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自1973年Black－Scholes公式提出后，套期保值理論就以該公式為基礎(chǔ)迅速發(fā)展。Black－Scholes公式基于完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)這一假設(shè)為歐式未定權(quán)益提供了定價(jià)方法。完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)指的是市場(chǎng)上有足夠多的可交易資產(chǎn)，無(wú)交易費(fèi)用，無(wú)任何交易約束及組合約束，并且有充分的流通性。基于該假設(shè)，市場(chǎng)中的每一種衍生工具都存在自籌資金的復(fù)制組合。然而，這些假設(shè)在實(shí)際金融市場(chǎng)幾乎是不存在的，即金融市場(chǎng)多為不完備市場(chǎng)或不完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)［1］。由于幾乎不可能找到符合上述假設(shè)的完備市場(chǎng)，越來(lái)越多的學(xué)者開始研究不完備市場(chǎng)的情況。在不完備市場(chǎng)下，通常難以得到Black－Scholes模型那種期權(quán)的公平價(jià)格，已有的定價(jià)方法也將失去其作用。筆者旨在研究存在賣空約束的金融市場(chǎng)上的歐式期權(quán)定價(jià)方法。在總結(jié)賣空約束下未定權(quán)益定價(jià)方法的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出公平價(jià)格的計(jì)算公式，重點(diǎn)對(duì)超復(fù)制方法的模型進(jìn)行了改進(jìn)，將參數(shù)股息率g(t)考慮進(jìn)去得到新的上下套期保值價(jià)。
1約束條件下金融市場(chǎng)套期保值
在不完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)中，經(jīng)典復(fù)制方法Black－Scholes模型不再適用，即在不完備市場(chǎng)上找不到唯一的風(fēng)險(xiǎn)中性鞅測(cè)度。目前，可用于不完備市場(chǎng)期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的常用解決方法有3種:效用最大化法、均值方差套期保值法和超復(fù)制方法［2］。
1．1效用最大化法DAVIS從效用最大化方面入手定義了期權(quán)定價(jià)［3］，他將效用最大化框架用于不完備市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，即潛在期權(quán)購(gòu)買者有特殊的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，更準(zhǔn)確地說(shuō)其目標(biāo)在于最大化到期時(shí)間T時(shí)刻財(cái)富的期望效用，如式(1)所示:Y(v)=supπ∈ΓE{U［Vv(T)］}(1)式中，Γ為所有可用策略的組合。假設(shè)投資者在財(cái)富中持有一定量的期權(quán)，其用來(lái)最大化的期望效用函數(shù)又可改寫為:W(δ，v，p)=supπ∈ΓE{U［Vv－δ，π(T)+δ/p•M(T)］}(2)式中:δ為投資者轉(zhuǎn)移到期權(quán)的財(cái)富量;p為期權(quán)股價(jià)。在均衡下投資者將不持有任何期權(quán)，即δ=0的條件下投資者達(dá)到最優(yōu)。于是對(duì)式(1)和式(2)的求解是等價(jià)的。當(dāng)δ=0時(shí)，分別對(duì)兩式中的期望效用函數(shù)的財(cái)富和期權(quán)進(jìn)行求導(dǎo)，所得到的邊際效用函數(shù)應(yīng)相等。其經(jīng)濟(jì)原理在于，均衡下投資者沒(méi)有任何動(dòng)機(jī)將財(cái)富轉(zhuǎn)化為期權(quán)，因?yàn)槿魏?單位財(cái)富和期權(quán)所預(yù)示的邊際效用相等。受以上均衡經(jīng)濟(jì)的啟發(fā)，求得式(1)和式(2)中的邊際效用，并將其等價(jià)聯(lián)立求解公平價(jià)格，可以得到如下表示形式:p^=E［b0(T)•Z0(T)•M］(3)
1．2均值方差套期保值法MARKOWITZ的均值方差模型為評(píng)估資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)提供了有力的框架［4］。王春鳳等使用均值方差套期保值法推導(dǎo)出有效邊界，并認(rèn)為所有使二次效用函數(shù)最大化的終點(diǎn)財(cái)富都在有效邊界之上［5］。有效邊界代表期望收益，而標(biāo)準(zhǔn)差代表風(fēng)險(xiǎn)。約束市場(chǎng)可表示為(槇M，B)，其中槇M為L(zhǎng)2中的一個(gè)非空閉凸錐，B為L(zhǎng)2中的一個(gè)已知因素，B＞0。槇M對(duì)應(yīng)存在約束的金融市場(chǎng)，B對(duì)應(yīng)由財(cái)富初值1所產(chǎn)生的財(cái)富終值。因此(槇M，B)為存在隨機(jī)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和隨機(jī)波動(dòng)的金融市場(chǎng)。上述結(jié)論適用于單一期間、多期間和連續(xù)時(shí)間的權(quán)益組合。筆者僅假設(shè)該市場(chǎng)不允許自撥利潤(rùn)，強(qiáng)行使得市場(chǎng)無(wú)套利機(jī)會(huì)。假設(shè)投資者的可得收益為m，其極限值為槇m0，其最佳收益可表示為Y=b•B+cm槇0，其中c為二次效用函數(shù)u(Y)=EB［Y/B］－A•VarB［Y/B］中風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)A的倒數(shù)，b為系數(shù)。于是在給定最佳收益期望水平V的前提下，可求出相對(duì)應(yīng)的最小方差組合，即:minVarB［m/B］(4)若服從約束，EB［(b•B+m)/B］=V。改變V值并將對(duì)應(yīng)解匯總即可得到均值方差有效邊界。
1．3超復(fù)制方法存在組合約束的金融市場(chǎng)無(wú)法找到唯一的風(fēng)險(xiǎn)中性鞅測(cè)度，但可以建立一個(gè)包含Black－Scholes價(jià)格u0的風(fēng)險(xiǎn)中性區(qū)間［plow，pup］，該區(qū)間有以下特征:(1)該區(qū)間以外的每個(gè)價(jià)格都會(huì)帶來(lái)套利機(jī)會(huì)。(2)該區(qū)間內(nèi)的每個(gè)價(jià)格都不會(huì)帶來(lái)套利機(jī)會(huì)。其中:pup為上套期保值價(jià)，即在存在約束的市場(chǎng)M(K)上建立超復(fù)制組合的最小初始財(cái)富;plow為下套期保值價(jià)，即購(gòu)買者所能負(fù)擔(dān)的最大資金數(shù)額，并且同時(shí)能最終獲得用于償付債務(wù)的未定權(quán)益回報(bào)［6］。問(wèn)題的關(guān)鍵是plow，pup的計(jì)算。筆者引入兩個(gè)非空閉凸集K+和K－表示組合約束和上下套期保值集合，定義上下套期保值集合分別為U和L。上下套期保值價(jià)可表示為:pup=inf{v，v∈U}(5)plow=sup{v，v∈L}(6)根據(jù)式(5)和式(6)，可以進(jìn)一步得到不等式:pup=inf{v，v∈U}≥p0(7)plow=sup{v，v∈L}≤u0(8)式(7)和式(8)意味著，對(duì)于Rn下的任意非空約束集K+和K－，有0≤plow≤u0≤pup，其中p0=EQ［b0(T)•M(T)］，即無(wú)套利價(jià)格，也即Black－Scholes價(jià)格。若定義集合H(槇H)循序可測(cè)過(guò)程x={x(t)，0≤t≤T}的集合，則局部鞅Zx(•)可表示為:Zx(t)=exp［－∫t0λx(s)•dW(s)－1/2•∫t0‖λx(s)‖2•ds］(9)配合x的邊界條件，有:sup(t，ω)∈［0，T］×Ω‖x(t，ω)‖＜∞(10)可以推斷Zx(•)確實(shí)是一個(gè)鞅。根據(jù)GIRSANOV的定理可知測(cè)度Px(A)=E［Zx(T)•AA］=Ex［1A］是一個(gè)概率測(cè)度，過(guò)程W(•)是一個(gè)Px布朗運(yùn)動(dòng)。使用鞅表示形式和Doob－Meyer分解定理可證明［7］:pup=supx∈DEx［槇bx(T)•M(T)］(11)plow=infx∈DEx［槇bx(T)•M(T)］(12)這正是存在于無(wú)約束組合的輔助市場(chǎng)上的Black－Scholes價(jià)格。
2模型建立與改進(jìn)
2．1公平價(jià)格前面介紹了幾種可在存在組合約束的金融市場(chǎng)使用的方法，在超復(fù)制方法中筆者定義了上下套期保值價(jià)格并找到了無(wú)套利區(qū)間［plow，pup］。然而要找到唯一的未定權(quán)益價(jià)格，該區(qū)間還不夠窄，因此還需通過(guò)另一途徑尋找該區(qū)間中的平價(jià)［8］。效用最大化法適用于確定平價(jià)［9］。最終的目標(biāo)是使T時(shí)刻的終點(diǎn)財(cái)富最大化(零時(shí)刻的財(cái)富為正)，即對(duì)式(1)求解。時(shí)間t=0時(shí)，期權(quán)價(jià)格p=M(0)。商可以用δ(δ＜v)量的數(shù)額購(gòu)買期權(quán)，那么可購(gòu)買到的期權(quán)份額為δ/p，則可將該問(wèn)題概括為一個(gè)隨機(jī)控制問(wèn)題，即式(2)。另外，函數(shù)W(δ，p，•)與函數(shù)Y(•)是一致的。于是將公平價(jià)格定義如下［10］:p滿足Wδ(0，p，v)=0，則未定權(quán)益價(jià)格p稱為公平價(jià)格。進(jìn)一步，若上式存在唯一的弱解，那么對(duì)應(yīng)于未定權(quán)益在零時(shí)刻正的初始財(cái)富V的價(jià)格^p即為公平價(jià)格。
2．2考慮股息率時(shí)超復(fù)制方法模型筆者在尋找無(wú)套利區(qū)間［plow，pup］時(shí)，得出上下套期保值價(jià)格的式(11)和式(12)。但考慮股息率g(t)時(shí)，超復(fù)制方法計(jì)算的結(jié)果將更具有實(shí)用性。假設(shè)超復(fù)制方法模型考慮股息率g(t)時(shí)，上下套期保值價(jià)格可以表示為:pup=supx∈DEx［槇bx(T)•M(T)+∫T0槇bx(s)•g(s)•ds］(13)plow=infx∈DEx［槇bx(T)•M(T)+∫T0槇bx(s)•g(s)•ds］=h(14)下面引用KARATZAS與KOU的方法，通過(guò)對(duì)模型的修正證明上述假設(shè)成立。基本思想是分別證明pup≥h，plow≤h，則可得出等式。對(duì)于每個(gè)x∈D，Qx(•)為Px下D［0，T］階的半鞅，根據(jù)鞅表示定理和半鞅的Doob－Meyer分解定理，可知:Qx(t)=h+∫t0ψ*xdWx(s)+Ax(t)(15)結(jié)合Doob－Meyer分解定理，有:dQμ(t)=ψ*xdWμ(s)+Aμ(t)(16)可得到其分解的唯一形式為:ψx•exp{∫t0ζ［x(u)］•ds}=ψμ(t)•exp{∫t0ζ［μ(u)］•ds}，0≤t≤T(17)令x≡0，從Tanaka－Meyer公式可知:d［b0(t)•V(t)］=－b0(t)•dC(t)+b0•V(t)•π*•σ(t)•dW0(t)(18)因此可得V(•)=V－h(huán)，π，C(•)，即證得pup≥h。假設(shè)plow＞0，對(duì)于任意x∈L都存在(π，C)∈A－(－v)使得V－h(huán)，π，C(T)≥－M(T)。可得:v≤Ex［槇bx(T)•M(T)+∫T0槇bx(s)•g(s)•ds］(19)亦即證明了plow≤h。
3結(jié)論
筆者總結(jié)了存在賣空約束的金融市場(chǎng)上歐式期權(quán)定價(jià)存在的問(wèn)題。由于在不完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)無(wú)法找到唯一風(fēng)險(xiǎn)中性鞅測(cè)度，經(jīng)典復(fù)制方法Black－Scholes模型失效，因此總結(jié)了3種有效方法，即效用最大化法、均值方差套期保值法和超復(fù)制方法。超復(fù)制方法的結(jié)果表示:在賣空約束條件下存在包含Black－Scholes價(jià)格u0的無(wú)套利區(qū)間［plow，pup］，即式(11)和式(12)。該價(jià)格正是無(wú)約束的新輔助市場(chǎng)上的Black－Scholes價(jià)格。考慮到該無(wú)套利區(qū)間仍然不夠窄，仍無(wú)法找到唯一的價(jià)格，可以使用效用最大化法計(jì)算平價(jià)^p，p(v)=E^x［b^x(T)•M(T)］，其中p(v)為無(wú)約束輔助市場(chǎng)M^x上M(T)的Black－Scholes價(jià)格E^x［b^x(T)•M(T)］，該市場(chǎng)M^x利率為r(•)+ζ［^x(•)］，增值率為μ(•)+^x(•)+ζ［^x(•)］。實(shí)際中更加有效的計(jì)算是考慮參數(shù)股息率g(t)，通過(guò)式(13)和式(14)可得到新上下套期保值價(jià)。