貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)的運(yùn)用與展望范文

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0引言

貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法是一種以貝葉斯公式為核心，以先驗(yàn)信息和后驗(yàn)信息為綜合依據(jù)，以“辯證”推斷為主要特征的統(tǒng)計(jì)方法。與經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)歸納推理方法相比,它采用了一種全新的思維范式，將不確定參數(shù)看作隨機(jī)變量，并以貝葉斯理論（BayesTheory）為基礎(chǔ)，將獲取數(shù)據(jù)前人們的主觀信念作為先驗(yàn)信息與樣本信息進(jìn)行綜合，再根據(jù)貝葉斯定理推導(dǎo)出參數(shù)的后驗(yàn)概率分布，最后以該后驗(yàn)分布為基礎(chǔ),利用模擬方法進(jìn)行參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷。

1貝葉斯基本統(tǒng)計(jì)理論

就基本統(tǒng)計(jì)理論而言，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)存在著重大的差異，其中最主要的特征可以概括為以下三個(gè)方面：

1.1“主觀”概率在經(jīng)典頻率統(tǒng)計(jì)學(xué)中，概率通常被定義為：在同一條件下進(jìn)行多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)事件出現(xiàn)可能性的一種測度，是一種基于數(shù)據(jù)的“客觀”的概率。然而，在貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)中，概率被看作是人們對(duì)于一個(gè)不確定事件真實(shí)度的相信程度或者信念，不依賴事件能否重復(fù)，是一種“主觀”概率。貝葉斯學(xué)派認(rèn)為頻率解釋的概率只能應(yīng)用于在一定時(shí)期內(nèi)可以重復(fù)地、無限次地出現(xiàn)的事件，至少在理論上應(yīng)該如此，然而事實(shí)上，一些事件的概率通過大量重復(fù)試驗(yàn)獲得是不現(xiàn)實(shí)的，很多時(shí)候人們都是根據(jù)已有的知識(shí)和邏輯推理能力來對(duì)統(tǒng)計(jì)問題作出判斷的。

1.2先驗(yàn)信息對(duì)于“客觀“概率的經(jīng)典頻率統(tǒng)計(jì)學(xué)而言，統(tǒng)計(jì)推斷一般只需要兩方面的信息：—是模型信息，即已知（或假定）研究對(duì)象（數(shù)量特征）形成的總體服從某種概率分布，如正態(tài)分布等等。二是數(shù)據(jù)信息，即通過試驗(yàn)或者調(diào)查獲得的相關(guān)樣本數(shù)據(jù)信息。所有統(tǒng)計(jì)推斷都僅依賴于這些“客觀”樣本數(shù)據(jù)來完成。然而，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)除了以上兩種信息外，還利用另外一種信息，那就是先驗(yàn)信息。基于“主觀“概率的貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為在進(jìn)行試驗(yàn)或者調(diào)查獲取相關(guān)數(shù)據(jù)前，人們往往已經(jīng)從理論分析、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)積累以及主觀判斷，長期積累了許多資料和信息，這些先驗(yàn)信息使得人們在沒有數(shù)據(jù)的情況下仍然能對(duì)不確定事件給出一定的信度評(píng)價(jià)。如果能夠利用這些信息，并與觀察數(shù)據(jù)有機(jī)結(jié)合起來無疑能幫助提高統(tǒng)計(jì)推斷的質(zhì)量，特別是在可獲數(shù)據(jù)較少的情況下，先驗(yàn)信息的作用更為明顯。

1.3未知參數(shù)的隨機(jī)性在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)派看來，總體中的待估參數(shù)是一個(gè)普通的未知變量，其值是一個(gè)固定不變的常數(shù)。為了對(duì)這個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行推斷，往往需要從總體中進(jìn)行大量重復(fù)的抽樣，被抽取的樣本被看成是來自服從一定概率分布（如正態(tài)分布）總體的隨機(jī)變量。因此，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)實(shí)際上是利用了所有可能的隨機(jī)樣本信息，來實(shí)現(xiàn)對(duì)某個(gè)參數(shù)的無偏估計(jì)。相反，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)將任何一個(gè)未知參數(shù)都看作是隨機(jī)變量，都具有不確定性，并且可以通過一個(gè)概率分布來描述。在獲取數(shù)據(jù)之前可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或歷史資料構(gòu)建該參數(shù)的先驗(yàn)分布，在獲得樣本數(shù)據(jù)之后，可以利用樣本數(shù)據(jù)對(duì)先驗(yàn)分布修正獲得該參數(shù)的后驗(yàn)分布。因此，貝葉斯統(tǒng)計(jì)所研究的并不是樣本空間，而是參數(shù)的取值規(guī)律，其利用的是已固定的一組樣本信息，而非所有可能的隨機(jī)樣本。

2貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷方法

參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)成統(tǒng)計(jì)推斷的兩大基本內(nèi)容，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)在這兩個(gè)方面形成了與頻率統(tǒng)計(jì)學(xué)相平行的理論方法，并賦予統(tǒng)計(jì)推斷以新的解釋。

2.1點(diǎn)估計(jì)就點(diǎn)估計(jì)而言，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)通常要求，作為總體參數(shù)的一個(gè)優(yōu)良估計(jì)必須具備無偏性，即如果用θ贊表示總體參數(shù)θ的優(yōu)良估計(jì)值，那么θ贊必須具備E（θ贊）=θ的性質(zhì)，也就是從總體N個(gè)單位中按隨機(jī)性原則抽取n個(gè)單位組成樣本，如果對(duì)每一個(gè)樣本都計(jì)算一次θ贊的值，那么共CnN個(gè)θ贊值的期望均值應(yīng)該等于θ。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，人們往往只能根據(jù)一次抽樣觀察做出估計(jì)，顯然就不可回避這樣的問題，在一次抽樣觀察中用θ贊去估計(jì)θ，其優(yōu)良性如何去評(píng)估呢？對(duì)此，按照經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論是不好給出確切說明的。然而，貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷采用損失函數(shù)作為選取最佳估計(jì)值的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。它認(rèn)為最佳估計(jì)值的選取依賴于用θ贊來估計(jì)參數(shù)真值θ時(shí)所造成的損失，一般用損失函數(shù)L（θ贊，θ）來表示，若要獲得最佳估計(jì)值，就必須使在θ所有可能值上的后驗(yàn)加權(quán)平均(或期望)損失最小，即Eθ（/yθ/y，[L（θ贊，θ）]）=乙L（θ贊，θ）π（θ/y）墜θ達(dá)到最小。如果采用二次損失函數(shù)L1=c（θ贊，θ）2，那么后驗(yàn)期望損失就變?yōu)椋篍θ（/yθ/y，[L（1θ贊，θ）]）=乙c（θ贊，θ）2π（θ/y）墜θ對(duì)上式求導(dǎo)，得ddθ贊=2乙c（θ贊-θ）π（θ/y）墜θ，令上式為0，即可獲得θ的最佳點(diǎn)估計(jì)值實(shí)際上就是后驗(yàn)密度的均值(期望)：θ贊=E（θ）=乙θπ（θ/y）墜θ。由此可見，在貝葉斯點(diǎn)估計(jì)時(shí)，參數(shù)估計(jì)的優(yōu)良性可以通過期望后驗(yàn)損失最小來反映，而且后驗(yàn)分布是僅依賴于一次抽樣觀察做出的，因此無論抽樣是否可以重復(fù)，都可以對(duì)某一次抽樣觀察給出最優(yōu)估計(jì)值。

2.2區(qū)間估計(jì)對(duì)于區(qū)間估計(jì)而言，在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通常假設(shè)對(duì)于給定值α（0<α<1），如果由來自總體分布F（y，θ）的隨機(jī)樣本y1，y2，…yn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量θ=θ（y1，y2，…yn）和θ=θ（y1，y2，…yn）滿足：P{θ=θ（y1，y2，…yn）<θ<θ=θ（y1，y2，…yn）}叟1-α，那么就將隨機(jī)區(qū)間（θ，θ）稱作為θ的置信水平為1-α的置信區(qū)間。然而這里出現(xiàn)了一個(gè)問題就是，由于在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中，總體參數(shù)被視為是一個(gè)固定不變的常數(shù)，因此并不能認(rèn)為參數(shù)θ落在置信區(qū)間（θ，θ）中的概率為1-α，只能認(rèn)為，在n次抽樣中，有（1-α）CnN次求出的置信區(qū)間能夠覆蓋到總體參數(shù)μ，另外αCnN次無法覆蓋。因而這種解釋，對(duì)于僅進(jìn)行一次抽樣或者試驗(yàn)的人來說，其實(shí)是毫無意義的。相反，在貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)中，總體參數(shù)θ被看做是一個(gè)服從一定概率分布的隨機(jī)變量，因此，一旦獲得θ的后驗(yàn)分布π（θ/y），就可得到θ落入某個(gè)區(qū)間內(nèi)的后驗(yàn)概率，例如P{a燮0燮b/y}=ba乙π（θ/y）＝1-α，它表示參數(shù)θ落入?yún)^(qū)間[a，b]的概率為1-α。當(dāng)然，這里的a和b并不唯一（單峰型的密度函數(shù)中是唯一的），在貝葉斯區(qū)間估計(jì)時(shí)，通常選用最大后驗(yàn)密度（HPD）作為總體參數(shù)θ的貝葉斯可信區(qū)間，以保證這個(gè)可信區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)的后驗(yàn)密度函數(shù)值都大于區(qū)間以外點(diǎn)的密度函數(shù)值。由此可見，在置信區(qū)間的解釋和處理上，較經(jīng)典統(tǒng)計(jì)而言，貝葉斯統(tǒng)計(jì)含意更為清晰明了，并且在置信區(qū)間的尋求和計(jì)算上也簡單得多。

2.3假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問題，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)運(yùn)用的是反證思想進(jìn)行推斷。即認(rèn)定在一次實(shí)驗(yàn)中，小概率事件不會(huì)發(fā)生的前提下，如果觀察到的事件，是H0為真時(shí)不合理的小概率事件，則拒絕原假設(shè)H0。具體可表示為如果α代表小概率，那么在原假設(shè)H0為真的條件下，若樣本y發(fā)生的概率P（y/H0）<α，則說明是小概率事件，原假設(shè)H0為假。與之不同的是，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)直接討論H0和H1的后驗(yàn)概率，通過比較后驗(yàn)概率的大小進(jìn)行判斷。如果P（H0/y）和P（H1/y）分別為兩個(gè)假設(shè)事件的后驗(yàn)概率，那么當(dāng)P（H0/y）<P（H1/y）時(shí)，則拒絕原假設(shè)H0，反之則接受。事實(shí)上，上述兩種推斷方法在一定程度上統(tǒng)一于貝葉斯公式。由貝葉斯公式容易得到：P（H0/y）P（H1/y）=P（H0）•P（y/H0）P（H1）•P（y/H1）。

因此，當(dāng)P（H0）=P（H1），即H0與H1居于平等地位時(shí)，經(jīng)典學(xué)派與貝葉斯學(xué)派的結(jié)果是一致的。然而，在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的時(shí)候，原假設(shè)和備擇假設(shè)的提法一般是有講究的，它要求把帶有傾向性的意見當(dāng)作備擇假設(shè)，而把與備擇假設(shè)相對(duì)立的假設(shè)作為原假設(shè)。因此，H0常居于將被否定的位置，由于這種傾向性意見的存在，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)果很容易受到原假設(shè)和備擇假設(shè)的位置的影響，當(dāng)兩種假設(shè)的位置互換后，其推斷結(jié)果很可能不同。但對(duì)于貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷而言，由于是基于各個(gè)假設(shè)的后驗(yàn)概率進(jìn)行判斷，因此其推斷結(jié)果并不受到兩者位置的影響。此外，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)也存在如同參數(shù)估計(jì)解釋那樣的問題。如果在給定的顯著水平α下，根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的解釋是，在可能的CnN個(gè)樣本中，共做CnN次假設(shè)檢驗(yàn)，其中平均有αCnN次否定了原假設(shè)，而（1-α）CnN次沒有拒絕原假設(shè)，因此，同樣沒有直接回答原假設(shè)成不成立的問題。而貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)不要求接受或是拒絕某個(gè)假設(shè)，因?yàn)楹篁?yàn)機(jī)會(huì)比就足以說明問題。貝葉斯統(tǒng)計(jì)在檢驗(yàn)問題中的另外一個(gè)優(yōu)勢在于多重檢驗(yàn)問題，是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)所辦不到的。例如將假設(shè)設(shè)為：H0∶θ＝0；H1∶θ>0；H2∶θ<0。貝葉斯統(tǒng)計(jì)中只需分別計(jì)算H0、H1和H2的后驗(yàn)概率來做出推斷，而經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法則很難去處理此類問題。

3結(jié)論與展望

由上所述，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)能夠不斷發(fā)展壯大的原因在于，在很多方面它比經(jīng)典統(tǒng)計(jì)有明顯的優(yōu)勢。然而，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)賴以與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)叫板的地方，恰恰是其受到質(zhì)疑的地方。貝葉斯學(xué)派受到的批評(píng)集中于兩個(gè)方面：一是，將參數(shù)看成是隨機(jī)變量是否妥當(dāng)；二是，參數(shù)的先驗(yàn)分布的主觀問題。其實(shí)在許多情況下，如果不考慮其中涉及到的統(tǒng)計(jì)思想和概率理論基礎(chǔ)，用貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法導(dǎo)出來的結(jié)果與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)幾乎沒有二致。貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)不存在誰要取代誰的問題，解決二者之間爭論的最好辦法，恐怕還要著眼于相互取長補(bǔ)短，一切以能得到良好的統(tǒng)計(jì)推斷為根本目的。