橢圓近似畫法誤差分析范文

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《圖學(xué)學(xué)報(bào)》2016年第二期

摘要：

四心圓法是用四段圓弧拼接成近似橢圓。由于其對(duì)稱性，取圖形的1/4為研究對(duì)象，利用二分法求解方程組，得出兩段圓弧拼接點(diǎn)坐標(biāo)值；分別用兩段圓弧的極徑和實(shí)際橢圓中相應(yīng)的極徑進(jìn)行長度誤差分析，列出兩段圓弧與橢圓極坐標(biāo)方程，使用牛頓迭代法，求出圓弧與實(shí)際橢圓的極徑長度最大誤差值；計(jì)算出近似橢圓與實(shí)際橢圓面積，求出面積誤差值。在編程軟件中，根據(jù)所得數(shù)學(xué)模型編制計(jì)算器，計(jì)算結(jié)果列表對(duì)比分析，得出四心圓法作近似橢圓的誤差結(jié)論。

關(guān)鍵詞：

橢圓；牛頓迭代法；計(jì)算器；誤差分析

現(xiàn)實(shí)生活中，使用直尺和圓規(guī)手工作圖，不可能畫出精確的橢圓。用若干段圓弧拼接成近似橢圓是一個(gè)自然的想法，橢圓的近似畫法在數(shù)學(xué)(制圖)、天文(軌道分析)、藝術(shù)和建筑(如石拱門)設(shè)計(jì)中曾有廣泛應(yīng)用[1]。使用四心圓法畫近似橢圓是常見的方法，簡化了橢圓的畫法，易于通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，但能否準(zhǔn)確地代替橢圓，在此還需對(duì)四心圓法作橢圓進(jìn)行誤差分析。

1四心圓法作橢圓

橢圓有兩條相互垂直且對(duì)稱的軸，即長軸和短軸，當(dāng)長軸和短軸為已知時(shí)，用四心圓法畫橢圓，其步驟[2]如下：(1)畫出相互垂直且平分的長軸AB與短軸CD；(2)連接AC，并在AC上取CE=OA-OC，如圖1(a)所示；(3)作AE的中垂線，與長、短軸分別交于O2、O3，再作對(duì)稱點(diǎn)O1、O4，如圖1(b)所示；(4)以O(shè)1、O2、O3、O4各點(diǎn)為圓心，O2C、O4D、O3A、O1B為半徑分別畫弧，即得近似橢圓，如圖1(c)所示。

2數(shù)學(xué)模型

王國順和唐立波[3]介紹了圓弧擬合橢圓的誤差分析沒有精確理論解析。利用圖形學(xué)理論，研究極徑誤差大小來分析圓弧與實(shí)際橢圓的近似程度，由于橢圓是對(duì)稱圖形，在研究其近似畫法極徑長度誤差時(shí)，只研究圖形的1/4即可，取第一象限圖像為研究對(duì)象，并建立坐標(biāo)系，如圖2所示。由上式可知極徑長度誤差e是分段函數(shù)，大圓弧與小圓弧拼接點(diǎn)K是其分段點(diǎn)，所以需求解出K點(diǎn)坐標(biāo)值，進(jìn)而求得極角值，對(duì)兩段函數(shù)分別進(jìn)行討論計(jì)算，進(jìn)而才能求得e的最大值。欲求點(diǎn)K坐標(biāo)值，需確定圓O1與圓O2的位置關(guān)系。圓與圓位置關(guān)系有5種，即相離、相切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含，判斷兩圓的位置關(guān)系的步驟及其判斷方法：①計(jì)算兩圓的半徑R，r；②計(jì)算兩圓的圓心距O1O2，即d；③根據(jù)d與R，r之間的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系。

3計(jì)算器

編程是為了借助計(jì)算機(jī)來達(dá)到某一目的或解決某個(gè)問題，而使用某種程序設(shè)計(jì)語言編寫程序代碼，并最終得到結(jié)果。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及，數(shù)值分析的原理與方法在各學(xué)科中的應(yīng)用越來越多，根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的計(jì)算方法，直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。根據(jù)推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，在編程軟件中編寫程序，生成橢圓近似畫法誤差計(jì)算器，如圖3所示。圖3計(jì)算器輸入橢圓長半軸和短半軸長參數(shù)，點(diǎn)擊計(jì)算按鈕，則輸出結(jié)果。以a=25，b=12為例，計(jì)算結(jié)果如圖4所示，通過46次迭代計(jì)算，大圓弧與小圓弧接點(diǎn)的極角=19.883°，當(dāng)極角θ=16.388°時(shí)，橢圓近似畫法與實(shí)際橢圓的極徑長度誤差值最大，最大誤差值為2.586%，實(shí)際橢圓面積S1=942.478，近似橢圓面積S2=948.629，面積誤差為0.653%。多次輸入，可以點(diǎn)擊重置按鈕，文本框清除，可以重新輸入。計(jì)算器的退出，有2種方法選擇：①點(diǎn)擊退出按鈕；②點(diǎn)擊界面的退出按鈕，也可退出。

4結(jié)論

在計(jì)算器中，輸入不同a，b值，經(jīng)計(jì)算輸出結(jié)果，見表1。由表1可得如下結(jié)論：(1)S2>S1，說明近似橢圓比實(shí)際橢圓面積大，近似橢圓比實(shí)際橢圓更飽滿。(2)>θ，說明極徑最大偏差值永遠(yuǎn)發(fā)生在小圓弧段內(nèi)，近似橢圓在大圓弧段內(nèi)和實(shí)際橢圓擬合得較好。(3)橢圓長半軸長a與短半軸長b越接近，即a/b值越接近1，極徑長度誤差越小，近似橢圓與實(shí)際橢圓擬合的越好。

參考文獻(xiàn)

[1]曾振柄,陳良育,李志斌,等.偏差最小的四心圓近似橢圓作圖法[J].圖學(xué)學(xué)報(bào),2013,34(1):9-10.

[2]王幼龍.機(jī)械制圖[M].北京:高等教育出版社,2007:29.

[3]王國順,唐立波.八心圓弧擬合橢圓誤差的理論解析及最優(yōu)解[J].圖學(xué)學(xué)報(bào),2014,35(5):697-703.

[4]張鐵,閆家斌.數(shù)值分析[M].北京:冶金工業(yè)出版社,2005:78-79.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2014:86-88.

[6]李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析[M].北京:清華大學(xué)出版社,2001:276-277.

作者：周亞輝 單位：遼寧軌道交通職業(yè)學(xué)院