中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范文

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一、什么情況下使用反證法

1.在某一知識系統(tǒng)的初始階段，推理依據(jù)較少例1.證明，如果兩條直線a,b都和第三條直線c平行，那么這兩條直線相互平行。分析：讓學(xué)生知道這樣的問題是不能直接證明的，這就要引入到問題的反面討論問題。否定命題的結(jié)論，即a,b不平行，那么它們必相交.假如相交，設(shè)交點為P，因為a∥c,b∥c，于是，經(jīng)過點P就有兩條直線a,b都平行于c。這與平行公理矛盾，產(chǎn)生矛盾的原因是由于假設(shè)“a與b相交于P”造成的。所以，a與b不相交，則只能平行，問題得證。

2.一般不易直接證明的概念例2.一個三角中至少有一個內(nèi)角大于等于60º。證明：假設(shè)沒有一個內(nèi)角大于等于60º，即每個內(nèi)角小于60º，則此三角形內(nèi)角和小于180º。這與定理“三角形內(nèi)角和是180º”矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立。抽屜原則（重迭原則）的許多題目涉及到“至少”型問題。因此，抽屜原則的此類問題可用反證法。各種類型在常秉哲的《抽屜原則及其他》一書中有詳細說明。

3.命題結(jié)論涉及到（不）等量關(guān)系包括代數(shù)中的不等式，幾何中的邊角關(guān)系，以及三角恒等式和不等式。例4.凸四邊形ABCD中，AB+BD≤AC+CD，求證：AB<AC。分析：只須證明AB≥AC不成立，在三角形中邊角相互對應(yīng)，根據(jù)大角對大邊法則易推出矛盾。

4.涉及計算而又不易計算分析：常規(guī)方法是把左邊立方化簡整理，但結(jié)果是項數(shù)越來越多，越來越麻煩。因此，要考慮反證。假設(shè)原式m≠1，則分為兩種情況（1）m<1，(2)m>1，化簡整理得出矛盾。 

5.三角函數(shù)的周期性例6.試證：y=sinx的最小正周期是π。分析：根據(jù)函數(shù)周期的定義，只需證明sinx=sin(x+k)，且k最小正周期為π。

6.函數(shù)的單調(diào)性例7.證明單調(diào)遞增函數(shù)y=x3的反函數(shù)y=3x也是反函數(shù)。分析：根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，要證明y=3x是單調(diào)增函數(shù)，只要證明對定義域內(nèi)自變量x，任意兩個不同值x1，x2，當(dāng)x1>x2時，有31x>23x即可。

二、運用反證法解題需注意的問題

上術(shù)例題表明，在用反證法解題時，必須注意以下幾點：第一，必須周密考察原題結(jié)論，如果與原題結(jié)論相矛盾的方面有多種情形，必須一一給予否定，切不能有所遺漏。第二，推理過程必須完全正確。第三，在推理過程中，一定要使用已知條件。

三、導(dǎo)出的矛盾類型

反證法是通過命題實現(xiàn)矛盾轉(zhuǎn)化，并揭露矛盾，使之顯化和形式化而解決問題。歸繆是反證法的關(guān)鍵。并非所有反證法，都必須導(dǎo)出以上某一種類型的矛盾，還可以利用反例。如《幾何原本》中歐幾里德關(guān)于質(zhì)數(shù)序列無限的證明，便是運用反例。反證法不僅可以改變研究問題的角度和方向，也能使論證目標更為簡單和明確。以上只是部分題型，還需進一步研究，但只要符合應(yīng)用總則的，一般都可以用反證法。

作者：丁寶波單位：山東無棣縣職業(yè)中專