跳躍振子平衡及分岔的能量分析范文

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《力學與實踐雜志》2015年第六期

摘要

用能量方法研究了跳躍振子的平衡與分岔.用勢能駐值條件確定了平衡位置所滿足的方程，通過勢能極值判斷平衡的穩定性.在不同的彈簧構型下，數值計算了平衡隨系統彈性剛度和質量比變化的分岔圖.結果表明，彈性剛度和質量比較小時，系統只有一個穩定平衡點和一個不穩定平衡點；剛度和質量比充分大時，系統分岔出一個新的穩定平衡點和一個新的不穩定平衡點.

關鍵詞

能量采集器，跳躍振子，平衡，分岔，穩定性分析

Thompson等[1]最早提出跳躍(snap-through)振子作為屈曲的模型.跳躍振子由2條斜向線性彈簧，1個阻尼器及1個質量塊組成，如圖1所示.跳躍振子有多種應用.Brennan等[2]用跳躍振子建模昆蟲飛行機理，與線性系統比較后確定了動能的峰值.Cao等[3]研究跳躍振子斜置彈簧水平的極限情形，成為典型的光滑但不連續的系統.特別是近年對非線性能量采集器的廣泛研究中，跳躍振子作為一種非線性實現方式而受到人們重視[4].McInnes等[5]采用隨機共振來增強含跳躍振子的動能采集器，仿真表明在隨機激勵下所采集能量有顯著增加.

Ramlan等[6]提出了非線性雙穩態跳躍振子，研究表明當激勵頻率遠小于自然頻率時，這種裝置將獲得更多的能量.Li等[7]基于跳躍振子設計一種電磁式能量采集器，并用數值方法研究了在簡諧激勵下的周期和混沌運動.Jiang等[8]提出了基于跳躍振子的非線性壓電能量采集器，并用解析和數值方法分析了從隨機振動中采集的電功率隨相關系統參數的變化.

盡管跳躍振子已經有大量研究，但在以往的工作中往往都忽略了質量塊自身重力的影響，從而認為系統有2個穩定平衡位置，它們關于2個彈簧在框架上連接點的連線對稱.本文從能量角度分析，確定了平衡位置，并判斷了穩定性.進而通過數值算例考察了系統的靜態分岔.

1平衡點及其穩定性的能量分析

在圖1所示系統中，因為阻尼器不影響平衡位置，可以在確定平衡位置時忽略，從而將系統作為保守系統.設振子的關于2個彈簧在框架上連接點的連線位移為x，質量塊質量為m，彈簧的剛度為k，彈簧無變形時斜線的長度為L，框架中心與邊緣的距離為l.質量塊m受剛性桿約束做直線運動.系統的勢能為重力勢能和彈性勢能之和.重力勢能的零勢面取為2個彈簧在框架上連接點的連線所在水平面，彈性勢能原點為彈簧原長.

2靜態分岔的數值算例

在以下計算中，裝置邊緣與中心的距離取為l=0.04m，重力加速度g=9.8m/s2.在本文的計算中，對于不同的無量綱參數度趨近于1的4種情形.圖中實線表示穩定平衡點，虛線表示不穩定平衡點.從上述計算結果可知，系統在2個彈簧在框架上連接點的連線下方有1個穩定平衡和1個不穩定平衡，這對平衡點對任意參數都存在，其中穩定平衡的位置隨著ω20的增加迅速趨于連接點的連線，且λ的增加加快這種趨近.對于充分大的ω20，在2個彈簧在框架上連接點的連線下方也有1個穩定平衡和1個不穩定平衡，λ的增加使得出現這對平衡點需要ω20的值增大，而新出現的穩定平衡更靠近連接點的連線.存在2個穩定平衡位形時，這2個平衡點也并非關于連接點的連線對稱.

3結論

本文用能量方法研究了跳躍振子的平衡及其穩定性，并考察了靜態分岔.由平衡條件導出了平衡點所滿足的方程.應用拉格朗日定理及其逆定理判斷平衡的穩定性，并數值分析了平衡點及其穩定性隨參數的變化，得到分岔圖.研究表明：(1)系統在彈簧連接點連線的下方存在1個穩定平衡和1個不穩定平衡.(2)隨著系統彈性剛度和質量比值的增加，在連接點連線上方出現新的穩定平衡和不穩定平衡，新的穩定平衡隨著該比值的增加遠離連接點連線，而下方的穩定平衡點隨著該比值增加迅速趨近連接點連線.(3)彈簧在連接點連線時的長度與彈簧原長時的比值對分岔圖有定量的影響.隨著該比值的增加，下方的穩定平衡點更快地趨于連接點連線，而出現上方的新穩定和不穩定平衡所需要的彈性剛度和質量比增大，新的平衡位置更靠近連接點連線.

作者：勵軻 陳立群 單位：上海大學上海市應用數學和力學研究所 上海大學力學系 上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室