幾何直觀在數(shù)學(xué)教育中的發(fā)展范文

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幾何直觀雖然比實(shí)物直觀、圖畫直觀等要抽象一些，但它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域卻更為重要，有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)和不可替代的作用。

(一)幾何直觀最能反映問(wèn)題的本質(zhì)

代數(shù)對(duì)象(如實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)對(duì)、方程)與幾何圖形(如線段、平面上的點(diǎn)、幾何曲線)在某種規(guī)定下，可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系下，代數(shù)對(duì)象與幾何圖形可以看成一樣，即可以看成是同一事物的不同表示形式。如此，代數(shù)對(duì)象的本質(zhì)屬性一定會(huì)在相對(duì)應(yīng)的幾何圖形中體現(xiàn)出來(lái);幾何圖形的關(guān)系反映的也一定是相對(duì)應(yīng)的代數(shù)對(duì)象的關(guān)系。這就是幾何直觀的依據(jù)，這就是幾何直觀最能反映問(wèn)題本質(zhì)的原因所在，而這一點(diǎn)其他直觀物很難做到。例:小紅每天上午7時(shí)25分離家上學(xué)。第一天每分鐘走35米，結(jié)果遲到5分鐘;第二天每分鐘走50米，結(jié)果早到7分鐘。求早晨上課時(shí)間及小紅家到學(xué)校的距離。這道題讓一位成績(jī)優(yōu)秀的小學(xué)五年級(jí)學(xué)生做，她考慮了近20分鐘一點(diǎn)思路也沒有。后來(lái)教師把線段圖(圖1)畫好了讓她做，結(jié)果這位學(xué)生僅用了一分半鐘就做好了。這說(shuō)明什么呢?這說(shuō)明學(xué)生從文字表述的題目中較難看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，但從線段圖———一種典型的幾何直觀里能較清楚地看到問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而促使學(xué)生更好地分析和解決問(wèn)題。想象一下，像這樣的問(wèn)題，如果沒有線段圖，教師怎么講才能讓學(xué)生聽懂;學(xué)生面對(duì)這樣的問(wèn)題，如果不借助于線段圖怎么才能更快地解決。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中充滿了幾何直觀，不是形式主義，而是教師教學(xué)和學(xué)生解決問(wèn)題之重要的、有效的輔助。

(二)幾何直觀表述問(wèn)題最清楚、最簡(jiǎn)潔，有利于數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展

幾何直觀中的直觀物是幾何圖形———數(shù)學(xué)的一種特色語(yǔ)言(另一種特色語(yǔ)言是符號(hào))。為什么數(shù)學(xué)會(huì)把抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)和幾何圖形作為自身的語(yǔ)言呢?這是因?yàn)檫@兩種對(duì)象能最簡(jiǎn)潔、最清晰、最直觀地表述問(wèn)題。比如小學(xué)整數(shù)基本應(yīng)用題有4大類13種。如果用普通的文字語(yǔ)言講給學(xué)生聽，學(xué)生肯定理解不清，但用線段圖向?qū)W生說(shuō)明，學(xué)生一聽就懂，而且記得牢。比如學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算，幾何直觀都能發(fā)揮很好的作用。圖2是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)上冊(cè)第101頁(yè)練十三里的一個(gè)題目:再比如像這樣一個(gè)問(wèn)題(小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題):證明任意六個(gè)人中，至少有三人互相認(rèn)識(shí)或互相不認(rèn)識(shí)。解:如圖3，用A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)表示六個(gè)人，兩人認(rèn)識(shí)就用實(shí)線將其連接，否則用虛線連接。則“證明任意六個(gè)人中，至少有三人互相認(rèn)識(shí)或互相不認(rèn)識(shí)”就是要說(shuō)明用實(shí)線或虛線把A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)兩兩連接后，至少會(huì)出現(xiàn)一個(gè)實(shí)線三角形或虛線三角形。線段AB，AC，AD，AE，AF中至少有三根實(shí)線或三根虛線，不妨設(shè)有三根實(shí)線為AB，AC，AD。如果BC，CD，DB全是虛線，則出現(xiàn)了一個(gè)虛線三角形BCD，如果BC，CD，DB不全是虛線，不妨設(shè)BC為實(shí)線，則ABC為實(shí)線三角形。問(wèn)題得證。看一看，如此幾何直觀表述問(wèn)題多么簡(jiǎn)潔、方便和清楚!想一想，此問(wèn)題如果不是幾何直觀真不知道如何才能說(shuō)得清楚。適應(yīng)并能熟練地掌握幾何圖形和數(shù)學(xué)符號(hào)這兩種數(shù)學(xué)語(yǔ)言是順利地、有成效地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要基礎(chǔ)之一。所以，運(yùn)用幾何直觀不僅有利于學(xué)生解決問(wèn)題，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而有利于數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)更好地發(fā)展。

(三)幾何直觀的運(yùn)用十分有利于人的形象思維和抽象思維共同發(fā)展

為什么要加強(qiáng)直觀教學(xué)?我們?cè)缫阎赖睦碛墒?數(shù)學(xué)比較抽象，兒童的思維以形象思維為主，抽象思維能力較低，所以學(xué)生在認(rèn)識(shí)抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)要借助形象直觀。其實(shí)，中學(xué)生和大學(xué)生同樣要如此。人的基本思維方式有兩個(gè)，即抽象思維和形象思維，它們分屬于左右大腦，相輔相成。從心理學(xué)的角度看，當(dāng)人們面臨解決問(wèn)題的情境時(shí)，兩種思維協(xié)同發(fā)展和聯(lián)合運(yùn)用效果最佳。幾何直觀的直觀物———幾何圖形，比實(shí)物和圖畫抽象，但比用純文字表述要直觀。可以說(shuō)幾何直觀是集形象與抽象于一身，所以幾何直觀不僅有利于學(xué)生解決問(wèn)題，而且有助于學(xué)生抽象思維和形象思維共同發(fā)展，進(jìn)而更好的發(fā)展學(xué)生的智力。有一位小學(xué)老師做過(guò)實(shí)驗(yàn):選擇兩個(gè)上學(xué)年數(shù)學(xué)均分相差0．3分的班級(jí)做實(shí)驗(yàn)對(duì)象，分?jǐn)?shù)稍低一點(diǎn)的為實(shí)驗(yàn)班，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容為應(yīng)用題教學(xué)。在實(shí)驗(yàn)班級(jí)的應(yīng)用題教學(xué)中，她非常重視線段圖輔助，并把畫線段圖作為一項(xiàng)基本功對(duì)學(xué)生進(jìn)行了系統(tǒng)地訓(xùn)練，而對(duì)比班級(jí)應(yīng)用題教學(xué)很少用線段圖輔助，但加強(qiáng)了實(shí)物與非幾何圖形的圖畫直觀，增加了解題訓(xùn)練量。實(shí)驗(yàn)半學(xué)期出卷測(cè)試，結(jié)果實(shí)驗(yàn)班級(jí)學(xué)生的測(cè)試均分比對(duì)比班級(jí)高10．01分。

幾何直觀與實(shí)物和圖畫等其他形式的直觀比較還有一個(gè)好處，即方便，有筆有紙就行，學(xué)生畫得出。加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科的自身特點(diǎn)所決定的，符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律，有利于且方便于學(xué)生分析和理解問(wèn)題，有助于不斷提高學(xué)生的解題能力和思維能力。我們堅(jiān)信，只要教師重視了幾何直觀教學(xué)，學(xué)生理解掌握了幾何直觀方法，那么幾何直觀一定會(huì)在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域像金子一樣閃閃發(fā)光。

作者：張家驥單位：江蘇省鹽城高等師范學(xué)校