數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)難點(diǎn)思索及對(duì)策范文

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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是普通全日制本科大學(xué)經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課也是后續(xù)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》乃至《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》的理論基礎(chǔ)。隨著統(tǒng)計(jì)學(xué)方法在經(jīng)濟(jì)管理理論和實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用學(xué)好這門(mén)課對(duì)于經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生未來(lái)的工作、學(xué)習(xí)和生活將有極大的幫助和裨益。然而在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生普遍感覺(jué)到這門(mén)課程內(nèi)容抽象方法獨(dú)特思想深?yuàn)W不易掌握。因此將一些難點(diǎn)問(wèn)題集中起來(lái)加以總結(jié)和歸納然后有意識(shí)地給學(xué)生講解不失為一種提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和課堂教學(xué)質(zhì)量的好辦法。

難點(diǎn)一：隨機(jī)事件的表示。在求解隨機(jī)事件的概率時(shí)總是先將這個(gè)事件用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)然后再用公式計(jì)算。有些事件表示起來(lái)可能比較簡(jiǎn)單但有些事件屬于復(fù)合事件表示起來(lái)相對(duì)復(fù)雜。初學(xué)者由于對(duì)事件之間的關(guān)系以及運(yùn)算規(guī)律不甚了解而感到無(wú)從下手。例：設(shè)袋中有大小相同的個(gè)球個(gè)紅球個(gè)黑球個(gè)白球從中無(wú)放回地任取兩次每次取一個(gè)以Ak，Bk，Ck，分別表示第K次取到紅、黑、白球（k=1，2），試表示下列事件：（1）僅取到一個(gè)黑球；（2）第二次取到黑球；（3）沒(méi)取到黑球；（4）最多只取到一個(gè)黑球。答案是：（1）B1A2+B1C2+A1B2+C1B2或B1B2+B1B2（2）A1B2+B1B2+C1B2或（A1+B1+C1）B2或B2（3）A1C2+C1A2+A1A2+C1C2或B1+B2或B1B2（4）B1B2+B1B2+B1B2或B1+B2或B1B2對(duì)這個(gè)題大多數(shù)同學(xué)只知道按照可能的幾種情況硬性地去拼湊也就是答案里的第一種形式卻不知道還有更簡(jiǎn)單的表示方法而且各種方法之間是等價(jià)的。從計(jì)算的角度看我們當(dāng)然希望表示的形式越簡(jiǎn)單越好。所以學(xué)會(huì)盡可能簡(jiǎn)單地表示事件是概率運(yùn)算的基本功這一關(guān)非過(guò)不可。老師除了耐心講解和悉心指導(dǎo)之外還應(yīng)布置一定數(shù)量的習(xí)題供學(xué)生練習(xí)以達(dá)到舉一反三的效果。

難點(diǎn)二：頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系。頻率是事件發(fā)生次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值必須通過(guò)試驗(yàn)或觀察才能知曉即使是在同一條件下也具有隨機(jī)波動(dòng)性是不穩(wěn)定的。而概率卻是客觀存在的、唯一的不以人的意志為轉(zhuǎn)移也不因人的主觀喜好而改變。任何一個(gè)隨機(jī)事件都有一個(gè)概率與之相對(duì)應(yīng)只不過(guò)我們不知道它只能通過(guò)大量的試驗(yàn)和觀察利用頻率去推斷可見(jiàn)頻率只是概率的外在表現(xiàn)形式。但是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加（趨于無(wú)窮大）頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)的左右擺動(dòng)而這個(gè)常數(shù)就是所謂的概率。大數(shù)定律用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明了兩者之間的關(guān)系即limPn→∞nA-P<ε=1n｛｝

難點(diǎn)三：古典概型的一題多解。求等可能事件概率的公式是非常簡(jiǎn)單的然而當(dāng)求法不止一種的時(shí)候初學(xué)者往往吃不準(zhǔn)哪一種方法是正確的看起來(lái)每一種方法都有道理都是對(duì)的。究其原因一是樣本空間模糊不清二是沒(méi)有保持分子分母樣本空間的一致性。例如：袋中裝有a個(gè)黑球b個(gè)白球從中逐一將它們?nèi)〕銮蟮诖稳〕龅那蚯楹谇虻母怕省＿@個(gè)題的解法有好幾種學(xué)生在做的時(shí)候答案也是五花八門(mén)有些看似正確卻經(jīng)不起推敲原因都出在上述兩個(gè)方面。正確的解法是：解法一：將a+b個(gè)球看作是彼此可辨的則P（A）=a•（a+b-1）!a（a+b）！a+b=解法二：?jiǎn)慰吹趉次取球則P（A）=aa+b解法三：將取球分為兩步即前k次和后a+b-k則a•Aka+-b1-1•Aaa++bb--kkaAa+bk•Aa+b-ka+ba+b-kP（A）==解法四：分別視黑球彼此無(wú)差別和白球彼此無(wú)差別則Caa+-b1-1aCaa+ba+bP（A）==這里的每一種解法都遵循了我上面講的兩個(gè)原則因此解法雖然不同但結(jié)果是一樣的。

難點(diǎn)四：對(duì)立與互斥、相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立、相互獨(dú)立與互斥的區(qū)別。對(duì)立一定是針對(duì)兩個(gè)事件兩個(gè)以上的事件之間不存在這種關(guān)系而且每次試驗(yàn)只能發(fā)生其一當(dāng)其中一個(gè)事件發(fā)生時(shí)另一個(gè)一定不會(huì)發(fā)生；互斥則既可以發(fā)生在兩個(gè)事件之間也可以發(fā)生在多個(gè)事件之間在多個(gè)事件的情況下稱(chēng)為兩兩互斥。當(dāng)其中一個(gè)事件發(fā)生時(shí)其他所有事件都不能同時(shí)發(fā)生。因此對(duì)立可以看作是互斥的特殊情況。相互獨(dú)立既可以指兩個(gè)事件也可以指多個(gè)事件在多個(gè)事件的場(chǎng)合必須滿足其中任意2個(gè)、3個(gè)……n個(gè)事件都相互獨(dú)立也就是要同時(shí)滿足C2+C3+…+Cn=2nnnn-1個(gè)等式而兩兩獨(dú)立僅表示n個(gè)事件中每?jī)蓚€(gè)相互獨(dú)立滿足的條件要少得多。例如：甲乙兩人各擲一枚均勻硬幣事件A，B，C分別表示甲擲出正面乙擲出正面和兩人擲出的花色不同則A，B，C兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立。另外相互獨(dú)立與互斥是兩碼事相互獨(dú)立意味著兩個(gè)事件發(fā)生與否互不相干互不影響而互斥指的是兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生所以相互獨(dú)立與互斥是不可能同時(shí)存在的。但要注意的是與互斥事件不同相互獨(dú)立的事件在圖形表示上并不一定就沒(méi)有交集或公共部分。

難點(diǎn)五：泊松分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布三者的聯(lián)系。通過(guò)推導(dǎo)知（過(guò)程略）在試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)二項(xiàng)分布趨向于泊松分布而根據(jù)拉普拉斯中心極限定理又證明了二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布。看起來(lái)似乎矛盾實(shí)際上在n較大時(shí)兩種分布都趨向于正態(tài)分布但是兩個(gè)結(jié)論適用的場(chǎng)合不同。前者一般要求n>10，p≤0.1，np大小適中此時(shí)擬合度較高；而后者則要求n>30，np不能過(guò)大。一般來(lái)說(shuō)n越大，越適合于用正態(tài)分布但如果參數(shù)np超過(guò)了查表的范圍不論用哪種分布來(lái)逼近概率也都是求不出來(lái)的。

難點(diǎn)六：利用計(jì)數(shù)隨機(jī)變量求數(shù)學(xué)期望。求數(shù)學(xué)期望一般有兩種方法一種是直接用定義此法只有計(jì)算的難易之分步驟變化不大；還有一種則是先將隨機(jī)變量分解為若干個(gè)計(jì)數(shù)的隨機(jī)變量之和再利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求和。在直接用定義求比較困難的情況下這種方法往往有著意想不到的效果計(jì)算非常簡(jiǎn)便但含有一定的技巧性比較難掌握。關(guān)鍵是如何根據(jù)問(wèn)題引入相應(yīng)的計(jì)數(shù)隨機(jī)變量使得所求的隨機(jī)變量能夠表示成這些計(jì)數(shù)隨機(jī)變量的和。因?yàn)椴煌膯?wèn)題計(jì)數(shù)隨機(jī)變量的設(shè)法也不相同。例如：將n只球放入M只盒子設(shè)每只球落入各個(gè)盒子是等可能的求有球盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)有球盒子數(shù)為X，令Xi=｛｝1，當(dāng)?shù)趇個(gè)盒子有球時(shí)0，當(dāng)?shù)趇個(gè)盒子無(wú)球時(shí)M則X=Xi由于Xi的分布律為Xi10i=111p1-（1-）n（1-）nMM1故E（Xi）=1-（1-）n從而E（X）==MM∑∑Mi=111-（1-）nM［］11-（1-）nM［］這個(gè)題如果用定義去做的話就太難了。兩相比較孰優(yōu)孰劣一目了然。

難點(diǎn)七：不相關(guān)與相互獨(dú)立的差別。相不相關(guān)是就線性關(guān)系而言獨(dú)不獨(dú)立則是就一般關(guān)系而言。相關(guān)意味著兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系不相關(guān)則不存在線性關(guān)系但可能存在別的關(guān)系；獨(dú)立是指兩個(gè)變量取何值彼此互不影響因此不存在任何關(guān)系不獨(dú)立則是指兩個(gè)變量取值是互相影響的因此肯定有某種關(guān)系存在但未必是線性關(guān)系。所以如果兩個(gè)變量相互獨(dú)立肯定是不相關(guān)的但反過(guò)來(lái)如果兩個(gè)變量不相關(guān)則它們不一定相互獨(dú)立。有一種情況比較特殊那就是對(duì)于服從二維正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量而言它的兩個(gè)分量之間不相關(guān)與相互獨(dú)立是等價(jià)的。但是這里要注意一個(gè)前提那就是只有在某個(gè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布的情況下這個(gè)結(jié)論才成立不然很容易出現(xiàn)誤判。如選擇題：設(shè)X，Y均服從正態(tài)分布且不相關(guān)則（1）XY一定獨(dú)立（2）（X，Y）服從二維正態(tài)分布（3）X，Y未必獨(dú)立（4）X+Y服從一維正態(tài)分布正確答案是（3）而不是其他。以上難點(diǎn)只是個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的粗淺總結(jié)可能會(huì)有遺漏也可能總結(jié)得很不全面還有待于在今后的教學(xué)過(guò)程中不斷積累和進(jìn)一步完善。