淺析非線性電容LC電路位移參數(shù)攝動(dòng)法范文
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摘要:為了將位移小參數(shù)攝動(dòng)法拓展到電路領(lǐng)域，用于非線性LC電路方程的求解，為非線性LC電路的研究提供一種分析方法，從系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)出發(fā)，將變分式進(jìn)行有限元離散得到時(shí)段剛度陣，對(duì)電路的特征方程進(jìn)行一次攝動(dòng)，用一次攝動(dòng)后的近似剛度陣代替原時(shí)段剛度陣，利用剛度陣與辛傳遞矩陣的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換成辛傳遞矩陣求解的問題，從而求出非線性電容lc電路中電容的電荷及電感的磁通鏈隨時(shí)間變化的關(guān)系圖．將算例與四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文方法的正確性．將本文方法與傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)進(jìn)行比較，結(jié)果表明:本文方法具有一定的精度、效率及穩(wěn)定性．
關(guān)鍵詞:位移法;攝動(dòng);非線性;LC電路;保辛;剛度陣
非線性LC電路是現(xiàn)代電子系統(tǒng)中重要的一部分，廣泛應(yīng)用于通信、電子、測(cè)量等領(lǐng)域，分析研究非線性LC電路具有重要的理論意義及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．物理問題中存在大量保守體系［1-6］，它們可用Hamilton體系描述，其特點(diǎn)就是保辛［1-9］．保辛可保持保守體系的結(jié)構(gòu)特性，在求解過程中應(yīng)該注意保辛．對(duì)非線性保守系統(tǒng)常用的攝動(dòng)法，其過程也應(yīng)考慮保辛［10-17］．位移法小參數(shù)攝動(dòng)是在位移法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種保辛近似算法，應(yīng)用于力學(xué)領(lǐng)域的位移法是以位移為基本未知量，利用節(jié)點(diǎn)處的力平衡條件建立方程［18-20］．位移法小參數(shù)攝動(dòng)，是在位移法的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，用一次攝動(dòng)后的近似剛度陣代替原矩陣，然后轉(zhuǎn)換為辛傳遞矩陣對(duì)問題進(jìn)行求解．該算法是保辛的，能夠保證保守體系的特性，已成功應(yīng)用到了力學(xué)領(lǐng)域［21］．本文把電荷量類比于力學(xué)中的位移，將位移法攝動(dòng)應(yīng)用到非線性電容LC振蕩電路的求解．從由電感、電容所組成系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)出發(fā)，將變分式進(jìn)行有限元離散，插值函數(shù)采用簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，求得時(shí)段剛度陣．然后對(duì)電路的特征方程進(jìn)行一次攝動(dòng)，用一次攝動(dòng)后的近似剛度陣代替原時(shí)段剛度陣．再根據(jù)剛度陣與辛傳遞矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換為辛傳遞矩陣求解，引入狀態(tài)向量，進(jìn)而求解出非線性LC電路中電容的電荷及電感的磁通鏈隨時(shí)間變化的關(guān)系圖．通過與四階龍格庫(kù)塔法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文方法的有效性與正確性．將本文方法與傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)進(jìn)行比較，結(jié)果表明:本文方法在精度、效率及穩(wěn)定性方面均優(yōu)于傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)．
1基本原理
圖1為一個(gè)由線性電感L和非線性電容C組成的非線性串聯(lián)LC電路．電感的自感系數(shù)為l，電容器極板上的電荷量為q，電感兩端的電壓為uL=q••l，非線性電容的庫(kù)伏特性為對(duì)變分式(3)進(jìn)行有限元離散，即將整個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度劃分成為m個(gè)區(qū)段的組合，兩端及連接面編號(hào)分別為0，1，…，m，插值函數(shù)采用簡(jiǎn)單的線性函數(shù)．得到時(shí)段剛度陣為位移法攝動(dòng)就是在此基礎(chǔ)上對(duì)剛度陣進(jìn)行一次攝動(dòng)．離散系統(tǒng)中，子結(jié)構(gòu)k的左右兩端分別記為k－1、k，相應(yīng)的出口電荷為qk－1、qk，出口剛度陣為通過辛傳遞矩陣可將區(qū)段兩端的狀態(tài)向量進(jìn)行傳遞，下面引入系統(tǒng)的狀態(tài)向量．根據(jù)式(2)，引入磁通鏈顯然，在哈密頓的表述中，電荷q與磁通鏈互為對(duì)偶變量．于是將電荷與磁通鏈構(gòu)成狀態(tài)向量 根據(jù)傳遞關(guān)系
2數(shù)值算例及討論分析
2.1驗(yàn)證本文方法的正確性為驗(yàn)證本文方法的有效性，將本文方法與四階龍格庫(kù)塔法取精細(xì)步長(zhǎng)求得的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較．這里以x=1為例，取l=1H，c=0.1F，ε=0.1，q(0)=1C，(0)=0Wb，步長(zhǎng)dt=10－2s．圖2所示是位移法攝動(dòng)(步長(zhǎng)取dt=10－2s)與四階龍格庫(kù)塔法(步長(zhǎng)取dt=10－4s)得到的電荷以及磁通鏈隨時(shí)間變化的結(jié)果曲線，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文方法與四階龍格庫(kù)塔法數(shù)值結(jié)果吻合得很好，驗(yàn)證了本文方法的有效性和正確性．
2.2位移法攝動(dòng)與傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)的比較位移法攝動(dòng)在求解過程中能夠保證單元?jiǎng)偠汝嚨膶?duì)稱性，故是保辛的．傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)也是一種常用的小參數(shù)攝動(dòng)法，其基本求解思路是將原時(shí)段剛度陣直接轉(zhuǎn)換為辛傳遞矩陣，然后對(duì)辛傳遞矩陣Sk進(jìn)行一次加法攝動(dòng)．與位移法攝動(dòng)不同的是，傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)不保辛．這里對(duì)保辛的位移法攝動(dòng)與不保辛的傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)進(jìn)行比較，仍取l=1H，c=0.1F，ε=0.4，q(0)=1C，(0)=0Wb．首先利用L2誤差對(duì)比2種方法的精確度，其中L2誤差(L2，error)的定義［23］為式中:xref為參考解;T為計(jì)算時(shí)間的總長(zhǎng)度．這里計(jì)算時(shí)間的總長(zhǎng)度T取10s，以四階龍格庫(kù)塔法取精細(xì)步長(zhǎng)dt=10－5s得到的結(jié)果作為參考解．圖3給出了攝動(dòng)參數(shù)取0.4時(shí)，位移法攝動(dòng)與傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)的L2誤差隨時(shí)間步長(zhǎng)dt變化的曲線圖．可以看出，相同時(shí)間步長(zhǎng)下位移法攝動(dòng)可以獲得較精確的計(jì)算結(jié)果，其L2，error皆低于傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)的誤差．步長(zhǎng)取0.1s時(shí)，傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)的L2，error已經(jīng)達(dá)到了14%，而位移法攝動(dòng)的誤差約為7%，精度明顯高于傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)．由此看出，與傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)相比，本文方法具有較高的精確度．下面比較位移法攝動(dòng)與傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)的計(jì)算效率．表1給出了取相同步長(zhǎng)時(shí)位移法攝動(dòng)與傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)．可以看出，相同步長(zhǎng)下位移法攝動(dòng)效率明顯高于傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)，且步長(zhǎng)越小優(yōu)勢(shì)越明顯，當(dāng)步長(zhǎng)取dt=10－4s時(shí)，傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)所需時(shí)間接近2026s，而位移法攝動(dòng)僅需8s．取相同步長(zhǎng)時(shí)，位移法攝動(dòng)精度高于傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)，因此，位移法攝動(dòng)在確保精確度較高的同時(shí)，也保證了計(jì)算效率．為了進(jìn)一步對(duì)比位移法攝動(dòng)與傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)的精確度與穩(wěn)定性，下面比較不同攝動(dòng)參數(shù)下2種方法的相對(duì)誤差隨計(jì)算時(shí)長(zhǎng)的變化．圖4是攝動(dòng)參數(shù)分別取0.1、0.4、0.7時(shí)2種方法的相對(duì)誤差隨計(jì)算時(shí)長(zhǎng)變化的曲線，這里步長(zhǎng)取10－2s．顯然，位移法攝動(dòng)與傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)的相對(duì)誤差均隨攝動(dòng)參數(shù)的增加而增大，但位移法攝動(dòng)增加幅度不大，相對(duì)誤差也沒有因時(shí)間的變化有較大波動(dòng)，能保持長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值精度，較為穩(wěn)定．當(dāng)取較大攝動(dòng)參數(shù)0.7時(shí)，相對(duì)誤差也一直保持在10%以內(nèi)．傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)的數(shù)值結(jié)果隨著時(shí)間的增加而發(fā)散，特別是當(dāng)參數(shù)變化較大時(shí)，發(fā)散得更快．?dāng)z動(dòng)參數(shù)取0.7時(shí)，相對(duì)誤差在第9秒已經(jīng)達(dá)到50%，計(jì)算結(jié)果已經(jīng)失去意義．綜上所述，無論是精確度、穩(wěn)定性還是效率，位移法攝動(dòng)均優(yōu)于傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)．
3結(jié)論
本文將位移小參數(shù)攝動(dòng)法拓展到電路領(lǐng)域，利用位移法攝動(dòng)求解非線性電容LC電路．該方法由系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)出發(fā)，將變分式進(jìn)行有限元離散，插值函數(shù)采用簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，得到時(shí)段剛度陣．對(duì)電路的特征方程進(jìn)行一次攝動(dòng)，用一次攝動(dòng)后的近似剛度陣代替原時(shí)段剛度陣．最后根據(jù)剛度陣與辛傳遞矩陣的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換成辛傳遞矩陣求解的問題．1)通過與四階龍格庫(kù)塔法比較，驗(yàn)證了本文方法求解非線性電容LC電路問題的有效性與正確性．2)比較了位移法攝動(dòng)與辛傳遞矩陣加法攝動(dòng)2種方法，數(shù)值算例表明，位移法攝動(dòng)的精度及效率均高于傳遞辛矩陣加法攝動(dòng)．在攝動(dòng)參數(shù)較大的情況下，位移法攝動(dòng)也能夠保證數(shù)值結(jié)果的精確性．3)相對(duì)于辛傳遞矩陣加法攝動(dòng)，位移法攝動(dòng)能夠保持長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值精度，具有較好的穩(wěn)定性．
作者：楊紅衛(wèi) 高冉冉 彭碩 王玉琪 單位：北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院