精細辛有限元方法研究范文

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《力學學報》2016年第二期

摘要

哈密頓系統(tǒng)是一類重要的動力系統(tǒng)，針對哈密頓系統(tǒng)，設計出多類辛方法：SRK、SPRK、辛多步法、生成函數(shù)法等.長久以來數(shù)值方法在求解哈密頓系統(tǒng)過程中辛特性和保能量特性不能得到同時滿足，近年來提出的有限元方法，對于線性系統(tǒng)具有保辛和保能量的優(yōu)良特性.但是，以上方法都存在相位漂移(軌道偏離)現(xiàn)象，長時間仿真，計算效果會大打折扣.提出精細辛有限元方法(HPD-FEM)求解哈密頓系統(tǒng)，該方法繼承時間有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)所具有的保哈密頓系統(tǒng)的辛結(jié)構和哈密頓函數(shù)守恒性的優(yōu)良特性，同時，通過精細化時間步長極大地減小了時間有限元方法的相位誤差.HPD-FEM相較與針對相位誤差專門設計的計算格式FSJS、RKN以及SRPK方法具有更好的糾正效果，幾乎達到機器精度，誤差為O(1013),同時，HPD-FEM克服了FSJS、RKN和SPRK方法不能保證哈密頓函數(shù)守恒的缺點.對于高低混頻系統(tǒng)和剛性系統(tǒng)，常規(guī)算法很難在較大步長下，同時實現(xiàn)對高低頻精確仿真，HPD-FEM通過精細計算時間步長，在大步長情況下，實現(xiàn)高低混頻的精確仿真.HPD-FEM方法在計算過程中精細方法沒有額外增加計算量，計算效率高.數(shù)值結(jié)果顯示本文提出的方法切實有效.

關鍵詞

哈密頓系統(tǒng)，辛算法，相位誤差，精細積分，時間有限元

辛性質(zhì)是哈密頓系統(tǒng)重要的性質(zhì)，有人[1-3]針對哈密頓系統(tǒng)提出了辛積分方法.辛算法的優(yōu)異的穩(wěn)定性和長時間跟蹤能力有著重要的應用前景,許多計算領域,如:分子電子計算、經(jīng)典力學、流體力學等.辛算法解決了在長期計算過程中幅值誤差的積累問題，但相位誤差積累問題仍然存在.還有人[4-6]給出了辛算法誤差分析和修正，文中的方法是一種后驗誤差修正，根據(jù)單步辛算法的誤差進行時間修正，并得到：相位誤差不影響系統(tǒng)的能量而只影響位移和速度等物理量的幅值變化規(guī)律和跟蹤精度的結(jié)論.陳璐等[7]對幾種常見的保結(jié)構方法(AVF、Pade´對角逼近、生成函數(shù)法)的相位誤差及修正給出詳盡的分析，但是文中對缺乏對哈密頓函數(shù)守恒性的討論，文中的算例顯示12階相位誤差的算法能量誤差僅有O(106).近年來，辛方法相位誤差現(xiàn)象越來越引起國內(nèi)外學者關注，RKN方法[8-9]和SPRK方法[10-12]，都是通過泰勒展開研究相位誤差，推導出很多相位誤差較小的計算格式，這些方法需要優(yōu)化求解出合適的參數(shù)使得相位誤差最小,所得參數(shù)也比較復雜.劉曉梅等[13]提出FSJS方法，該方法巧妙的利用向前和向后差分方法引起的相位誤差分別是正方向和負方向的性質(zhì)，提出分數(shù)步計算方案，該方法極大的減小了相位誤差，但是每一步計算過程中都要計算分數(shù)步數(shù)步，從而增加了計算量.

顏娜[14]則對引起辛算法的漂移的原因，以及幾種傳遞矩陣的相位誤差進行了分析.文獻[15]指出時間有限元方法求解ODE在有些情況下和有限差分方法是等價的，論文同時指出C-TFE求解哈密頓系統(tǒng)可以保證哈密頓函數(shù)的守恒.陳傳淼等[16-18]提出有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)，該方法顯示對線性哈密頓系統(tǒng)連續(xù)有限元方法可以保證哈密頓系統(tǒng)的辛結(jié)構以及哈密頓函數(shù)的守恒.有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)有著保能量守恒和保辛結(jié)構的優(yōu)勢，但是對有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)的相位誤差，尚沒有文章進行分析.鐘萬勰[19-20]提出精細積分方法通過積累計算小量的技巧，有效地避免了計算機實現(xiàn)的過程中“大數(shù)吃小數(shù)”現(xiàn)象.曾進等[21]針對哈密頓系統(tǒng)提出精細辛幾何算法，該克服了算法對積分時間步長的依賴性，同時保證哈密頓系統(tǒng)的性質(zhì).徐明毅等[22]則對精細辛幾何算法的誤差進行詳盡分析.本文提出的求解哈密頓系統(tǒng)精細辛有限元方法，這種方法結(jié)合有限元方法和精細方法的特點.不增加計算工作量就能保證哈密頓系統(tǒng)的性質(zhì)(辛結(jié)構和哈密頓函數(shù)守恒)同時極大的減少相位誤差.對高低混頻和剛性系統(tǒng)在大步長下實現(xiàn)對高頻信號的精確仿真.數(shù)值結(jié)果令人滿意.

1哈密頓系統(tǒng)

考慮如下哈密頓正則方程方程(1)對應的哈密頓函數(shù)

2時間有限元的精細辛積分方法

2.1時間有限元方法的保辛和保能量特性利用時間有限元方法求解，線性哈密頓系統(tǒng)(2)正則方程及初始條件可以證明連續(xù)有限元方法是辛方法[15-16].同時，連續(xù)時間有限元方法同時可以保證能量守恒[15-16].

2.2精細辛有限元方法的相位誤差及辛特性時間有限元方法求解(2)，能夠保持系統(tǒng)原有的辛性質(zhì)，因而在長期定量計算中顯示出傳統(tǒng)算法不可比擬的優(yōu)點：守恒性和長期跟蹤能力.但時間有限元方法都不可避免的產(chǎn)生相位誤差.雖然系統(tǒng)守恒性得到保持，但是，長時間的計算相位誤差仍舊不理想.為了進一步提高計算精度，減少相位誤差，可以將精細辛積分方法[21]引入時間有限元的計算格式中.為了表述方便,記,時間一次元、二次元分別為TFE1和TFE2;本文提出的精細化時間有限元分別為HPD-FEM1和HPD-FEM2.

3數(shù)值算例

3.1橢圓型哈密頓系統(tǒng)因為算例的精確解是個周期函數(shù)，單純的比較指定時刻的誤差值，比較片面.表1和表2所列誤差均是指在[0,1000s]內(nèi)所有單元節(jié)點誤差絕對值的最大值.從表1和表2可以看出本文提出的TFE1-HPD,TFE2-HPD和TFE[16]方法一樣可以保持哈密頓系統(tǒng)的能量守恒，但本文的方法具有極高的點態(tài)數(shù)值精度，即，漂移誤差極小.相較FSJS[13],RKN[8-9]和SPRK[12]等設計的糾漂或者相位誤差極小化的方法，本文方法的相位誤差更小，而且本文算法克服了糾漂方法FSJS,RKN以及SPRK方法不能保證哈密頓系統(tǒng)的能量守恒的弱點.

3.2高低混頻哈密頓系統(tǒng)對于高低混頻系統(tǒng)，文獻[23]指出數(shù)值方法的計算步長和系統(tǒng)頻率之間必須滿足CFL條件，即hw≈1.這意味著對于高頻信號的仿真，數(shù)值上必須采用極小的步長.圖1和圖2是高頻信號的計算誤差圖，圖3和圖4是低頻信號誤差圖.從時域誤差圖可以看出HPD-FEM在大步長下同時對高頻和低頻信號的精確仿真，計算誤差均在1012以下.這是現(xiàn)有方法所無法比擬的.圖5是哈密頓函數(shù)的誤差圖，HPD-FEM方法同樣可以在大步長的情況下，實現(xiàn)算法的保能量特性.精細化參數(shù)N,是HPD-FEM方法設計過程中引入的參量.圖6是不同的精細化參數(shù)，時域上計算誤差最大值.從圖6，對于高頻信號p1q1,較小的參數(shù)N，對于計算精度提高不大.可以看出參數(shù)N越大，計算的精度越高，但N>60，N的增加對計算誤差的影響極小.同時較大的參數(shù)也會引入計算機舍入誤差以及較多的計算量.所以，在計算過程中，需要選擇合適的N.根據(jù)計算經(jīng)驗，參數(shù)N和系統(tǒng)的剛性有關，剛性越大，N就越大.表3可以看出HPD-FEM方法可以在大步長下實現(xiàn)對剛性系統(tǒng)的精確仿真.這是其他方法所沒有的特性.

4結(jié)論

精細辛有限元方法繼承了有限元方法在求解哈密頓系統(tǒng)中保辛和保能量的優(yōu)良特性，同時，極大的減少相位漂移誤差，幾乎達到機器精度.對于高低混頻或者剛性系統(tǒng)，HPD-FEM方法可以在較大步長下實現(xiàn)對高低頻信號的精確仿真.數(shù)值結(jié)果令人滿意，具有廣泛的工程實踐價值.

作者：朱帥 周鋼 劉曉梅 翁史烈 單位：上海交通大學機械與動力工程學院 上海交通大學數(shù)學系 上海第二工業(yè)大學理學院