統計與概率課程內容建議與調查范文

本站小編為你精心準備了統計與概率課程內容建議與調查參考范文，愿這些范文能點燃您思維的火花，激發您的寫作靈感。歡迎深入閱讀并收藏。

摘要：在課程內容審視與一線調研的基礎上，建議義務教育數學課程標準中增補下列內容：通過案例感受數據的類型，形成對數據的全面認識；通過案例感受簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣等抽樣方法，切實提高學生數據獲取能力；通過案例從直觀圖形中獲取數據，形成數據直覺；結合案例感受期望．

關鍵詞：初中數學；統計與概率；數據分布；數據分析；數學期望

2001年頒布的《義務教育數學課程標準（實驗稿）》，在課程內容方面增加了“統計與概率”這一學習領域，這無疑是中國數學課程內容的一個重大變革．顯然，這一變革順應了國際課程發展的趨勢，也貼合時展的潮流，畢竟人們生活在一個數據的時代．《義務教育數學課程標準（2011版）》，對此內容稍作微調．《課程標準（實驗稿）》和《課程標準（2011版）》，都強調讓學生經歷數據收集、處理的全過程，形成數據分析觀念，注重概率統計知識的現實應用．但在教科書編寫和教學實施中發現，基于課程標準中現有的學習內容，學生還難能切實從事數據收集、表示與處理的全過程，為此，對課程內容進行了反思，并進行了一線教師的調研．

1課程內容再審視

1.1關于數據及其類型

聊到數據，很多人誤認為數據就是數．實際上，數據就是信息，現實生活中統計數據類型眾多．有的數據沒有好差之別，它們是定性的，如學生信息中的男、女這兩個關于性別的數據（數據類型如圖1所示[1]）；而有些數據可以排出一定的順序，它們是定序的，如一些調查中調查的滿意程度；還有些數據是定量的，它們可以直接比較大小，如學生身高、某次考試的成績等．通過一些約定，定序的數據和定量的數據可以相互轉換．例如，在關于食堂滿意度的調查中，可以約定依次用4、3、2、1來代替滿意、比較滿意、一般、不滿意，這時，定序的數據就轉化成定量的數據了，可以計算它們的平均數（只有定量的數據才有平均數）．反過來，將定量的數據適當分段，可以轉化為定序的數據．例如，如約定90分及以上為優、90分以下80分及以上為良、80分以下70分及以上為中、70分以下60分及以上為及格、60分以下為不及格，這時原先為定量數據的成績就轉換成定序的數據了．另外，定量的數據還可分為可比的數據和不可比的數據，如攝氏溫度，就不是可比的數據，20℃并不表示10℃的兩倍．但課程標準中沒有提及數據類型，初中數學教科書中呈現的也都是可以計算的數值型數據，這無意中誤導了學生，形成對數據的片面認識．其實這樣的認識，在教師中間同樣存在．在針對優秀教師關于教科書理解的一次調查中，設計了下面一道題：為了了解學生對食堂的滿意程度，某人隨機調查了100名學生，并將結果整理如下：在收集到的有效答卷中，選擇A、B、C、D的比例依次是17.77%、3.72%、72.31%、6.2%．應該說，該次調查的教師群體比較優秀，而且教材培訓中已經多次介紹過數據的概念，但仍有高達27.69%的老師選擇了錯誤答案．通過進一步訪談，發現教師多認為，眾數首先得是一個數．這再次說明了，教師對數據認識的不全面．因此，建議課程標準中明確要求：通過案例，讓學生感受不同類型的數據．具體教學中，可以提供某個班級學生的信息表（包括性別、年齡、身高、體重、體育測試以及有關文化測試成績等），其中既有男、女這樣表示類別的定性數據，也有優、良這樣表示等級的定序數據，更有身高、體重等數值型的定量數據，要求學生閱讀學生信息表，引導學生思考：表格中有哪些數據，這些數據可以分為哪些不同的類型，各類數據各有什么特點，實際生活中是否可以進行不同類型數據的轉化，結合這個例子給出具體轉化的辦法．

1.2關于數據收集的方法

關于數據收集，《課程標準（2011版）》明確要求學生“經歷數據收集的過程”“體會抽樣的必要性，通過實例了解簡單隨機抽樣”[2]．《普通高中數學課程標準（實驗）》則要求：“在參與解決統計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，通過對實例的分析，了解分層抽樣和系統抽樣．”[3]這樣的定位，默認了簡單隨機抽樣相對簡單，而分層抽樣和系統抽樣更為復雜．當然，從邏輯上而言，似乎有些道理，系統抽樣需要對總體中各個個體進行編號，分層抽樣需要進行樣本的分層．但從操作層面看，未必如此．當總體中個體不定或者個體數量無限時，無法采用簡單隨機抽樣，個體數量有限但數量較大時，也很難進行簡單隨機抽樣．而實際生活中，有時分層抽樣、系統抽樣倒十分方便，如從全校10個班級中抽取50名學生開展某項調查，班級、年級就是自然的分層，可以采用分層抽樣，具體到某個班級從50名學生中抽取5名學生，采用系統抽樣十分方便，可以從0~9十個數字中隨機抽取一個數字（如3），則學號尾數是這個數字的學生即被抽中．因此，《課程標準（2011版）》中僅讓學生通過實例感受簡單隨機抽樣，反而束縛了學生的手腳，使得很多調查活動無法展開，經歷數據收集的過程，流于形式，成為一句空話．建議課程標準中能增加“通過案例，感受簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣等抽樣方法”，從而，確保實際調查研究活動中，學生能根據情況選擇適合的抽樣方法，開展調查活動，切實形成數據收集的能力．具體教學中，可以呈現一個具體的情境，如，為了解全校學生對學校某項管理規定的認可程度，設計了調查問卷，要求學生給出具體的調查方式，并說明各自調查方式的特點，在學生交流的基礎上，點出普查、簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣．教學過程中，學生并不一定都能自主提出這么多種類的方案，可以引導學生思考已有方案的優點與不足，進而引出新的方式．如已經出現了簡單隨機抽樣的情況下，引導學生思考，這樣的抽樣是將全校學生作為一個整體，但學校有7、8、9三個年級幾十個班級，抽樣時最好能兼顧到年級、班級，能否將名額分解到班級呢？這就引出了分層抽樣；繼續引導學生思考，如果每個班級恰抽取5個學生，對這些含有50名學生的班級都要分別隨機產生5個學號嗎？能否更加快速地得到5個學號？從而引出系統抽樣．

1.3關于圖表

《課程標準（2011版）》中對統計圖表的要求是“會制作扇形統計圖，能用統計圖直觀、有效地描述數據”“能畫頻數直方圖，能利用頻數直方圖解釋數據中的信息”[2]兼之小學階段的“認識條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖，能用條形統計圖、折線統計圖直觀而有效地表示數據”[2]，義務教育階段對統計圖的總體要求是“能讀懂、會制作”，統計圖包括條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖、頻數直方圖等．但，現實生活中的統計圖表，往往更為靈活多樣，常常會基于這些統計圖表做出一些變化，如兩組數據直接對比的“復式”的條形統計圖、扇形統計圖的變異形式——“環形”的統計圖，還有根據實際背景問題設計的、更加直觀形象的、甚至“變異”了的統計圖，如圖2．現有教科書，基本上嚴格按照課程標準的要求，僅僅介紹了相對規范的條形圖、扇形圖、折線圖、直方圖等，而很少介紹更為形式多樣的統計圖，這無疑與現實需要有所脫節．建議，課程標準中增補適當的語言，鼓勵教科書能與時俱進地介紹一些更為多樣更為形象的統計圖，以引導教師教學．考慮到課程標準是一個全國性的標準文件，不可能對具體素材都給予詳細的規定，此外，這些“變異”了的統計圖，本質上還是常見的統計圖，因此，課程標準仍只關注這些圖表的最基本形式及其本質的揭示，但可以引導教科書適度創新．為此，建議課程標準中教科書編寫建議中能指出：教科書選材時，能夠結合現實需要，呈現一些變異的、更加直觀形象的統計圖，讓學生能讀懂現實生活中更為豐富的統計圖，同時也能發現這些統計圖的本質仍是常見的統計圖，一方面更好地認識常見統計圖的本質，另一方面，也可以基于實際的需要進行統計圖的創新設計．各種變化的統計圖如圖2所示．

1.4關于數據分布與數據直覺

“數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養．”[4]分析數據，固然可以基于計算，如，計算平均數、中位數、眾數等感受數據的平均水平，計算方差、標準差等感受數據的波動水平．但，這些“數”的結果，隱去了“形”的直覺，學生反而未必能從這些“數”的信息中感受到數據分布的整體狀況．另外，上述“數”的結果，如“數”的平均數、標準差等，并不能反映分布的全貌，如分布是否具有峰值、單峰還是多峰的、峰值居中還是有偏的、是否具有極端值等，而分布的圖形可以最為直觀地展現數據分布特征．此外，數字時代，媒體中呈現的有關數據信息，多是基于直觀圖表的，需要人們從直觀圖表中感受數據分布特征，因而，基于圖表的數據分析成為一個重要的能力，這里的數據分析，固然需要能讀取出完整的數據信息并進行精準的計算，還需要根據圖表對數據特征做出快速的估算，形成一定的數據直覺．正是基于此，建議，教學中能以圖表的形式呈現數據的分布，并引導學生從圖表中初步感受分布的特征，能對數據的平均水平、波動水平基于直覺進行估算或者能對兩組數據的平均水平、波動水平基于直覺進行比較．當然，也能從圖表中獲取數據，通過計算獲得有關數據平均水平、波動水平的精確度量．這樣，既可以整體感知數據的分布，也很好地發展了學生的數據直覺．這方面，北師大版初中數學教科書做了一定的嘗試[5]，單獨設計了一節內容，以圖表的形式呈現數據，要求學生直接估計這組數據的平均數等統計量，并說明是怎么估計的，然后再通過嚴格的計算校驗自己的估計．應該說，這樣的做法得到了一線師生的歡迎．為此，建議課程標準增補：“能從圖表中感受數據分布的特點，能估算或計算數據的平均數、標準差等，發展學生的數據直覺．”較早通過圖形感受數據分布，符合國際統計教育的趨勢．王建波在中美澳3國初中數學教材統計內容比較研究中指出：“美國教材和澳大利亞教材出現較多的盒式圖、異常值、四分位數、變異性等概念，中國教材中均未見涉及……美國Connected教材中的分布，作為重要的內容反復出現，而在中國兩個版本的教材中均沒有給予必要的重視．”[6]李俊認為：“雖然關于分布的教學，在中國現行課程標準中主要安排在高中，但是在小學和初中學習條形統計圖和折線統計圖，就可以引導學生觀察數據分布……分布是統計知識網絡中的重要節點，分布概念建立在中心、變異（離散程度）、形狀、密度、偏度、頻率、概率、比例關系和解釋關系這9個概念之上；提早引導學生觀察數據分布有助于學生逐步養成整體上研讀數據的習慣，實現從局部到全局的認知飛躍；觀察數據分布有利于概率和統計學習的融合．”[7]1.5關于數學期望關于概率，《課程標準（2011版）》僅僅要求“列出簡單隨機事件所有可能的結果，了解事件的概率”“知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率”[2]．但，一般而言，僅僅知道概率，并不足以做出行為判斷．人們做出判斷，除了需要考慮各種狀況出現的概率，還需要結合各種狀況本身的價值，實際上，這就是數學期望的概念．關于數學期望，美國等國家的初中數學教科書中都在正文中通過數學活動感受[8]．建議將數學期望引進初中數學課程體系，當然，并不是嚴格給出數學期望的概念，而是基于一些簡單的有關離散型隨機變量的數學模型，通過實例感受數學期望．此外，具體教學時，注重實驗估算和理論計算相結合，并加強其與平均數的聯系，從而促進學生的理解[9]．北師大版初中數學教科書在這方面也做出了嘗試[10]，設計了下面的活動：（如圖3所示）具體教學時，可以先要求學生組成合作小組，用實驗的方法分別估計出獲得100元、50元、20元獎券以及未能獲得獎券的概率，并據此估計每轉動一次轉盤“平均收益”；然后思考將轉盤中相同顏色的部分集中起來形成圖4的轉盤，結果是否發生變化，并將其與統計圖表3進行對比，從而建立數學期望與平均數的聯系．

2一線觀點再調研

上述建議是基于實施層面的觀察、理性思考以及文獻研究得到的．現階段，一線教師直接影響著課程與教學的實施狀況，因此，關于課程內容調整的建議，還需要得到一線教師的認同．為此，在2018年9—10月間，借助北師大版初中教科書使用情況調查的契機，在問卷中除基本信息外，根據上述課程內容的討論，設計了5道問題（問題序號對應上述討論問題），希望了解一線老師的觀點．

2.1調查設計

為了保證調查的有效性，問卷初稿設計時，選擇了部分教科書編者和專家型教師進行了專家咨詢；2018年9月，借助教師研修活動的機會進行了初測，現場發放了60份問卷，收回有效問卷48份，根據現場答卷的情況，對部分試題進行了微調．2018年10月，利用問卷星平臺調查問卷，借助一些骨干教師研修群的傳播，進行了為期半個月的匿名調查，參與調查人數為485人．利用SPSS軟件，對上述533份問卷中的第1題至5題進行可靠性分析，其內部一致性系數為0.633．當項數小于6，內部一致性系數大于0.6，表明量表是有效的．同時對現場測試與網絡測試中這5道題的調查結果進行差異檢驗，結果如表1．由表1可知，其中第1、3、5三道題的P值超過了0.5，第2道題的P值也達到0.41，均大于0.05，說明現場測試與網絡測試在這4題中無顯著差異．第4題（關于數據分布與數據直覺），P值小于0.05，說明現場測試與網絡測試的結果存在差異，該題只有兩個選項，也許是一個影響因素，但從后文中具體數據看，兩個群體的觀點總體還是相近的．考慮到網絡測試樣本容量較大，故后繼取用網絡測試的調查結果．

2.2調查結果

（1）調查對象分布．485個網絡調查對象，涵蓋了重慶、貴州、山西、江西、山東、遼寧、廣東等16省市，具有很好的代表性．有關身份信息如表2所示．（2）調查結果．對于數據類型、數據收集方法、“變異”的統計圖在教科書中的處理，分別設計了1~3這3道單選題，它們的A、B、C、D四個選擇支依次是“教科書正文中，通過具體實例讓學生感受”“教科書設計‘讀一讀’等拓展性欄目介紹，讓學有余力的學生自主學習”“教科書中不予介紹，在教師用書等教學輔助資源中，適當介紹，讓教師根據班級學生的實際狀況，確定是否進行相關內容的教學”“課程標準中沒有提出明確的要求，建議教科書和教師用書都不必介紹”．這3題的調查數據如表3.不難看出，這3道題目的答卷中，占比最高的選項是A，都超過50%，即超過一半的被調查者贊同在教科書正文中通過實例讓學生學習這些知識．對于數據分布與數據直覺，設計了第4題，介紹了某教材對于此內容的處理：以圖表形式呈現數據，要求學生直接估計這組數據的平均數等統計量，并說明是怎么估計的，然后再通過嚴格的計算校驗自己的估算，現場測試中，72.92%的被調查者贊同該教材處理方式，網絡調研中，贊同的比例高達88.04%．而對于數學期望，設計了第5題，調查數據如表4．

3結論

基于上述內容審視與一線調研，建議課程標準中增補這些內容，明確要求：通過案例感受數據的類型，形成對數據的全面認識；通過案例感受簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣等抽樣方法，切實提高學生數據獲取能力；通過案例從直觀圖形中獲取數據，形成數據直覺；結合案例感受期望．另外，在課程標準的教科書編寫建議中，明確要求教科書編寫中能結合現實生活“與時俱進”地介紹更豐富直觀的統計圖表．提到增補課程內容，可能有人會提出反對意見，“這不又增加了學生負擔了嘛”實際上，增補上述內容，并不會給學生增加多少負擔．首先，增補這些內容，大致只需增加4個課時的學習時間，對于整個初中學習而言，是微不足道的；其次，增補的內容更為貼近學生的生活實際，總體難度不大，而且學習過程也更為關注學生的參與性學習，因此，增補這樣的內容會得到學生的喜愛的；再次，增補概率統計的內容，是國際通識．王建波對比中美澳3國初中數學中統計內容，發現，中國統計內容的廣度最小，深度也較低[6]．實際上，課程改革不能僅僅有增無減，應綜合評估學科發展、時代變遷、學生認知等各個方面的因素，在有關內容之間尋求一個平衡．既要順應時展增補一些更貼合學生生活實際、更順應時代需求的內容，同時，也應重新審視學科內容的現時價值，做出適當的刪減．實際上，中國初中數學的學習內容，還有一定的刪減空間，如馬迎秋、曹一鳴比較了多個國家的初中幾何內容發現，中國內地初中幾何課程在新課改之后刪減了一定的內容，但是與其他國家和地區的教科書相比卻仍是最注重呈現幾何內容容量的[11]．相信，這可以給課程內容調整一些啟示.

［參考文獻］

[1]章飛，凌曉牧．初中數學研究與教學指引[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：174．

[2]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：40，25．

[3]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）[M]．北京：人民教育出版社，2003：25．

[4]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：7．

[5]馬復．義務教育課程標準實驗教科書•數學8（上）[M]．北京：北京師范大學出版社，2014：145148．

[6]王建波．中美澳三國初中數學教材統計內容的比較研究[M]．上海：上海教育出版社，2016：7273，77，93．

[7]李俊．中小學概率統計教學研究[M]．上海：華東師范大學出版社，2018：129131．

[9]章飛．義務教育階段概率有關知識的內容定位與教材實施[J]．數學教育學報，2004，13（1）：4851．

[10]馬復．義務教育課程標準實驗教科書•數學9（下）[M]．北京：北京師范大學出版社，2014：114116．

[11]馬迎秋，曹一鳴．初中數學教科書幾何內容分布的國際比較研究[J]．數學教育學報，2018，27（4）：1217．

作者：凌曉牧 章飛 單位：江蘇第二師范學院