剪切效應(yīng)時雙模量梁的自由振動范文

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《振動與沖擊雜志》2015年第二十四期

摘要:

研究了考慮剪切效應(yīng)時雙模量梁自由振動問題。利用雙模量材料純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體，推導(dǎo)出雙模量材料剪切彈性模量表達(dá)式。在考慮剪切效應(yīng)的基礎(chǔ)上，建立雙模量梁振動的微分方程，推導(dǎo)出了雙模量梁振動問題的振型表達(dá)式，并討論分析了剪切效應(yīng)對雙模量梁自由振動固有頻率的影響。算例分析表明，對于某些雙模量梁自由振動問題，剪切效應(yīng)的影響是不能忽略的。得到了雙模量梁自由振動時，奇數(shù)波型與波型振型是不連續(xù)的存在間斷點(diǎn)的結(jié)論。

關(guān)鍵詞:

剪切效應(yīng);雙模量;梁;自由振動;頻率

在土木、機(jī)械等實(shí)際工程中，振動問題是較為常見的力學(xué)現(xiàn)象。在結(jié)構(gòu)的振動過程中，結(jié)構(gòu)的形狀、承載力會在極短的時間內(nèi)發(fā)生急劇的變化，對結(jié)構(gòu)的工作性能和使用壽命會產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。因此，工程設(shè)計(jì)人員對結(jié)構(gòu)的振動問題一直極為關(guān)注。大量的試驗(yàn)和研究表明，材料在絕對值相同的拉應(yīng)力或壓應(yīng)力作用下，會發(fā)生絕對值不同的拉應(yīng)變或壓應(yīng)變，即材料具有明顯的拉壓彈性模量不同的雙模量性質(zhì)。事實(shí)上，許多工程材料都在不同程度上表現(xiàn)出雙模量特性，如混凝土、復(fù)合材料等材料。工程設(shè)計(jì)中對材料的雙模量特性一般不予區(qū)分，現(xiàn)仍沿用經(jīng)典彈性理論分析計(jì)算雙模量結(jié)構(gòu)，在某些情況下會因本構(gòu)關(guān)系不符合造成較大誤差，有可能成為工程結(jié)構(gòu)失效的隱患。所以，在梁、彈性平面等問題的結(jié)構(gòu)中，已經(jīng)開始考慮材料的雙模量特性。文獻(xiàn)［1－2］采用有限元法分析了雙模量材料板的變形，文獻(xiàn)［3－5］研究了雙模量材料的本構(gòu)關(guān)系及簡單的彈性平面問題，文獻(xiàn)［6－7］研究了雙模量材料的簡單桁架問題，文獻(xiàn)［8］研究了雙模量圓板中心在沖擊載荷作用下的彈性計(jì)算，文獻(xiàn)［9－13］研究了雙彈性模量材料板的彎曲問題，文獻(xiàn)［14］研究了不同模量彎壓柱的解析解并證明了軸向力對雙模量梁中性軸位置有影響，文獻(xiàn)［15］研究了拉壓不同模量橫力彎曲梁的解析解，文獻(xiàn)［16］研究了不同模量彎曲梁的自由振動。本文利用雙模量材料純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體，推導(dǎo)出了雙模量材料剪切彈性模量表達(dá)式，在考慮剪切效應(yīng)的基礎(chǔ)上，研究了雙模量梁自由振動問題。

1雙模量材料剪切彈性模量

在實(shí)際工程中，由于結(jié)構(gòu)受力多以平面應(yīng)力狀態(tài)居多，所以本文僅以雙模量材料結(jié)構(gòu)的平面應(yīng)力狀態(tài)為例，討論其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。當(dāng)雙模量材料結(jié)構(gòu)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，其受力單元體如圖1所示。對于圖1所示雙模量材料平面應(yīng)力狀態(tài)單元體，可知其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系分別。

2確定中性軸位置

因?yàn)殡p模量連續(xù)梁在外載荷作用下會形成拉壓彈性模量不同的拉伸區(qū)和壓縮區(qū)，所以研究雙模量梁的變形還需要確定其在外載荷作用下的中性層位置。由彈性理論可知雙模量梁彎曲時其拉壓區(qū)應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系。文獻(xiàn)［14］已經(jīng)證明了軸向壓力對雙模量梁中性軸的位置有較大影響。以上推導(dǎo)的雙模量梁中性軸位置公式與文獻(xiàn)［15］的結(jié)果一致，由此可知作用在雙模量梁上的橫向載荷，對任意邊界條件下的雙模量梁中性軸位置無影響。

3振動微分方程

假設(shè)雙模量梁坐標(biāo)方向如圖3所示。橫坐標(biāo)軸與梁振動時的每個周期的前半波梁段，在初始狀態(tài)即未振時的中性軸重合。由材料力學(xué)理論可知雙模量梁的彎矩及剪力表達(dá)式分別。對于簡支雙模量梁固有振動，由于每個周期的前半波梁段的中性軸與x軸方向重合，所以振型函數(shù)為式(19)。而每個周期的前半波梁段中性軸的波型與后半波梁段的波型相反，由此導(dǎo)致每個周期的前半波梁段的拉伸區(qū)、壓縮區(qū)與后半波梁段的拉伸區(qū)、壓縮區(qū)也相反，前半波梁段中性軸與后半波梁段中性軸之間的距離相差(h1－h(huán)2)，所以后半波梁段中性軸的波型函數(shù)為。所以，簡支雙模量梁自由振動時，n為奇數(shù)時的梁段中性軸的波型表達(dá)式為式(19)，n為偶數(shù)時的梁段中性軸的波型表達(dá)式為式(21)。對于邊界條件為其它支承雙模量梁的自由振動，利用其邊界條件及式(17)，采用上述方法同樣可以確定雙模量梁自由振動的振型函數(shù)及固有頻率。

4算例分析

為了進(jìn)一步討論剪切效應(yīng)對的影響，現(xiàn)以簡支雙模量梁為例來討論分析剪切效應(yīng)對雙模量梁自由振動的影響。下面把不考慮剪切效應(yīng)對雙模量梁自由振動影響時的頻率，與考慮剪切效應(yīng)對雙模量梁自由振動影響時的頻率均列在表1中。對表1進(jìn)行分析可以看出:雙模量梁固有振動頻率與單模量梁固有振動頻率的誤差均在12%或16%以上，超過了工程允許的誤差，這說明拉壓彈性模量相差較大時，雙模量梁固有振動不宜采用單彈性模量經(jīng)典彈性理論，而應(yīng)采用雙彈性模量彈性理論，否則會引起較大的誤差。不考慮剪切效應(yīng)對雙模量梁固有振動影響時的頻率與考慮剪切效應(yīng)對雙模量梁固有振動影響時的頻率，當(dāng)簡支雙模量梁固有振型為1、2階數(shù)時，兩者誤差分別為1．0%、3．0%，均在工程允許誤差的范圍內(nèi);當(dāng)簡支雙模量梁固有振型為3階數(shù)以上時，兩者誤差分別為6．0%超過了工程允許的誤差。并且隨著簡支雙模量梁固有振型階數(shù)升高，兩者誤差越來越大，當(dāng)簡支雙模量梁固有振型為10階數(shù)時兩者誤差達(dá)47%。這說明剪切效應(yīng)對雙模量梁固有振動低階振型時的頻率影響不大，對高階振型時的頻率是隨著振型階數(shù)升高影響越來越大。所以，對雙模量梁固有振動高階振型時的頻率計(jì)算，必須要考慮剪切效應(yīng)的影響

5結(jié)論

(1)拉壓彈性模量相差較大時，雙模量梁固有振動不宜采用單彈性模量經(jīng)典彈性理論，而應(yīng)采用雙彈性模量彈性理論，否則會引起較大的誤差。(2)剪切效應(yīng)對雙模量梁固有振動低階振型時的頻率影響不大，對高階振型時的頻率是隨著振型階數(shù)升高影響越來越大。雙模量梁固有振動高階振型時的頻率計(jì)算，必須要考慮剪切效應(yīng)的影響。(3)雙模量梁自由振動時，奇數(shù)波型與波型振型是不連續(xù)的存在間斷點(diǎn)。

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作者：吳曉 黃志剛 楊立軍 單位：湖南文理學(xué)院