結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理參數(shù)范文

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《振動(dòng)工程學(xué)報(bào)》2016年第一期

摘要：

提出了一種動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理參數(shù)辨識(shí)方法。應(yīng)用Padé多項(xiàng)式對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)剛度曲線進(jìn)行擬合，通過(guò)最小二乘法確定Padé多項(xiàng)式中的系數(shù)矩陣，利用遺傳算法對(duì)Padé擬合式中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而得到系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。數(shù)值算例表明該方法具有較高的辨識(shí)精度且適用于黏性阻尼系統(tǒng)和非黏性阻尼系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞：

參數(shù)識(shí)別；系統(tǒng)辨識(shí)；結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)；Padé擬合；最小二乘法

在動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析過(guò)程中，系統(tǒng)辨識(shí)起著十分重要的作用，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理參數(shù)辨識(shí)一直是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。準(zhǔn)確辨識(shí)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，是準(zhǔn)確地預(yù)計(jì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的前提。Phan［1］等利用系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)，通過(guò)狀態(tài)空間模型辨識(shí)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。Chen和Tsuei［2］同時(shí)考慮了黏性阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼來(lái)對(duì)系統(tǒng)的物理參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)。Lee和Kim［3］對(duì)Chen和Tsuei的方法進(jìn)行了改進(jìn)，將原來(lái)方法拓展到多輸入多輸出系統(tǒng)，并在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)，Tsuei等人的方法若從動(dòng)剛度的角度出發(fā)，辨識(shí)過(guò)程將得到很大簡(jiǎn)化，且辨識(shí)結(jié)果受測(cè)量誤差和噪聲的影響較小。但是，正如Lee和Kim［3］在文中所說(shuō)，利用結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度進(jìn)行動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)的研究還很少。廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)降階及參數(shù)擬合的Padé多項(xiàng)式是一種曲線擬合方法。Chazot［4］等將Padé多項(xiàng)式用于黏彈性結(jié)構(gòu)降階，其計(jì)算效率與直接計(jì)算方法相比，得到很大提高。王學(xué)雷［5］提出了一種基于Padé近似的頻域辨識(shí)方法，研究了基于積分最小二乘指標(biāo)的SISO時(shí)滯系統(tǒng)頻域辨識(shí)問(wèn)題。葉華［6］等利用Padé多項(xiàng)式來(lái)逼近時(shí)滯環(huán)節(jié)，提出了一種時(shí)滯電力系統(tǒng)特征值的計(jì)算方法。Fournodavlos和Nestoridis［7］從數(shù)學(xué)角度也研究了Padé在參數(shù)擬合方面的應(yīng)用。作者［8］在之前的研究中，曾研究過(guò)利用Padé多項(xiàng)式對(duì)頻域廣義氣動(dòng)力擬合，得到時(shí)域氣動(dòng)力表達(dá)式，進(jìn)而研究帶遲滯非線性環(huán)節(jié)二元機(jī)翼的氣動(dòng)彈性響應(yīng)問(wèn)題。本文從線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)剛度出發(fā)，采用Padé多項(xiàng)式擬合，對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。首先分別從黏性阻尼和非黏性阻尼兩種動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)介紹了系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)方法，并通過(guò)數(shù)值仿真算例對(duì)兩種動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，驗(yàn)證了該方法具有較高的辨識(shí)精度。

1系統(tǒng)物理參數(shù)辨識(shí)方法

1．1黏性阻尼系統(tǒng)由式（11），（13）可見(jiàn)，βi的取值會(huì)影響參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果，因此，在對(duì)動(dòng)剛度矩陣進(jìn)行擬合時(shí)，需要對(duì)βi的取值進(jìn)行優(yōu)化，即βi值的確定為一個(gè)尋優(yōu)過(guò)程。本文利用遺傳算法對(duì)優(yōu)化變量βi值的選取進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)為使得重構(gòu)后的動(dòng)剛度矩陣與原始的動(dòng)剛度矩陣在關(guān)心的頻率范圍內(nèi)其誤差的范數(shù)最小，其中，重構(gòu)的動(dòng)剛度矩陣通過(guò)對(duì)重構(gòu)的頻響函數(shù)求逆獲得。此時(shí)剛度矩陣也不再是一個(gè)常矩陣，但對(duì)黏性阻尼系統(tǒng)和非黏性阻尼系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，剛度矩陣都應(yīng)是常矩陣，所以當(dāng)辨識(shí)得到的阻尼矩陣和剛度矩陣不再是常矩陣時(shí)，說(shuō)明之前假設(shè)的阻尼模型不恰當(dāng)。由此可見(jiàn)，采用式（11）或（13）不僅可以辨識(shí)結(jié)構(gòu)的阻尼，還能夠在一定程度上反映出結(jié)構(gòu)的阻尼機(jī)理：即如果識(shí)別出的頻率修正項(xiàng)比較小甚至接近為零時(shí)，說(shuō)明結(jié)構(gòu)的阻尼為黏性阻尼，否則，結(jié)構(gòu)的阻尼應(yīng)按照非黏性阻尼模型重新辨識(shí)。

1．2非黏性阻尼系統(tǒng)對(duì)非黏性阻尼結(jié)構(gòu)，其阻尼項(xiàng)一般用核函數(shù)的卷積分表示［10］，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為令c（t）＝C0g（t），C0為對(duì)稱(chēng)的正定系數(shù)矩陣，g（t）為核函數(shù)的類(lèi)型。顯然，當(dāng)g（t）＝δ（t），δ（t）為狄拉克函數(shù)（Diracdeltafunction）時(shí)，式（15）退化為黏性阻尼系統(tǒng)。

2數(shù)值仿真算例

2．1算例1如圖1所示的三自由度質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)，假設(shè)阻尼為黏性阻尼。本例中Padé多項(xiàng)式的取修正項(xiàng)數(shù)l＝2，利用Matlab遺傳算法工具箱對(duì)βi的取值進(jìn)行優(yōu)化，選擇概率、交叉概率等參數(shù)的選取采用默認(rèn)值（本文所有算例均采用默認(rèn)值），采用遺傳算法得到的一組優(yōu)化解為［β1β2］＝［－1．4572．296］，相應(yīng)地按照第1．1節(jié)的黏性阻尼系統(tǒng)辨識(shí)過(guò)程進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到系數(shù)矩陣如下。然而，在實(shí)際情況中，往往存在模態(tài)截?cái)嗟膯?wèn)題，此時(shí)，動(dòng)剛度曲線為有限長(zhǎng)度，即動(dòng)剛度曲線沒(méi)有覆蓋全部模態(tài)，如本例中僅利用覆蓋第一階模態(tài)的0～2Hz頻段內(nèi)的動(dòng)剛度曲線進(jìn)行辨識(shí)，采用相同的辨識(shí)過(guò)程進(jìn)行辨識(shí)，則遺傳算法得到的一組優(yōu)化解。

2．2算例2如圖2所示的二自由度質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)，假設(shè)阻尼為黏彈性阻尼。

2．2．1用黏性阻尼模型進(jìn)行辨識(shí)為了說(shuō)明本文方法對(duì)系統(tǒng)阻尼模型的辨識(shí)功能，首先對(duì)算例給出的黏彈性阻尼系統(tǒng)采用黏性阻尼模型進(jìn)行辨識(shí)。同樣，取Padé多項(xiàng)式的修正項(xiàng)數(shù)l＝2。可見(jiàn)，質(zhì)量矩陣得到準(zhǔn)確辨識(shí)，但識(shí)別得到的系統(tǒng)剛度矩陣不是常數(shù)陣，阻尼矩陣為實(shí)數(shù)矩陣，由前文所述可知，選用黏性阻尼模型對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)是不合理的。這里，僅給出在1～100rad／s頻率帶寬范圍內(nèi)，辨識(shí)得到的阻尼矩陣（或剛度矩陣）與原始阻尼矩陣（或剛度矩陣）中的一些元素隨頻率的變化曲線對(duì)比，如圖3和4所示。由圖3和4可見(jiàn)，雖然剛度矩陣中的元素K11和K22的最大相對(duì)誤差分別為1．99％和3．32％，但已表現(xiàn)出隨頻率變化的特性，而且阻尼矩陣的虛部信息明顯缺失，所以用于辨識(shí)的阻尼模型選用黏性阻尼模型是不合理的，應(yīng)按非黏性阻尼模型進(jìn)行辨識(shí)。

2．2．2用非黏性阻尼模型進(jìn)行辨識(shí)當(dāng)辨識(shí)阻尼模型選用非黏性阻尼模型時(shí)，采用前述針對(duì)非黏性阻尼系統(tǒng)的Padé多項(xiàng)式擬合法，對(duì)系統(tǒng)的物理參數(shù)矩陣進(jìn)行辨識(shí)，取修正項(xiàng)數(shù)l＝2。如圖5所示為對(duì)βi的取值優(yōu)化前，取不同βi值得到的辨識(shí)結(jié)果，其中實(shí)線表示的是松弛因子μ取100時(shí)的原始阻尼矩陣中的元素隨頻率的變化曲線。顯然，需要按前一節(jié)所述對(duì)βi的取值進(jìn)行優(yōu)化。可見(jiàn)，松弛因子和系數(shù)矩陣得到了精確地辨識(shí)。在1～100rad／s頻率帶寬范圍內(nèi)，如圖6所示為辨識(shí)得到的阻尼矩陣與原始阻尼矩陣的各個(gè)元素隨頻率的變化曲線對(duì)比（根據(jù)阻尼矩陣對(duì)稱(chēng)性，C21＝C12，C22＝C11）。顯然，阻尼矩陣的辨識(shí)精度也相當(dāng)高。當(dāng)出現(xiàn)模態(tài)截?cái)鄷r(shí)，如本例中僅利用覆蓋第一階模態(tài)的0～20rad／s頻段內(nèi)的動(dòng)剛度曲線進(jìn)行辨識(shí)，采用相同的辨識(shí)過(guò)程進(jìn)行辨識(shí)，則遺傳算法得到的一組優(yōu)化解為［β1β2］［］＝100．006128．503，辨識(shí)得到的系數(shù)矩陣如下。

3結(jié)論

（1）本文利用Padé多項(xiàng)式對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)剛度進(jìn)行擬合，提出了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)的一種新方法，該方法同時(shí)適用于黏性阻尼系統(tǒng)和非黏性阻尼系統(tǒng)。并且，本文方法的辨識(shí)結(jié)果能夠反映一定的阻尼機(jī)理，當(dāng)頻率修正項(xiàng)較小或接近為零時(shí)，用于辨識(shí)的阻尼模型應(yīng)按黏性阻尼模型進(jìn)行辨識(shí)；當(dāng)頻率修正項(xiàng)較大時(shí)，用于辨識(shí)的阻尼模型應(yīng)按非黏性阻尼模型進(jìn)行辨識(shí)。（2）本文以Padé多項(xiàng)式修正項(xiàng)中的參數(shù)為變量，求得辨識(shí)得到的動(dòng)剛度矩陣與原始的動(dòng)剛度矩陣之間的誤差矩陣，以誤差矩陣的范數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)遺傳算法對(duì)修正項(xiàng)中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而提高Padé多項(xiàng)式曲線擬合的精度，辨識(shí)得到的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣具有較高的準(zhǔn)確度。

作者：楊智春 丁允停 王樂(lè) 單位：西北工業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與控制研究所