矩陣法網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湔撐姆段?/h1>
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矩陣法
鄰接矩陣自乘公式如下：式中，A為鄰接矩陣；T為連通矩陣；上標(biāo)（k）表示該矩陣為k級(jí)連通矩陣。鄰接矩陣表示節(jié)點(diǎn)間一級(jí)連接，因此鄰接矩陣是一級(jí)連通矩陣，即T（k）=A。重復(fù)式（1）直到鄰接矩陣的n-1次方，可得到全連通矩陣。通過對(duì)連通矩陣平方法可以快速得到全連通矩陣，由此得到平方法公式如下。實(shí)際上求全連通矩陣需要的矩陣乘法次數(shù)要少于n-2次乘法運(yùn)算。如果相鄰2次求得的連通矩陣相同，即連通矩陣的元素不再發(fā)生變化，就已經(jīng)得到全連通矩陣了。通過矩陣相乘得到的連通矩陣是一個(gè)稠密矩陣，并且其稠密的程度隨著矩陣相乘的次數(shù)增加而增加。式（1）中2個(gè)相乘的矩陣之一是稠密矩陣，計(jì)算速度很慢。式（2）則需要log2（n-1）次矩陣乘法運(yùn)算。實(shí)際上求全連通矩陣需要的矩陣乘法次數(shù)要少于上述次數(shù)。如果相鄰2次求得的連通矩陣相同，即連通矩陣的元素不再發(fā)生變化，就已經(jīng)得到全連通矩陣了。
2稀疏矩陣法網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?/a>結(jié)構(gòu)
矩陣法求全連通矩陣時(shí)一般不采用稀疏技術(shù)，而2個(gè)滿陣存儲(chǔ)的矩陣相乘是很浪費(fèi)時(shí)間的，所以矩陣法的運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，很難滿足實(shí)時(shí)性的要求。為解決這一問題，本文利用了基于稀疏矩陣技術(shù)的矩陣法。式（1）2個(gè)相乘的矩陣中，連通矩陣是稠密矩陣，而鄰接矩陣則是稀疏矩陣，可以對(duì)它應(yīng)用稀疏矩陣技術(shù)。
2.1布爾矩陣存儲(chǔ)鄰接矩陣就是布爾矩陣，矩陣中的元素只有“0”和“1”，對(duì)非零元素存儲(chǔ)時(shí)，不需要存儲(chǔ)元素的值，只需要記錄值為1的元素的行號(hào)和列號(hào)即可。對(duì)鄰接矩陣的存儲(chǔ)，可以使用下列2個(gè)數(shù)組：1）IA用來記錄每個(gè)非零元素的列號(hào)；2）JA用來記錄每個(gè)非零元素的行號(hào)。
2.2連通矩陣的計(jì)算采用式（1）求連通矩陣時(shí)，連通矩陣元素的計(jì)算如式（3）所示。
2.3矩陣的對(duì)稱性鄰接矩陣和連通矩陣都是對(duì)稱陣，計(jì)算連通矩陣時(shí)，可以只計(jì)算矩陣的上三角元素，根據(jù)對(duì)稱性可以直接寫出下三角對(duì)稱元素。
2.4節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)稀疏技術(shù)在實(shí)施時(shí)有2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是排零存儲(chǔ)和排零運(yùn)算，二是節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)。排零存儲(chǔ)和排零運(yùn)算能夠有效避免對(duì)計(jì)算結(jié)果沒有影響的元素的存儲(chǔ)和計(jì)算，大大提高程序的計(jì)算速度。節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)順序會(huì)直接影響到矩陣A的因子表矩陣的系數(shù)度，也對(duì)計(jì)算效率有直接影響。本文采用Tinney-2編號(hào)方法[12]。這種方法為半動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)法或最小度算法。這種方法按最小出線度編號(hào)，不同點(diǎn)是在編號(hào)過程中及時(shí)排除已經(jīng)被編號(hào)的節(jié)點(diǎn)發(fā)出的邊對(duì)未編號(hào)節(jié)點(diǎn)的出線度的影響。選出某個(gè)出線度小的節(jié)點(diǎn)參與編號(hào)，按圖上因子分解的辦法模擬消去該節(jié)點(diǎn)，只進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化的處理，而不進(jìn)行真實(shí)的邊權(quán)計(jì)算，這個(gè)已編號(hào)的節(jié)點(diǎn)及其發(fā)出的邊不再參與后面的模擬消去運(yùn)算。在剩下的未消去的子圖上重復(fù)進(jìn)行上述編號(hào)的過程。
2.5全連通矩陣流程圖形成全連通矩陣的流程圖見圖1。連通矩陣計(jì)算時(shí)，僅需要對(duì)原連通矩陣中值為0的元素進(jìn)行計(jì)算，值為1的元素?zé)o需計(jì)算。
2.6稀疏矩陣的網(wǎng)絡(luò)分析本文在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析的過程中采用行掃描法分析全聯(lián)通矩陣。由于可以通過全聯(lián)通矩陣中一行的元素得知一個(gè)聯(lián)通塊中所包含的所有節(jié)點(diǎn)，即元素相應(yīng)位置是1就意味著對(duì)應(yīng)的2個(gè)節(jié)點(diǎn)向聯(lián)通，所以只需要聯(lián)通矩陣中屬于同一個(gè)聯(lián)通塊的某一行矩陣元素即可判斷出聯(lián)通塊的節(jié)點(diǎn)組成。
3算例分析
本文算例為某一地區(qū)的電力系統(tǒng)，系統(tǒng)規(guī)模為：廠站156個(gè)，母線段752個(gè)，開關(guān)7529個(gè)，輸電線路302條，變壓器225臺(tái)，其中雙繞組變壓器122臺(tái)，三繞組變壓器103臺(tái)，串聯(lián)電抗器支路8條，無功補(bǔ)償電容204個(gè)，無功補(bǔ)償電抗21個(gè)。圖2表示網(wǎng)絡(luò)的部分示意圖。本文采用C語言進(jìn)行編程來實(shí)現(xiàn)算法，開發(fā)環(huán)境采用的是VisualC++6.0。并且在主頻2.13GHz的PC機(jī)上進(jìn)行的，通過不同的矩陣算法計(jì)算都得到了正確的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞治鼋Y(jié)果，只是在需要進(jìn)行的乘法次數(shù)和計(jì)算時(shí)間上有顯著的差別。
3.1矩陣乘法次數(shù)比較本文算法與2種傳統(tǒng)算法進(jìn)行比較，幾種算法電氣島分析時(shí)矩陣乘法次數(shù)表見表1。由表1可見，鄰接矩陣自乘算法的矩陣乘法次數(shù)較多，連通平方算法可以明顯減少矩陣乘法次數(shù)。而優(yōu)化稀疏矩陣法的矩陣乘法次數(shù)也比鄰接矩陣自乘法要少，與原稀疏矩陣算法相同，但是多于連通矩陣平方算法。
3.2幾種矩陣法計(jì)算時(shí)間比較下面比較上述幾種矩陣法在對(duì)算例進(jìn)行拓?fù)浞治鰰r(shí)的計(jì)算時(shí)間，如表2所示。由表2可知，連通矩陣平方算法比鄰接矩陣自乘算法的計(jì)算速度明顯要快，優(yōu)化稀疏矩陣比鄰接矩陣和連通矩陣平方算法都要快，而優(yōu)化稀疏矩陣算法比原來稀疏矩陣算法運(yùn)行的時(shí)間短。這是因?yàn)殡姎鈲u分析消耗了矩陣法的大部分計(jì)算時(shí)間。電氣島分析時(shí)，矩陣階數(shù)很大，乘法運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)；而母線分析時(shí)在各個(gè)電壓等級(jí)內(nèi)進(jìn)行，涉及的矩陣階數(shù)較小。
4結(jié)論
通過表1，表2數(shù)據(jù)對(duì)比，可得出優(yōu)化稀疏矩陣法的乘法次數(shù)比鄰接矩陣自乘少，與原稀疏矩陣算法相同；并且優(yōu)化稀疏矩陣算法比鄰接矩陣法，連通矩陣平方法和原來稀疏矩陣算法計(jì)算速度快。同時(shí)，還利用鄰接矩陣的對(duì)稱性，采用節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)等手段來提高計(jì)算速度，效果比較明顯，能夠有效解決矩陣法的實(shí)用性問題。
作者：王惠中朱宏毅張熒何英單位：蘭州理工大學(xué)永登縣供電公司