數理統計教學中概念的解析范文

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1事件的獨立性、對立事件及事件的互斥性

事件的獨立性與對立事件是2個不同的概念，事件的獨立性是對2個事件發生的條件而言，而事件的對立性是對2個事件的相互關系而言，并且這2個事件往往是同一試驗條件下的2個事件。如果2個事件A與B滿足P（AB）=P（A）P（B），稱A與B相互獨立。但在實際應用中往往不是按此定義來驗證事件A與B的獨立性，而是從事件的實際意義判斷是否相互獨立。通俗地理解，如果事件A的發生與事件B的發生相互無影響，則稱A與B相互獨立。例如2個工人分別在甲、乙2臺車床上互不干擾地操作，則事件A={甲車床出次品}與事件B={乙車床出次品}是相互獨立的。又如從有限總體中有放回抽取2次，2次抽取的有關事件也是相互獨立的。而任一事件A，必有對立事件A，事件A與事件A有特殊關系：A+A=Ω，AA=覬。因為A發生，A必定不發生，所以A與A不可能是獨立的。而對于兩事件A與B獨立，則一定有A.B；A.B；A.B。這3對事件也獨立。這一性質稱獨立性對逆運算封閉，在解題中經常應用。事件的互斥性是指2個事件A與B不可能同時發生，即事件A與B的積事件是不可能事件，AB=覬，顯然有P（AB）=0。例如某一時刻某人A={朝西走}，B={朝東走}，C={朝南走}，D={朝北走}，則B、C、D都是A的互斥事件。但都不是A的對立事件，A={某一時刻該人朝非西方向走}。故兩互斥事件再加滿足它們之和是必然事件才能夠成對立事件。又例如A={收盤指數在2500點以下}，B={收盤指數在2500點以上}，則A、B是兩互斥事件也是兩對立事件。因此，兩對立事件一定是兩互斥事件；兩互斥事件不一定是對立事件。事件的互斥性與兩事件相互獨立是2個不同概念，二者之間沒有必然聯系，但可以證明以下結論:若P（A）和P（B）都不為0，A與B獨立圯A與B相容（不互斥），或A與B互斥圯A與B不獨立。列舉1例加深對這3個概念關系的理解。

例1.設每名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊落飛機的概率是多少?解：設事件Ai為第i名射手擊落飛機（i=1,2，…，10）,事件B為“擊落飛機”。

2隨機變量、離散型隨機變量及連續型隨機變量

隨機變量的引入，使得對隨機事件的研究轉化為隨機變量的研究，從而可以利用微積分來研究概率問題，處理問題更加方便，并能得出一些深刻的結果。筆者類比普通函數列表（表1）來學習這一概念。

類比函數中這些量的關系結構：x∈A。f：A→B。（fx）為A到B的函數。得出隨機變量的定義：設隨機試驗E的樣本空間為Ω，如果對于每一個x∈Ω，都有唯一的實數X（e）與之對應，則稱X=X（e）為隨機變量。因而隨機變量與函數在本質上是一致的，都是描述2個集合之間的一一對應關系。隨機變量把試驗每個可能的結果和1個實數對應起來，把個事件轉化為實軸上的點，簡單地說就是事件的數量化。列舉實例加以說明。

例如考察新生兒性別試驗，它有出現女孩（G）與出現男孩（B）2種可能結果，為了便于研究,將每個實驗結果用1個實數表示。用數1代表出現（B），用0代表出現（G），建立這種數量化關系，實際上相當于引入1個變量X，對于試驗的2個結果，將X的值分別規定為0和1，這樣變量X隨著試驗的不同結果取不同的值。如果與試驗的樣本空間聯系起來，Ω={e}={B，G}，則對應樣本空間的不同元素，變量X取不同值，因而X可以看成是定義在樣本空間上的函數。因此，隨機變量與普通函數之間有下列區別：①隨機變量的取值是隨試驗結果而定，隨機變量是因變量，是隨機事件的函數。因此它的取值是隨機的，如上例中，“出現B”取值為1，“出現G”取值為0，不能事先確定，但知道它所有可能取值。②隨機變量取值依賴于試驗結果，而試驗結果的出現具有概率，因而隨機變量的取值也具有概率。這是隨機變量與普通函數的根本區別。③普通函數是定義在實數軸上，而隨機變量是定義在樣本空間上，樣本空間的元素不一定是實數。而教材主要研究離散型和連續型這2種隨機變量。現對這2種隨機變量的區別加以說明：①離散型隨機變量是定義在可數的樣本空間上的，Ω={k｜k=0，1，2…}對樣本空間上的每一點都有概率（PkP{X=k}=Pk）；而連續型隨機變量是定義在不可數的樣本空間上，隨機變量X取任一實數的概率都是0（P{X=x}=0），因而不可能事件的概率為0，這個命題成立，其逆命題，概率為0的事件是不可能事件不真。②2種隨機變量的分布函數定義是一致的（均為F（x)=P{X≤x}）；離散型隨機變量分布函數是階梯曲線，它在隨機變量X的可能取值點處發生跳躍，跳躍的高度等于相應點處的概率，而連續型隨機變量分布函數的圖像是連續的曲線。③離散型隨機變量一般用概率分布律來描述變量的分布情況，使用分布律來刻畫其取值規律比用分布函數更方便、直觀。而連續型隨機變量用它的概率密度函數來描述它的分布更為直觀。④存在非離散也非連續型的隨機變量。

例2.設長途電話一次通話的持續時間X（以分鐘計）的分布函數為：該處隨機變量x的分布函數F（x）既非階梯函數也非連續函數，所以x既不是離散型隨機變量也不是連續型隨機變量。

3隨機變量的獨立性與不相關性及事件的獨立性

隨機變量的獨立性是從分布上來說的，而事件的獨立性是從概率意義上來定義。隨機變量X與Y相互獨立圳X與Y的聯合分布函數等于兩邊緣分布函數的乘積。但在實際應用中一般用以下2個結論。結論1：對于離散型隨機變量X與Y相互獨立的充要條件是聯合分布等于兩邊緣分布的乘積。因此，由事件的相互獨立性知Pij=Pi.P.j（i，j=0，1），故ξ，η相互獨立。

4大數定律與中心極限定理

大數定律與中心極限定理是概率統計這門課程中極重要的2個定理，也是很多實際應用的理論基礎。同時這2個定理也是學生們感到難理解的部分。筆者在教學中詳細闡述了定理的內容之后，總結了直觀意義，大數定律主要說明的是n個隨機變量的均值隨著n趨于無窮大的極限為其數學期望，其實在現實生活中人們很多做法有意無意地利用到大數定律。例如人們經常把某個量反復測量后取平均值來作為真實值，而不是只用1次觀察值。中心極限定理則解釋了隨機變量和n趨于無窮大時的分布服從或近似服從正態分布。例如城市1d的用水（電）量是由許多家庭的用水（電）量之和，由中心極限定理知道它們近似服從正態分布。

5結語

概率統計內容中有很多重要概念，只有真正掌握好概念及概念之間的聯系才有可能把概率理論理解好、應用好。對于概念的學習不能僅停留在數學形式的表達上，更要理解其內涵和直觀意義，知道它們產生的背景和源頭，才會明確其應用對象。

作者：劉金容單位：海南大學信息科學技術學院數學系