換元法在橢圓問題中運(yùn)用范文

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我們?cè)诮鉀Q橢圓問題時(shí)往往因?yàn)檫\(yùn)算量大，而感覺問題變得很難。其實(shí)，在橢圓方程中，令a=b=r，則橢圓方程變?yōu)閳A方程；在橢圓面積公式S=πab中，令a=b=r，則橢圓面積公式變?yōu)閳A的面積公式.以上說明圓可以看作是特殊的橢圓，它們有很多相似的性質(zhì)，從而橢圓的有些問題就可以用圓的知識(shí)來處理.下面分類舉例，予以說明.求橢圓的中點(diǎn)弦方程例1：已知橢圓+=1，定點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）在橢圓內(nèi)，求以P（m，n）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.解：令x′=，y′=，則已知橢圓和定點(diǎn)P（m，n）變?yōu)橄鄳?yīng)的圓x′2+y′2=1和定點(diǎn)P′（，），從而所求問題變?yōu)椋呵髨Ax′2+y′2=1內(nèi)以P′（，）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.∵直線OP′的斜率kOP′==，∴以P′為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為-，弦所在直線的方程為y′-=－（x′-），化簡得b2mx+a2ny-b2m2-a2n2=0.評(píng)析：本題也可用韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”解決，但運(yùn)算較繁瑣，而以上解法通過換元法將橢圓轉(zhuǎn)化為圓，再運(yùn)用圓的性質(zhì)輕松求解，可謂方法獨(dú)特.求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到定直線（或定點(diǎn)）的距離的最值例2：在橢圓+=1上求一點(diǎn)，使它到直線l：3x-2y-16=0的距離最短，并求此距離.解：令x′=，y′=，則已知橢圓和直線l變?yōu)橄鄳?yīng)的圓x′2+y′2=1和直線l′：6x′-2y′-16=0.從而所求問題變?yōu)椋呵髨Ax′2+y′2=1上一點(diǎn)到直線l′：6x′-2y′-16=0的距離最短問題.由平面幾何知識(shí)可知，過圓x′2+y′2=1的圓心O′（0，0）作直線l′的垂線段，交圓于點(diǎn)P′（x′，y′），點(diǎn)P′到垂足的距離最短.因此由直線l′的垂線O′P′：y′=-x′和圓x′2+y′2=1相交，可求得點(diǎn)P′為（，-）.則相應(yīng)橢圓上所求的點(diǎn)P為（，-），所求最短距離為=.評(píng)析：此類問題還可用函數(shù)法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法和參數(shù)法求解，而通過換元法將橢圓和直線（或定點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圓和直線（或定點(diǎn)），運(yùn)用圓的性質(zhì)和平面幾何知識(shí)使問題易于理解，又可避免較為繁瑣的計(jì)算過程.求橢圓方程例3：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，過點(diǎn)M（0，2）作直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N為AB的中點(diǎn)，且KON=，=，求橢圓的方程.解：設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），已知e==，得a2=2b2，橢圓方程變?yōu)?=1，即x2+=2b2.令x′=x，y′=y，則橢圓和定點(diǎn)M（0，2）變?yōu)橄鄳?yīng)的圓x′2+y′2=2b2和定點(diǎn)M′（0，2）.變化前后如上圖所示：設(shè)N為（x0，y0），N′為（x′0，y′0），則kO′N′===kON=.∵N為AB的中點(diǎn)，∴坐標(biāo)線性變換后，N′為A′B′的中點(diǎn)，∴O′N′⊥A′B′，∴kA′B′=-=-2，∴直線A′B′的方程為：y′=-2x′+2，O′到直線A′B′的距離d′=|O′N′|=.又|O′M′|=2，∴在Rt△O′M′N′中，|M′N′|=.∵==，又N′為A′B′的中點(diǎn)，∴|A′N′|=|M′N′|=，∴|O′A′|2=2b2=d′2+|A′N′|2=，得b2=，∴橢圓方程為+=1.評(píng)析：本題通過換元法將橢圓轉(zhuǎn)化為圓，使得題目中的已知條件變?yōu)閳A的條件，從而多增加了“圓心與弦的中點(diǎn)的連線與弦垂直”這個(gè)條件，接著利用圓中的垂徑定理和勾股定理，就使問題變得容易解決.