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投影平面變換求解空間研究范文

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投影平面變換求解空間研究

《圖學(xué)學(xué)報》2016年第二期

摘要:

在畫法幾何中,投影平面變換可以改變空間幾何元素相對于投影面的位置,使新投影更有利于解題。在靜力學(xué)中,力矢量可以用直線段表示,空間任意力系的平衡問題可轉(zhuǎn)化成直線之間的圖示和圖解,文章試圖將投影平面變換的優(yōu)點結(jié)合到空間任意力系的平衡求解中,使問題得到直觀地解決。以CAD為作圖工具并以編程為輔,以保證作圖的精度和速度,為求解空間任意力系提供了一種實用有效的方法。

關(guān)鍵詞:

投影平面變換;CAD;空間力系;力系平衡

有關(guān)圖解靜力學(xué)的研究歷史悠遠(yuǎn),可追溯到阿基米德利用支點思考平衡問題,達(dá)芬奇試圖用圖示方式思考力學(xué)問題,再到荷蘭的西蒙斯蒂芬利用繩索研究力學(xué)關(guān)系。經(jīng)歷數(shù)代人的努力,德國的卡爾•庫爾曼教授于1864年出版了DieGraphischeStatik,為圖解靜力學(xué)奠定了基礎(chǔ)。但前人的工作只局限于將圖解法展示出來,圖解過程中的速度和精度問題還是沒有解決,因此實際應(yīng)用較少。本文將圖解法與解析法相結(jié)合,利用計算機(jī)編程來解決空間任意力系問題,目的是保存圖解的直觀性,克服手工作圖精度差且速度慢的缺點,使圖解成為一種實用方法。本文為圖解靜力學(xué)與計算機(jī)結(jié)合方面的發(fā)展提供了新的方向。

1空間任意力系的圖解

靜力學(xué)的基本物理量有3個:力、力偶和力矩。靜力學(xué)是力學(xué)的一個分支,其主要研究物體在力的作用下處于平衡的規(guī)律,以及如何建立各種力系的平衡條件[1]。力可以用帶有方向的線段表示,用圖解法求解空間力系問題,會遇到直線之間的各種度量與定位的作圖以及求解直線段的實長、投影長、坐標(biāo)差、方向角的圖解關(guān)系[2]。為說明問題,對下述實例分別以圖解法和解析法展開討論。如圖1所示,一段剛性管子ABCD,在轉(zhuǎn)角C處懸掛質(zhì)量為200kg的載荷。管子有點A和點D的球形鉸鏈支承,其分別緊固在地板和垂直墻面上,另管子還用連接管子BC段中點E和墻上一點G的繩索拉著[3]。用圖解的方法求繩索內(nèi)張力最小點G的位置及對應(yīng)的最小張力值(忽略管子質(zhì)量)。(1)根據(jù)圖1所示的尺寸,畫出AB、BC、CD各桿及E點和重量W的投影圖,如圖2所示,畫圖比例為1∶10。(2)將A、D連線作為一條軸線,以便圖解懸掛物重量W、拉力T對此軸線的矩。而A、D兩點的約束力因過此軸而不產(chǎn)生對此軸的矩。(3)二次投影變換將AD軸線變換為投影面的垂直線,鉛垂線W和點E也隨之變換,并在圖中標(biāo)注出重力線W的投影長為w2=146.24,E點的投影e2,AD線積聚性投影a2d2與e2之間的距離200及a2d2到w2(重力線W的投影)的距離178.89,如圖3所示。

2一般位置直線變換成投影面的垂直線數(shù)學(xué)模型的建立

在二次投影變換中,將AD軸線變換為投影面的垂直線,其作圖方法簡化了問題的求解過程,對于含有力對軸的矩靜力學(xué)問題,這一投影變換方法具有一般性。為了用計算機(jī)作為圖解工具,以達(dá)到精確、高速并不失直觀性,建立將一般位置直線投影變換為投影面垂直線的數(shù)學(xué)模型,作為編寫求解含有力對軸的矩靜力學(xué)問題程序的基本方法。

3空間任意力系實例解析計算與圖解法的比較

為了說明圖解法的優(yōu)點,上述問題的解析過程描述如下:圖6為管子的受力圖,包括載荷W=-(1962N)j,以及點A、D的約束力和繩索拉力T。為了在計算中排除點A、D的約束力,對AD求力矩之和。用表示沿AD的單位矢量。由此可見,解析法主要是以矢量為工具的邏輯思維方法,圖解法是以形、數(shù)、計算機(jī)結(jié)合為工具的邏輯思維和形象思維綜合的方法[5],且圖解法是在AutoCAD2014的環(huán)境下作的,其精度取決于計算機(jī)的運算能力以及所使用的程序語言的特點決定[6],AutoCAD2014的精度可達(dá)小數(shù)點后八位,其準(zhǔn)確程度高于解析法[7]。在計算機(jī)編程的幫助下,圖解效率得到了大大提升。在圖解中跟蹤作圖進(jìn)行數(shù)學(xué)分析,使得解題過程非常直觀,容易形成對問題的空間理解和思考,只需通過一定的變換即可得出最終的結(jié)果,避免了單純使用解析法所帶來的計算復(fù)雜、容易出錯等問題,因此提倡盡可能地把形、數(shù)、計算機(jī)結(jié)合起來,不但提高了精度,而且使問題的解決更加簡單。

4結(jié)束語

本文建立了一般位置直線變換成投影面的垂直線數(shù)學(xué)模型,運用編程求解空間任意力系問題,展示了力學(xué)問題解決方法的多元化,圖解法與計算機(jī)結(jié)合為特定的問題尋求了更加快捷的方法。圖解靜力學(xué)發(fā)展歷史悠久,但進(jìn)展緩慢,在實用性方面明顯不足。隨著科技的發(fā)展,計算機(jī)與圖形的結(jié)合無疑為圖解靜力學(xué)提供了新的發(fā)展契機(jī),逐漸在各方面都體現(xiàn)出了優(yōu)越性[8],但是要將圖解靜力學(xué)等相關(guān)理論完全運用到工程實際中,還有一定的差距,在今后的研究中,需將整個系統(tǒng)更加系統(tǒng)化,甚至可以開發(fā)相關(guān)軟件,方便業(yè)內(nèi)人士的查閱,以建立完善的圖解體系。

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作者:楊夢紅  林妹妹  王大偉 許佳平 單位:華東理工大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院

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