不等式約束的非線性共軛梯度法研究范文
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《石油物探雜志》2016年第3期
摘要：
井中激電三維反演存在多解性且計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，制約了其由理論走向?qū)嶋H應(yīng)用。針對(duì)這一問(wèn)題，采用非線性共軛梯度（NLCG）反演方法，在反演目標(biāo)函數(shù)中直接施加約束條件壓制其解的非唯一性，也就是將介質(zhì)電阻率取值范圍作為先驗(yàn)信息和約束條件以懲罰函數(shù)法的方式引入到反演目標(biāo)函數(shù)中。與常規(guī)三維電阻率反演目標(biāo)函數(shù)相比，增加了不等式約束項(xiàng)的目標(biāo)函數(shù)理論上可以壓制反演的多解性。理論模型的反演結(jié)果表明，基于不等式約束的井中激電三維反演方法有效地改善了反演結(jié)果的精度，以懲罰函數(shù)法施加不等式約束條件的方式現(xiàn)實(shí)可行。
關(guān)鍵詞：
井中激電；反演；非線性共軛梯度法；不等式約束；懲罰函數(shù)法
由SEIGEL［1］理論可知，時(shí)間域激發(fā)極化的正反演理論建立在電阻率法正反演基礎(chǔ)上，直流電阻率法正反演的發(fā)展與激發(fā)極化法正反演的發(fā)展有著緊密聯(lián)系，因此直流電阻率法的反演方法可以方便地應(yīng)用到激發(fā)極化數(shù)據(jù)反演中。早期的直流電阻率法反演由于計(jì)算速度及內(nèi)存的限制，大多數(shù)反演為一維、二維的最小二乘反演［2－4］；隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展及數(shù)值技術(shù)的進(jìn)步，越來(lái)越多的研究針對(duì)三維反演［5－10］。反演中網(wǎng)格化的方式、偏導(dǎo)數(shù)矩陣的處理方法、反演方法技術(shù)的選擇是反演問(wèn)題關(guān)鍵，直接決定著反演的效率和精度。SASAKI［11］利用互換定理計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣對(duì)復(fù)雜地電模型進(jìn)行了反演，但是計(jì)算時(shí)間依然較長(zhǎng)；共軛梯度法能夠避免矩陣的直接求解，只需求解矩陣的向量積，大大節(jié)省了對(duì)計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存的需求，基于這個(gè)優(yōu)勢(shì)，ZHANG等［12］使用線性共軛梯度法完成了直流電阻率法三維模型的反演，成為了直流電阻率法三維反演的主要方法；在國(guó)內(nèi)，三維電阻率反演研究也取得了較多的研究成果［13－20］。但反演的計(jì)算速度、非唯一性以及穩(wěn)定性仍然是三維反演的主要難題。SASAKI［11］提出的最小構(gòu)造約束使相鄰網(wǎng)格之間電阻率差異極小，已經(jīng)成為電阻率反演中常用的約束形式；黃俊革等［18］將體積因子作為光滑約束，使得三維電阻率反演的精度和深部網(wǎng)格的分辨率得到顯著提高；宛新林等［21］對(duì)粗糙度矩陣進(jìn)行改進(jìn)，使之適用于各種情況下光滑度矩陣的求取，將二階等間距光滑因子進(jìn)行加權(quán)處理，改變光滑因子值大小以控制模型的擬合程度，并用最小二乘正交分解法求解反演方程，改善了三維反演的效果；劉斌等［22］引入自適應(yīng)加權(quán)光滑約束控制深部分辨率，改善了深部網(wǎng)格的反演效果，隨后，討論了不等式約束條件和先驗(yàn)結(jié)構(gòu)約束條件的加入方式［23－24］，有效地去除了反演成像中的假異常和多余構(gòu)造。非線性問(wèn)題的線性化［25］往往會(huì)造成反問(wèn)題的不適定性，因此迭代擬合法正逐漸發(fā)展為非線性反演方法，其中非線性共軛梯度法（NLCG）不僅減小了方法的不適定性，而且由于其將偏導(dǎo)數(shù)矩陣的計(jì)算融入梯度計(jì)算，因而提高了計(jì)算效率。RODI等［26］和NEWMAN等［27］利用非線性共軛梯度法分別解決了大地電磁二維和三維反演問(wèn)題；胡祖志等［28］使用非線性共軛梯度法實(shí)現(xiàn)了大地電磁擬三維反演，計(jì)算過(guò)程中采用一維靈敏度矩陣來(lái)代替三維靈敏度矩陣，提高了反演速度；翁愛(ài)華等［29］和林昌洪等［30］分別使用非線性共軛梯度法解決了可控源頻率測(cè)深的三維反演問(wèn)題；劉云鶴等［31－32］使用非線性共軛梯度法研究了三維頻率域航空電磁法反演；董浩等［33－34］利用非線性共軛梯度法對(duì)帶地形的三維大地電磁數(shù)據(jù)反演進(jìn)行了研究。我們結(jié)合非線性共軛梯度反演方法以及ZHANG等［12］提出的偏導(dǎo)數(shù)矩陣計(jì)算方法，將介質(zhì)電阻率取值范圍作為不等式約束以懲罰函數(shù)法的方式加入到反演目標(biāo)函數(shù)中進(jìn)行井中激電三維反演。利用理論模型驗(yàn)證了基于不等式約束的三維電阻率反演方法的可行性與有效性。
1.基于不等式約束的三維電阻率反演方法
井中激電反演包括電阻率反演和極化率反演兩個(gè)階段，極化率反演建立在電阻率反演基礎(chǔ)之上，因此激發(fā)極化反演首先需要對(duì)電阻率進(jìn)行反演計(jì)算，完成電阻率反演后再進(jìn)行極化率反演。
1．1目標(biāo)函數(shù)依據(jù)正則化理論，最小二乘意義下的電阻率反演的目標(biāo)函數(shù)為：Φ（m）＝Φd（m）＋λΦm（m）＝‖Wd［dobs－F（m）］‖22＋λ‖Wmm‖22（1）式中：F（m）為正演響應(yīng)函數(shù)；m（mi，i＝1，2，…，m）為模型參數(shù)；dobs（dj，j＝1，2，…，n）為觀測(cè)數(shù)據(jù)；Wd為N×N階加權(quán)矩陣；Wd＝diag（1／σ1，1／σ2，…，1／σn），σi為第i個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；λ為正則化參數(shù)；Wm為M×M階光滑度矩陣。設(shè)反演的觀測(cè)參數(shù)為單極－單極電位φobs，三維反演參數(shù)為各網(wǎng)格單元的電導(dǎo)率值σ，由于這兩個(gè)參數(shù)變化范圍很大，為了反演的穩(wěn)定性，通常采用對(duì)數(shù)來(lái)標(biāo)定反演數(shù)據(jù)及模型參數(shù)，即d＝lnφobs，m＝lnσ。
1．2不等式約束三維電阻率反演中的解通常存在不適定性問(wèn)題，例如在源點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn)，或者出現(xiàn)負(fù)值（采用取對(duì)數(shù)的方式消除）以及很大的電阻率異常值，為了降低這種不適定性，往往會(huì)在程序中人為設(shè)定某些參數(shù)的上限值，甚至下限值：ρmini≤mi≤ρmaxi（2）式中：mi為第i個(gè)網(wǎng)格單元的電阻率；ρmini和ρmaxi分別為第i個(gè)網(wǎng)格單元的電阻率下限和上限。這種經(jīng)驗(yàn)性的在程序中加入上、下限約束的過(guò)程和反演計(jì)算本身沒(méi)有任何關(guān)系，這種方式也不適于復(fù)雜的實(shí)際反演情況，所以我們以懲罰函數(shù)的形式將不等式約束引入到目標(biāo)函數(shù)中很好地解決了三維電阻率反演的不適定問(wèn)題。將不等式約束（（2）式）加入到常規(guī)的電阻率反演目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造出帶有不等式約束的反演目標(biāo)函數(shù)（不等式約束施加的方式詳見附錄A）：Z（m）＝Φd（m）＋λΦm（m）＋μP（m）＝［d－F（m）］TC－1d［d－F（m）］＋λmTCTmCmm＋μ［min（m－mmin，0）Tmin（m－mmin，0）＋min（mmax－m，0）Tmin（mmax－m，0）］（3）式中：mmin，mmax為每個(gè)單元網(wǎng)格電阻率的上、下限。公式（3）即為本文帶不等式約束條件的三維電阻率反演的目標(biāo)函數(shù)，與常規(guī)三維電阻率反演目標(biāo)函數(shù)相比，該方法增加了不等式約束項(xiàng)，但表達(dá)式簡(jiǎn)單、容易理解、易于實(shí)現(xiàn)。理論上講，不等式約束對(duì)抑制多解性有重要作用，能有效地改善反演效果。
1．3非線性共軛梯度反演非線性共軛梯度反演需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題有3個(gè)：①目標(biāo)函數(shù)梯度的計(jì)算；②最優(yōu)步長(zhǎng)的計(jì)算；③預(yù)條件因子的選取與計(jì)算。1．3．1梯度的求解從NLCG算法的計(jì)算過(guò)程來(lái)看，需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度，目標(biāo)函數(shù)（（3）式）的梯度表達(dá)式為：g＝－2JTC－1d［d－F（m）］＋2λCTmCmm＋2μ［min（m－mmin，0）－min（mmax－m，0）］（4）從（4）式中可以看出，梯度g的計(jì)算關(guān)鍵在于雅克比矩陣J的計(jì)算，而且只需要計(jì)算雅克比矩陣的轉(zhuǎn)置與任意一維向量的乘積JTy，因此無(wú)需考慮雅克比矩陣的存儲(chǔ)問(wèn)題，并且每次JTy的計(jì)算均可在每次反演計(jì)算中的正演計(jì)算后一起得到，從而大大加快了反演的計(jì)算速度。ZHANG等［12］對(duì)JTy計(jì)算進(jìn)行了詳細(xì)的分析。
1．3．2步長(zhǎng)的確定在極小化目標(biāo)函數(shù)Φ（m（i）＋αu（i））時(shí)，需要確定搜索步長(zhǎng)α，因?yàn)橹话粋€(gè)變量α，所以可以用全局最優(yōu)化的一維線性搜索方法，如精確線性搜索法、黃金分割法、插值法和非精確線性搜索法等求取。而通常精確線性搜索花費(fèi)的時(shí)間較長(zhǎng)，因此一般采用非精確的一維線性搜索。我們采用充分下降條件和二次插值法來(lái)求取反演步長(zhǎng)，具體的搜索方式見參考文獻(xiàn)［31］。非精確線性搜索中的Wofe－Powell準(zhǔn)則為：Φ（mk＋αkpk）≤Φ（mk）＋c1αkΔΦ（mk）TpkΔΦ（mk＋1＋αkpk）Tpk≥c2ΔΦ（mk）Tp烅烄烆k（5）式中：Φ為正演算子；mk為第k次迭代的模型參數(shù)向量；αk為迭代步長(zhǎng)；pk為搜索方向；c1，c2為常數(shù)，滿足0＜c1＜c2＜1；k為迭代次數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，一般取c1＝0．0001，c2＝0．1000。
1．3．3預(yù)條件因子的選擇預(yù)條件因子能夠改善系數(shù)矩陣的特征值分布，減少其條件數(shù)以提高反演的穩(wěn)定性，在NLCG法中，NEWMAN等［27］認(rèn)為近似Hessian矩陣的逆作為預(yù)條件因子使得搜索方向具有與牛頓方向類似的性質(zhì)，因此預(yù)條件因子M－1越近似Hes－sian矩陣的逆，越能加速收斂。預(yù)條件矩陣可以在每步反演迭代中固定或者更新變化，NEW－MAN等［27］認(rèn)為Hessian矩陣不是一個(gè)常數(shù)，因此預(yù)條件矩陣也應(yīng)該時(shí)刻更新變化；而計(jì)算全Hessian矩陣或者近似Hessian矩陣代價(jià)較大，因此只需要計(jì)算它的對(duì)角元素來(lái)作為預(yù)條件因子，NEWMAN等［27］選擇擬牛頓法中的BFGS算法產(chǎn)生預(yù)條件因子，只需要計(jì)算并存儲(chǔ)Hessian矩陣的對(duì)角元素，其對(duì)角元素可以依靠目標(biāo)函數(shù)的梯度和上一次迭代的結(jié)果給出［27，33］。我們選取的預(yù)條件因子為：Mk＋1＝Mk＋gkgTkgTkuk＋ykyTkαkyTkuk（6）式中：gk＝ΔΦ（mk），yk＝ΔΦ（mk＋1）－ΔΦ（mk）。通常第一次迭代時(shí)，M1設(shè)為單位矩陣I。按公式（6）更新預(yù)條件因子能夠確保Mk＋1為正定且NLCG法中的搜索方向是下降方向。
2.井中激電的三維反演
根據(jù)體激發(fā)極化理論，假設(shè)σi（i＝1，2，…，M）與ηi（i＝1，2，…M）分別表示地下介質(zhì)的電導(dǎo)率和極化率，由等效電阻率法可知，激發(fā)極化總場(chǎng)φ（σ＊）由等效電導(dǎo)率σ＊＝（1－η）σ決定，且視極化率可表示為：ηs＝φ（σ＊）－φ（σ）φ（σ＊）（7）由（7）式可推導(dǎo)出視極化率ηs與地下介質(zhì)真極化率ηi之間的近似線性關(guān)系：ηs＝－∑Mi＝1lnφlnσiηi＝－Jη（8）其中，J剛好是電阻率三維反演中偏導(dǎo)數(shù)矩陣的對(duì)數(shù)形式，因此根據(jù)正則化理論，得到最小二乘意義下極化率反演的目標(biāo)函數(shù)為：Φ（m）＝Φd（m）＋λΦm（m）＝‖Wd（ηs＋Jη）‖22＋λ‖Wmη‖22（9）對(duì)公式（9）求極小，即令Φη＝0，有：g（η）＝Φη＝2JTWTdWd（ηs＋Jη）＋2λWTmWmη＝0（10）（JTWTdWdJ＋λWTmWm）η＝－JTWTdWdηs（11）可以看出，（11）式滿足Ax＝b的形式，因此（11）式可以直接利用線性共軛梯度法求解。（11）式中各項(xiàng)參數(shù)和電阻率反演中的各項(xiàng)參數(shù)相同。
3.數(shù)值模型反演算例
為了驗(yàn)證方法的可靠性和計(jì)算效率，我們給出了幾個(gè)理論模型來(lái)進(jìn)行反演計(jì)算。三維非線性共軛梯度反演算法具體流程如圖1所示。需要特別說(shuō)明的是，本文在目標(biāo)函數(shù)中施加不等式約束均是在電阻率三維反演中實(shí)現(xiàn)的，極化率的反演直接利用線性共軛梯度法反演完成。流程圖中各參數(shù)含義如下：初始預(yù)處理矩陣H0一般取為單位矩陣；收斂系數(shù)ε1為正則化因子的閾值；收斂系數(shù)ε2為前、后兩次相對(duì)擬合差Rms的絕對(duì)值，即目標(biāo)函數(shù)值的下降量小于某個(gè)閾值時(shí)，說(shuō)明目標(biāo)函數(shù)值不再下降，達(dá)到極小值，因?yàn)槔碚摂?shù)據(jù)也不能使數(shù)據(jù)擬合差降低到0；收斂系數(shù)ε3為目標(biāo)函數(shù)的相對(duì)擬合差閾值；收斂系數(shù)ε4為目標(biāo)函數(shù)的梯度值的閾值，如果目標(biāo)函數(shù)的梯度很小，目標(biāo)函數(shù)值也達(dá)到極小值。相對(duì)擬合差Rms定義如下：Rms＝∑Mj＝1dobsj－d0jdobsj2槡M（12）式中：M是觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；dobsj和d0j分別為合成的觀測(cè)數(shù)據(jù)與正演理論值。值得注意的是，在大多數(shù)情況下用公式（12）的值來(lái)表示三維電阻率反演精度［35］，而屈有恒［36］認(rèn)為其值的大小只對(duì)反演的過(guò)程有意義，不能用來(lái)衡量反演精度，任何一個(gè)給定的初始模型的反演精度的估算都是相對(duì)的，因此對(duì)于給定的初始模型，相對(duì)擬合差只要能下降到初始模型誤差的1／20～1／10即可認(rèn)為達(dá)到了較高的精度。
3．1算例一：2個(gè)低阻立方體模型首先建立三維反演模型，然后利用常規(guī)反演目標(biāo)函數(shù)（公式（1））對(duì)電阻率進(jìn)行非線性共軛梯度反演計(jì)算，再進(jìn)行極化率的反演。模型如圖2所示，在電阻率為ρ0＝100Ω•m，極化率為η0＝0的均勻半空間中存在2個(gè)大小為20m×20m×20m（邊長(zhǎng)a＝20m），電阻率ρ1＝ρ2＝10Ω•m，極化率η1＝η2＝0．1的低阻體，頂面埋深均為h＝5m，底面埋深25m，異常體邊界離x軸與y軸距離相等且距離d＝5m，紅色圓點(diǎn)代表井口所在位置，井口坐標(biāo)為（50m，50m，0）。分別在井中不同深度布設(shè)多個(gè)源：A0（z＝0），A1（z＝－10m），A2（z＝－20m），A3（z＝－30m），A4（z＝－40m），A5（z＝－50m），在這些源處固定A極供電；觀測(cè)電極距2m，在地面51條測(cè)線上逐點(diǎn)移動(dòng)M極，通過(guò)三維有限元正演程序共得到15606個(gè)一次場(chǎng)電位數(shù)據(jù)和視極化率的“實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)”。為了提高反演速度，將整個(gè)區(qū)域分為邊界區(qū)域和目標(biāo)區(qū)域，目標(biāo)區(qū)域選為100m×100m×100m，擴(kuò)展區(qū)域分別向3個(gè)方向延展200m。反演初始模型選取電阻率ρ＝100Ω•m，極化率為η＝0的均勻半空間。反演參數(shù)選擇如下：正則化因子初始值l0＝0．05，減小系數(shù)q＝0．1，給定反演終止收斂系數(shù)ε2＝ε3＝1．0×10－5。圖3為模型的電阻率與極化率反演結(jié)果。圖4為y＝40m和y＝60m處的電阻率反演切片（xoz垂直斷面）。圖5為y＝40m和y＝60m處的極化率反演切片（xoz垂直斷面）。低阻異常體反演的電阻率數(shù)值基本接近真實(shí)值，高阻體差異較大；高阻體的極化率數(shù)值接近真實(shí)值；反演結(jié)果基本圈定了高、低阻異常體的水平中心位置和邊界，反演的高低阻異常體的中心位置都有不同程度的向上偏移現(xiàn)象。為了對(duì)比施加約束條件前后的反演效果，我們應(yīng)用基于不等式約束的反演目標(biāo)函數(shù)（（13）式）對(duì)電阻率進(jìn)行非線性共軛梯度反演計(jì)算。首先，利用有限元法對(duì)模型進(jìn)行正演模擬，井中點(diǎn)電源供電點(diǎn)一共11個(gè)，點(diǎn)源間隔為5m，觀測(cè)電極距2m，在地面51條測(cè)線上逐點(diǎn)移動(dòng)M極，通過(guò)三維有限元正演程序共得到28611個(gè)視電阻率的“實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)”。以點(diǎn)電源深度為縱軸，得到視電阻率斷面圖（圖6），圖6中虛線方框分別為低阻異常體在xoz平面上的投影。由視電阻率斷面圖可以看到觀測(cè)數(shù)據(jù)中的視電阻率基本在120Ω•m以內(nèi)，因此將整個(gè)模型中網(wǎng)格單元的電阻率上限設(shè)為150Ω•m（有一定冗余），下限設(shè)為0。即mmin＝0，mmax＝150Ω•m。為了加快反演計(jì)算速度，提取A0（z＝0），A1（z＝－10m），A2（z＝－20m），A3（z＝－30m），A4（z＝－40m），A5（z＝－50m）6個(gè)供電點(diǎn)處15606個(gè)一次場(chǎng)電位數(shù)據(jù)進(jìn)行反演。計(jì)算區(qū)域與模型大小的設(shè)置、反演參數(shù)與單個(gè)低阻立方體模型一樣，其中懲罰因子μ取為常數(shù)1，反演結(jié)果見圖7至圖9。由未施加不等式約束條件下的反演結(jié)果（圖3至圖5）可看出，圖4電阻率反演切片圖中源點(diǎn)附近出現(xiàn)了較大的電阻率值（大于200Ω•m），導(dǎo)致整個(gè)三維反演成像效果較差，尤其對(duì)2個(gè)低阻異常體的成像精度較低。而在加入不等式約束條件后的反演結(jié)果（圖7至圖9）中，從圖7中可以看出兩個(gè)低阻異常體的成像效果大大提高，在規(guī)模、形狀、電阻率值等特征方面與原模型基本一致。
3．2算例二：?jiǎn)蝹€(gè)低阻立方體模型模型如圖10所示，在極化率η0＝0，電阻率ρ0＝100Ω•m的均勻半空間中存在1個(gè)大小10m×10m×10m（a＝10m），電阻率ρ1＝10Ω•m，極化率η1＝0．1的低阻低極化體，頂面埋深h＝45m，底面埋深55m，立方體兩邊距離x軸與y軸相等，d1＝d2＝5m，紅色圓點(diǎn)代表井口，井口坐標(biāo)為（50m，50m，0）。4個(gè)方位電極點(diǎn)離井口20m；網(wǎng)格剖分單元總數(shù)為289280，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為49797。采用二級(jí)裝置進(jìn)行地－井五方位觀測(cè)，分別在地面井口方位A0（50m，50m，0），主方位A1（30m，50m，0），A2（70m，50m，0），輔助方位A3（50m，30m，0），A4（50m，70m，0）處固定A極供電進(jìn)行五方位觀測(cè)，井中觀測(cè)電極距2m，在井中逐點(diǎn)移動(dòng)M極，通過(guò)三維有限元正演程序共得到255個(gè)一次場(chǎng)電位數(shù)據(jù)和視極化率的“實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)”。最常用的地井激化法工作方式是地井五方位觀測(cè)，由于地井方式單次觀測(cè)獲取的觀測(cè)數(shù)據(jù)量非常少，所以三維反演有很強(qiáng)的多解性，很難實(shí)現(xiàn)精確的成像反演，較常規(guī)的反演方法是通過(guò)正演擬合的方式針對(duì)某些特定的參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化反演；而井地方式中，由于測(cè)點(diǎn)在地面，可以得到更多的觀測(cè)數(shù)據(jù)，獲取更多的地下信息，能夠更好地進(jìn)行三維成像反演。地井方式利用單次觀測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行三維電阻率和極化率的反演結(jié)果多解性較為嚴(yán)重，本文嘗試采取兩種途徑來(lái)減小傳統(tǒng)反演方式帶來(lái)的多解性問(wèn)題：1）將地井五方位觀測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行同時(shí)反演，增加觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；2）增加更多的先驗(yàn)信息約束。整個(gè)區(qū)域分為邊界區(qū)域和目標(biāo)區(qū)域，目標(biāo)區(qū)域選為100m×100m×100m，擴(kuò)展區(qū)域分別向3個(gè)方向延展200m。反演初始模型選取電阻率ρ＝100Ω•m，極化率η＝0的均勻半空間。反演參數(shù)選擇：正則化因子初始值λ0＝0．05，減小系數(shù)q＝0．1，給定反演終止收斂系數(shù)ε2＝ε3＝1．0×10－5。首先進(jìn)行地井五方位觀測(cè)數(shù)據(jù)的同時(shí)反演，不施加約束條件，利用非線性共軛梯度法對(duì)模型進(jìn)行電阻率反演計(jì)算，圖11與圖12為地井五方位觀測(cè)數(shù)據(jù)的同時(shí)反演電阻率結(jié)果。從圖12中可以看出，基本能反映有低阻異常體的存在，異常體的中心位置基本吻合，無(wú)多余構(gòu)造產(chǎn)生，但是異常體的邊界范圍模糊，延伸較遠(yuǎn)；由于異常體埋深較大，在地面供電的情況下，地下電性異常體產(chǎn)生的電位異常幅值很小，因此反演出來(lái)的電阻率值與真實(shí)電阻率值相差較大。結(jié)合五方位觀測(cè)數(shù)據(jù)，將不等式約束引入到反演目標(biāo)函數(shù)中。觀測(cè)數(shù)據(jù)中的視電阻率都在110Ω•m以內(nèi)，因此將整個(gè)模型中網(wǎng)格單元的電阻率上限設(shè)為150Ω•m，下限設(shè)為0；在使用電阻率探測(cè)時(shí)，經(jīng)常會(huì)配合其它地球物理探測(cè)方法（如淺層地震勘探法、地質(zhì)雷達(dá)探測(cè)法），這些方法對(duì)異常體界面識(shí)別和定位具有較好的效果，由此獲得的異常體的位置與形態(tài)的信息是一種極為重要的先驗(yàn)構(gòu)造信息。因此將這種構(gòu)造位置的先驗(yàn)信息作為局部約束加入到三維反演目標(biāo)函數(shù)中。假設(shè)由其它地球物理探測(cè)方法可知異常體的構(gòu)造位置與形態(tài)信息，由探區(qū)礦石標(biāo)本物性參數(shù)可得：55m≤x≤65m，55m≤y≤65m，－55m≤z≤－45m處已知異常體的電阻率值在50Ω•m以內(nèi)。因此將這處網(wǎng)格單元的電阻率上限設(shè)為50Ω•m，下限設(shè)為0。懲罰因子μ取為常數(shù)1。圖13至圖15為施加不等式約束后的電阻率與極化率的反演結(jié)果，從反演結(jié)果可以看出，異常體水平和縱向分辨率較五方位同時(shí)反演明顯提高，在位置、規(guī)模、形狀等特征方面均與原模型基本一致，驗(yàn)證了局部不等式約束能夠得到更為精確的三維反演成像結(jié)果。
4.結(jié)論
1）我們以懲罰函數(shù)法的方式將介質(zhì)電阻率取值范圍的不等式約束施加到三維井中激電反演目標(biāo)函數(shù)中，改善了反演的效果，因此本文提出的以懲罰函數(shù)法施加不等式約束條件的方式是可行的，為約束條件的施加方式提供了一條新的途徑；2）在地井觀測(cè)模式中，我們嘗試采取兩種途徑來(lái)減小傳統(tǒng)反演方法帶來(lái)的多解性問(wèn)題，理論模型反演試算表明，利用構(gòu)造位置的先驗(yàn)信息作為局部約束加入到三維反演目標(biāo)函數(shù)中得到的反演結(jié)果更為精確，反演的多解性顯著降低；3）懲罰因子的取值是本文的難點(diǎn)，本文懲罰因子的取值采用的是實(shí)驗(yàn)法，過(guò)大或者過(guò)小的懲罰因子都會(huì)影響反演的效果，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)不收斂的情況，因此給出一個(gè)合理的懲罰因子非常重要；4）本文的非線性共軛梯度反演算法計(jì)算依然很耗時(shí)，在反演多個(gè)點(diǎn)源多次觀測(cè)數(shù)據(jù)的情況下顯得更為突出，下一步需要研究并行反演算法進(jìn)行計(jì)算，實(shí)現(xiàn)反演算法的快速計(jì)算。
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作者：王智 潘和平 吳愛(ài)平 李剛 方思南 單位：長(zhǎng)江大學(xué)電子信息學(xué)院 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）地球物理與空間信息學(xué)院