù)量有明顯下降，但數(shù)困生只是總體略有下降。這進(jìn)一步驗(yàn)證了關(guān)鍵時(shí)期的推測(cè)，可以看出五年級(jí)沒(méi)有得到很好訓(xùn)練的數(shù)困生在升入六年級(jí)后依然不會(huì)有太大提高。

對(duì)六年級(jí)數(shù)優(yōu)生而言，主要體現(xiàn)為“隱蔽條件”下的“知識(shí)錯(cuò)誤”，“具體化思維”上的“目標(biāo)監(jiān)控錯(cuò)誤”，“不一致比較”題上的“沒(méi)做”，不過(guò)數(shù)量較小。對(duì)數(shù)困生而言，除在“概化思維”上犯“審題錯(cuò)誤”較多外，其他條件下的特點(diǎn)與同年級(jí)數(shù)優(yōu)生相同。可見(jiàn)，在相應(yīng)題型的主要錯(cuò)誤類型上，六年級(jí)學(xué)生基本是一致的，只是數(shù)困生依然沒(méi)有很好地解決概化思維的問(wèn)題。

五、結(jié)論

第一，測(cè)題類型上，六年級(jí)學(xué)生在常規(guī)應(yīng)用題上表現(xiàn)出“高限效應(yīng)”，非常規(guī)試題訓(xùn)練對(duì)于數(shù)困生尤為重要。

第二，題目類型上，常規(guī)試題中面對(duì)三種題型的目標(biāo)監(jiān)控和元認(rèn)知能力需要加強(qiáng)；而非常規(guī)試題中對(duì)于變化類應(yīng)用題要防范“審題錯(cuò)誤”和“元認(rèn)知策略缺失”等，合并類應(yīng)用題要加強(qiáng)“目標(biāo)監(jiān)控錯(cuò)誤”和“知識(shí)錯(cuò)誤”的預(yù)防，比較題主要在于重視認(rèn)知策略和元認(rèn)知策略的提高問(wèn)題。

第三，從思維能力訓(xùn)練上，六年級(jí)之前是相關(guān)訓(xùn)練的關(guān)鍵時(shí)期。針對(duì)全體學(xué)生，特別是數(shù)困生需要全面加強(qiáng)概化思維和具體化思維訓(xùn)練、“不一致比較”題目訓(xùn)練和元認(rèn)知能力培養(yǎng)。

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第2篇

關(guān)鍵詞：思維類型；思維方法；原則

中圖分類號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）03-0113-02

“思維類型”是一個(gè)通用概念，大量學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了研究。事實(shí)上，明確區(qū)分思維的類型對(duì)教育來(lái)說(shuō)具有重要的實(shí)際意義。為了更好地指導(dǎo)大學(xué)生的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)他們的創(chuàng)新能力，本文從新的角度對(duì)思維類型進(jìn)行分類，從四種思維類型出發(fā)給出學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，特別對(duì)數(shù)學(xué)思維方法展開(kāi)討論，最后再給出創(chuàng)造性思維的徹底性原則。

一、思維類型及其對(duì)教育方法的啟發(fā)

一般來(lái)說(shuō)人們思維分為下述四種類型：接受快且深刻，接受快但膚淺，接受慢但深刻，接受慢且膚淺。當(dāng)然最好的是接受快且深刻這種類型，這種類型的人往往自小就表現(xiàn)出天才模樣，他們大都被稱為是神童。可惜的是，他們?cè)谫潛P(yáng)聲中成長(zhǎng)，很容易養(yǎng)成驕傲情緒，久而久之他們就不習(xí)慣于“艱苦研究”，最后變成平庸之人。王安石的《傷仲永》寫(xiě)的就是這種情況。所以對(duì)第一種類型的學(xué)生，我們對(duì)他們的愛(ài)護(hù)首先就是不要多表?yè)P(yáng)他們（例如各地過(guò)分吹捧高考狀元是不明智的做法），其次對(duì)他們要多加督促，讓他們養(yǎng)成艱苦學(xué)習(xí)習(xí)慣。列寧小時(shí)候聰明異常，他往往很快就完成作業(yè)，然后就嬉鬧不止。他的父母很擔(dān)心，怕他今后不會(huì)踏實(shí)學(xué)習(xí)，除了教育他以外，還時(shí)刻注意他。有一次列寧看到他的妹妹坐在鋼琴邊，不停地彈奏一首樂(lè)曲，花了許多小時(shí)，才把它彈得正確。為此列寧感悟道：做任何事情，沒(méi)有堅(jiān)毅品質(zhì)是不行的。列寧的父母知道這件事后才放心，他們知道列寧已經(jīng)懂得養(yǎng)成勤勞習(xí)慣的重要性。第二種類型（接受快但膚淺）的人，他們平常的表現(xiàn)最容易使人迷惑：許多復(fù)雜的問(wèn)題他們一聽(tīng)就懂，可是他們自己做起來(lái)卻經(jīng)常出錯(cuò)。他們的家長(zhǎng)和老師都誤認(rèn)為這是由于“粗心”造成的，除了告誡他們要細(xì)心以外，家長(zhǎng)、老師（甚至他們自己）對(duì)這種現(xiàn)象都不在意。舉一個(gè)例子，初中學(xué)生剛學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，寫(xiě)負(fù)數(shù)時(shí)往往會(huì)遺漏負(fù)號(hào)，當(dāng)你向他指出時(shí)，他立刻就知道是自己錯(cuò)了。人們大都認(rèn)為這是粗心的原因，殊不知是他在他的意識(shí)里還沒(méi)有真正接受負(fù)數(shù)這個(gè)概念，也就是說(shuō)他雖然接受了負(fù)數(shù)概念（也許很快就接受了）但是卻很“膚淺”，他的潛意識(shí)里并沒(méi)有它的“真正”位置。因?yàn)橐龑?dǎo)學(xué)生思想深化是一件困難的工作，所以對(duì)于接受快但膚淺的學(xué)生，我們也許更應(yīng)該留心。除了教育他們不要驕傲（這是由于他們接受快而造成的錯(cuò)誤）以外，還要訓(xùn)練他們的思維，讓他們養(yǎng)成深思的習(xí)慣。（順便提一下，怎樣培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成深思習(xí)慣，如同怎樣提高學(xué)生的寫(xiě)作能力一樣，至今都尚未找到特別行之有效的辦法）第三種類型，即接受慢而深刻，在某種意義上它才是最好的一種類型。領(lǐng)會(huì)深本是探索一切知識(shí)的必要因素，可是他具有這種優(yōu)越品質(zhì)而不覺(jué)，有時(shí)他還為自己接受慢而苦惱，這樣他對(duì)學(xué)業(yè)從不掉以輕心，為了克服自己接受慢的缺點(diǎn)，他總是“笨鳥(niǎo)先飛”，這樣在漫長(zhǎng)的學(xué)習(xí)生涯中，他養(yǎng)成一種堅(jiān)忍不拔的品質(zhì)，這又是一個(gè)獲得成功的必要條件。第三種類型的人“天然”地具備了成功的兩個(gè)最重要的因素，所以大部分在學(xué)術(shù)上有成就的人都來(lái)自于他們。據(jù)說(shuō)牛頓、愛(ài)因斯坦小時(shí)候都很“笨”，倘若真是這樣，這便是上面論述最好佐證。另外的例子是真人真事，20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家吉伯特（1862—1943），他接受新的思想很慢，但一經(jīng)接受，在運(yùn)用和進(jìn)一步發(fā)展這些思想上，就沒(méi)有人能和他比擬了。至于第四種類型的人，雖然他們?cè)趯W(xué)業(yè)上很費(fèi)力，但他們的成功機(jī)率并不比第一、二種類型的人要少，甚至還要大于第二種類型的人。這種人只要不放棄努力，那么在他艱難的學(xué)習(xí)過(guò)程中，自然會(huì)養(yǎng)成一種深刻鉆研的稟性，此是“勤能補(bǔ)拙”之謂也，這正是一切在學(xué)術(shù)上獲得成就的人所要必備的主要品質(zhì)。明末清初的一位歷史學(xué)家談遷，小時(shí)候很愚笨，記性差、反應(yīng)慢，他對(duì)自己所讀的書(shū)籍很難弄懂，他很苦惱，不過(guò)他鍥而不舍，經(jīng)常讀書(shū)到深夜，由于長(zhǎng)期的努力，他終于大徹大悟，從此他便突飛猛進(jìn)，成為那個(gè)時(shí)代最有學(xué)問(wèn)的人之一。金庸小說(shuō)《射雕英雄傳》里的郭靖大概就是這種類型人的最好寫(xiě)照。總之，無(wú)論是哪種類型都有成功希望，只不過(guò)有的開(kāi)始要多費(fèi)點(diǎn)力氣而已。“聰明”并不是人成功的不可缺少的條件，最重要的是人的刻苦和堅(jiān)忍，而且隨著人們的成長(zhǎng)，差的類型在不斷刻苦努力下，也會(huì)迅速朝著最好類型轉(zhuǎn)化，李白說(shuō)“天生我材必有用”，是千真萬(wàn)確的。

二、數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

在一切學(xué)科中，數(shù)學(xué)是一門(mén)最重要而且最奇怪的學(xué)科。它研究的問(wèn)題似乎虛無(wú)飄渺，并不接觸現(xiàn)實(shí)世界，但卻有莫名其妙的大功效。麥克斯韋爾認(rèn)為，研究問(wèn)題時(shí)首先要引入數(shù)學(xué)概念，以他的名字命名的著名方程就是以這種方法推導(dǎo)出來(lái)的。狄拉克也認(rèn)為，應(yīng)該遵循數(shù)學(xué)方向前進(jìn)，因?yàn)椤罢娮印币矟M足以他的名字命名的方程，所以他預(yù)言“反物質(zhì)”正電子的存在，幾十年后人們果然在宇宙射線里發(fā)現(xiàn)了它。也許最值得一提的是，陳省身的“纖維叢”幾何學(xué)理論，竟然可以平行移動(dòng)到楊振林的“規(guī)范場(chǎng)”物理理論里，對(duì)此楊振林感嘆地說(shuō)：數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根本沒(méi)有考慮到物理世界，而卻能深刻地闡述世界，這真令人驚嘆。如今關(guān)于物質(zhì)粒子最新研究的“弦理論”也和數(shù)學(xué)家丘成桐的微分幾何成就有密切關(guān)聯(lián)。計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)理論的關(guān)系同樣也非常密切。就連過(guò)去一向被認(rèn)為是最難找到實(shí)際用途的數(shù)論也在計(jì)算機(jī)科學(xué)里發(fā)揮著重要作用，例如大整數(shù)質(zhì)因數(shù)分解定理豐富了密碼學(xué)方法：RSA公鑰系統(tǒng)，根據(jù)大整數(shù)的分解，它采用“公鑰”和“私鑰”技術(shù)。[1]由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)上花費(fèi)時(shí)間是值得的。一般人并不喜歡數(shù)學(xué)，他們或者認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，或者認(rèn)為數(shù)學(xué)深?yuàn)W難懂。在人們心目中，數(shù)學(xué)里只有推理，沒(méi)有猜測(cè)；只有邏輯，沒(méi)有藝術(shù)；只有抽象，沒(méi)有直觀；只有理性，沒(méi)有想象。人們感到數(shù)學(xué)的結(jié)果是一步一步推出來(lái)的，沒(méi)有過(guò)人的聰慧是不行的。然而，幸虧事實(shí)并非如此，否則我們的數(shù)學(xué)就不會(huì)興旺到如它目前所示，它早就不會(huì)吸引任何一個(gè)有智慧的人。其實(shí)數(shù)學(xué)是一門(mén)融合了人類一切認(rèn)識(shí)世界方法的學(xué)科，只是在它整理自己的知識(shí)時(shí)，才采取了“定義”、“定理”和“證明”嚴(yán)格方式，這是為了保證它的結(jié)論準(zhǔn)確無(wú)誤所致。但是這并未妨礙人們用其他方式獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，其實(shí)最偉大的數(shù)學(xué)家在他們思考問(wèn)題時(shí)，都是憑借直觀（甚至是最粗糙的直觀）前進(jìn)的，特別是當(dāng)他們?cè)谧鰟潟r(shí)代事業(yè)時(shí)，更依賴直覺(jué)，甚至有時(shí)連邏輯也不顧。這在牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí)特別明顯。本段敘述直接來(lái)自于文獻(xiàn)[2]。明白了上面道理，我們建議：要在感性上下功夫，要理解數(shù)學(xué)精神實(shí)質(zhì)，即要有數(shù)學(xué)質(zhì)感。對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要運(yùn)用人類一切認(rèn)知手段，即實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、直觀推理、試錯(cuò)法、合情推理和正統(tǒng)的邏輯推理；對(duì)于基本知識(shí)要有透徹了解，基本技能要熟練掌握。對(duì)于較難或者很難的題目，應(yīng)該努力解決它，真正解決不了，也不要?dú)怵H，可以暫時(shí)放下，“歷史總是帶著問(wèn)題前進(jìn)的”；對(duì)一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，如果你感到對(duì)它的任何一個(gè)習(xí)題，只要有時(shí)間你就可能會(huì)做出，即使不會(huì)做，但對(duì)別人做出的看一眼就會(huì)，那么這門(mén)學(xué)科你就基本過(guò)關(guān)了，沒(méi)有必要搞題海戰(zhàn)術(shù)，這是我國(guó)著名物理學(xué)家嚴(yán)濟(jì)慈的觀點(diǎn)。

三、徹底性原則

創(chuàng)造性思維最顯著的特征就是徹底性。歐氏幾何里有一條平行公理：“在平面內(nèi)過(guò)直線外一點(diǎn)，能且只能引一條直線和它平行”。但在歐幾里德的《幾何原本》里，很遲才引入平行公設(shè)，且敘述很啰唆，并不像上述的那樣簡(jiǎn)練。后人懷疑歐幾里德并不想把它作為公理，只是“證不了它”，才不得不把它作為一條公設(shè)采用。后來(lái)的數(shù)學(xué)家們躍躍欲試，用各種方法試圖證明它，就這樣證明了一千多年。不少人采用“反證法”，得出許多奇特結(jié)果，可惜他們認(rèn)為“荒謬”，就匆忙下結(jié)論說(shuō)，他們發(fā)現(xiàn)了矛盾從而證實(shí)了平行公設(shè)。只有高斯、鮑利埃、羅巴切夫斯基和舊觀念，即認(rèn)為“歐氏公理體系是唯一正確的”，徹底決裂，他們發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。高斯懼怕舊觀念勢(shì)力，鮑利埃患得患失，他們都沒(méi)有發(fā)表他們的工作，只有羅巴切夫斯基勇敢地發(fā)表了他的成果。[3]同樣，愛(ài)因斯坦相對(duì)論和量子力學(xué)也都是徹底摒棄舊有觀念的好例子。舊有觀念根植于人的潛意識(shí)里，人們很難發(fā)現(xiàn)它，更難突破它。誠(chéng)如一位物理學(xué)家說(shuō)，他花了好幾年工夫才真正弄懂相對(duì)論，不是由于他知識(shí)的缺陷，而是由于他頭腦里的固有觀念妨礙了他的理解。他的話有助于我們理解突破舊觀念時(shí)，堅(jiān)持徹底性原則的重要性。只要是創(chuàng)造性工作，哪怕是很小的創(chuàng)新，實(shí)質(zhì)上都是在突破我們潛意識(shí)里某個(gè)舊有觀念。希望有所創(chuàng)造的人，對(duì)此不可不察。

對(duì)思維類型做深入的反思和研究，可以及早發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維特點(diǎn)，進(jìn)而就可以給予學(xué)生有效的指導(dǎo)和引導(dǎo)，并且我們還要鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性思維，努力攀登科學(xué)的頂峰。

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第3篇

一、錯(cuò)題集的種類劃分

高中階段數(shù)學(xué)課程的檢驗(yàn)方式主要以隨堂考試為主，通過(guò)分?jǐn)?shù)的高低簡(jiǎn)要判斷學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的掌握程度.錯(cuò)題集的操作形式就是在作業(yè)中、在考試中產(chǎn)生，通過(guò)將學(xué)生每一次的錯(cuò)題加以歸納整理，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)錯(cuò)題的定向研究中尋找自己的知識(shí)漏洞，幫助學(xué)生學(xué)習(xí).依據(jù)操作方式的差異，高中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集可以分為以下幾類. 1.以時(shí)間線索為主導(dǎo)的錯(cuò)題集.主要是針對(duì)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不同階段的錯(cuò)題收集.這種類型的操作方式，主要是將學(xué)生的錯(cuò)題進(jìn)行全面整理，但會(huì)面臨主題不突出、缺乏系統(tǒng)性的弊端.2.以課本章節(jié)為主導(dǎo)的錯(cuò)題集.該類型的操作方式，以課程章節(jié)為主導(dǎo)，相比較于時(shí)間型的方式更具系統(tǒng)性，在分類整理中具有承上啟下的作用，幫助學(xué)生進(jìn)行新舊知識(shí)之間的無(wú)縫對(duì)接.3.以錯(cuò)題類型為主導(dǎo)的錯(cuò)題集.這種分類方式主要以錯(cuò)題的原因?yàn)榫€索進(jìn)行整理.比如說(shuō)，粗心大意與知識(shí)點(diǎn)不理解的分類，幫助學(xué)生快捷地彌補(bǔ)知識(shí)漏洞.這種收集方式，主要是立足于對(duì)時(shí)間型與課本章節(jié)主導(dǎo)型為基礎(chǔ)的操作分析，使用更加方便，一目了然.

二、建立高中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集的意義

建立高中數(shù)學(xué)錯(cuò)題集，對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果具有明顯的現(xiàn)實(shí)意義.

首先，錯(cuò)題集是提高高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的指導(dǎo)方法.通過(guò)對(duì)錯(cuò)題的整理分析，幫助學(xué)生明確自己的思維特性，了解常見(jiàn)的錯(cuò)題形式，對(duì)于糾正自己不恰當(dāng)?shù)乃季S方式有直接的指導(dǎo)作用.同時(shí)，在對(duì)錯(cuò)題的分析中，可以提高學(xué)生認(rèn)真審題、了解題目意圖、分析推敲等能力.

其次，建立錯(cuò)題集是幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程查漏補(bǔ)缺的重要形式.在多次的考試后，倘若學(xué)生沒(méi)有對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行及時(shí)地歸納整理，會(huì)隨著時(shí)間的延長(zhǎng)導(dǎo)致學(xué)生遺忘犯錯(cuò)，以至于學(xué)生出現(xiàn)同一類型的錯(cuò)誤多次重犯的狀況.建立錯(cuò)題集，能夠彌補(bǔ)這一漏洞.在錯(cuò)題的整理中，學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的參考依據(jù)，在二次檢查中查漏補(bǔ)缺，提高解題能力.

最后，錯(cuò)題集是幫助高中學(xué)生尋找數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的重要參考依據(jù).建立錯(cuò)題集，能夠幫助學(xué)生了解重點(diǎn)內(nèi)容，并進(jìn)行有針對(duì)性的課后復(fù)習(xí)，尋找數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)規(guī)律，在化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程中簡(jiǎn)化解題思路.同時(shí)，建立錯(cuò)題集，節(jié)約了學(xué)生的學(xué)習(xí)成本，避免了單純的題海戰(zhàn)術(shù)所帶來(lái)的壓力.在對(duì)錯(cuò)題的集中復(fù)習(xí)中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

三、錯(cuò)題集在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用