網格處理對流擴散問題的研究范文

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《湘潭大學自然科學學報》2014年第二期

1多尺度有限元逼近

1.1變分形式與多尺度有限元問題（1）的變分形式：為尋求u∈H1滿足與以上不同，多尺度有限元法［8］的主要思想是：基于原方程的微分算子在粗單元求解局部子問題，得到的多尺度基函數自動將微觀尺度下解的信息帶入宏觀尺度，利用有限元格式在粗網格組裝并求解，用較少的計算機資源在宏觀尺度能獲得很好的數值解．將區間I依據對流擴散的過渡點τ分為光滑與邊界層兩部分，令Kh是粗網格剖分，則在每一個粗單元K∈Kh定義離散基函數．采用多尺度有限元法，對應的變分形式是尋求uh∈Uh滿足

1.2多尺度基函數的子問題在粗網格單元K求解多尺度基函數子問題尺度空間Uh＝spanφi，｛K∈K｝h，可以將奇異攝動的邊界層局部性態帶入到多尺度基函數，通過多尺度有限元格式的總剛度矩陣組裝并求解，在宏觀粗網格即可用較少的計算資源獲得高精度結果uh．

2數值實驗

在這一部分為驗證新方法的高效性，分別采用傳統有限元法（FEM）和多尺度有限元法（MsFEM）結合Bakhvalov－Shishkin網格來計算例題，隨著網格剖分數N的增加，比較兩種數值方法在精度、穩定性、收斂階方面的優劣。我們知道，當ε較大時不會出現奇異攝動現象，傳統數值方法能有效處理問題，其計算結果在此不列出．而當ε很小時，解在邊界層出現跳躍現象，我們采用多尺度有限元結合Bakhvalov－Shishkin網格，用少量時間計算多尺度基函數，在較粗網格上就能很好地逼近邊界層．從表1看出取ε＝10－4，FEM最終在非常密的B－S網格NM＝2048算得較高的精度，得到2階收斂的L2范數．為了公平比較，求子問題（5）多尺度基函數取M＝4（即很短時間計算得到基函數，且N•4＝NM進行同級比較），多尺度方法MsFEM即使在較粗B－S網格剖分數N下，如N＝64時達到10－5精度，N＝512時達到10－8的高精度；并且隨著加密剖分展現出高于2階的超收斂L2范數，充分驗證了多尺度有限元解在Bakhvalov－Shishkin網格的精確性和穩定性．從圖1、圖2可以看出，當ε＝10－4很小時真解u在右端x＝1出現急劇跳躍，左邊（a）的FEM在一致網格上即使網格剖分很密也無法解決邊界層現象，與真解相去甚遠；而右邊（b）的MsFEM結合Ba－khvalov－Shishkin網格在很粗的網格上就非常有效地逼近了邊界層，數值模擬效果非常好，這歸功于多尺度基函數在B－S網格上獲得了高效的局部逼近信息．

3結語

研究了多尺度有限元結合特殊的Bakhvalov－Shishkin網格來處理對流擴散邊界層模擬，利用多尺度基函數逼近邊界層的奇異攝動信息，通過比較兩種數值方法的L2范數，證明了多尺度有限元法在Bakhvalov粗網格能獲得不依賴于攝動系數ε大小、二階一致超收斂的高效數值結果，僅用少量的計算資源就體現了新方法的應用優勢．

作者：孫美玲江山唐元生單位：揚州大學數學科學學院南通職業大學教育技術中心