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摘要

隨著社會經濟的迅速發展，高等數學在經濟管理中的應用越來越廣泛．常微分方程作為高等數學的一個重要組成部分，本文將對它在經濟管理中的重要應用作初步探索，主要包括市場均衡價格分析、新產品的銷售速度分析、廣告的效果分析三個方面．

關鍵詞常微分方程；經濟管理；市場均衡價格銷售速度；廣告。

隨著社會經濟的迅速發展，數學在我們的生活中可以說無處不在，尤其是在經濟管理中的應用越來越廣泛．經濟學必須進行定量研究．而高等數學是對經濟管理問題進行定量研究的最重要、最基本的數學工具之一．為了研究經濟變量之間的聯系及其內在規律，常常需要建立某一經濟函數及其導數所滿足的關系式，并由此確定所研究函數的形式，從而根據一些已知條件來確定該函數的表達式．從數學上講，就是建立微分方程并求解微分方程．用微分方程解決問題時總有三個主要過程：

第一步是建模，即根據實際問題建立起適當的微分方程，給出其定解條件．這需要對問題有深刻的理解，并進行必要的假設，忽略一些次要因素，選取變量，從這些變量之間的關系建立起所滿足的微分方程，給出定解條件．這就是將實際問題數學化．第二步，求解所建立的微分方程，這包括求出它的解析解或者數值解，或者從微分方程分析變量的變化規律．第三步是對所得的數學結果進行翻譯，用來解釋一些現象，或對問題的解決提出建議或方法．本文將通過具體模型來研究和介紹微分方程在經濟管理中的重要應用．主要包括市場均衡價格分析、新產品的銷售速度分析、廣告的效果分析等三個方面．

1市場均衡價格分析

設有某種商品，其價格主要由市場供求關系決定，或者說，該商品的供給量Q與需求量Q只與該商品的價格P有關．為簡單起見，設供給函數與需求函數分別為當供給量與需求量相等時，即Q—Qd，由(1)式求得供需相等時的價格為稱為該種商品的均衡價格．一般地說，當市場上該商品供過于求(Q>)時，價格將下跌；供不應求(QJ<)時，價格將上漲．因此，該商品在市場上的價格將隨著時間的變化而圍繞著均衡價格上下波動，價格P是時間t的函數P(￡)．根據上述供求關系變化影響價格變化的分析，可以假設時刻價格P()的變化率dP與時刻d的超額需求量—Q成正比，即設這表明，實際價格P(￡)最終趨向于均衡價格P。

2新產品的銷售速度分析

對于開發的某種新產品，生產者非常關心它的銷售速度．那么，怎樣建立一個數學模型來描述它，并由此分析出一些有用的結果以指導生產呢?

記時刻t時已售出的新產品數為X，假設該產品使用方便，這些正在使用的新產品實際上起著宣傳的作用，吸引著尚未購買的顧客，設每一個新產品在單位時間內平均吸引K個顧客，由此可知，X(￡)滿足微分方程：

這一結果與事實不符．模型(3)只考慮了實物廣告的作用，而忽略了廠家可以通過其他方式宣傳新產品，從而打開銷路的可能性．若通過努力已有X。的產品投入使用，這時X(在開始階段的增長情況與(4)式的結果擬合較好．在(4)式中，這也與事實不符．事實上，X(￡)應當有一個上界，設需求量的上界為K，則尚未使用新產品的戶數為K—x(￡)，由統計規律可知，-~X(K—x)成正比，比例系數為r，則當￡<to時，>0，即X，單調增加，這表示在銷售量小于最大需求量的一半時，銷售速度X()不斷增大；當>to時，<0，即X單調減小，這表示在銷售量達到最大需求量的一半時(￡一to)，產品最暢銷，其后(即t>to)，銷售速度X開始下降．基于對Logistic曲線的分析，國外研究普遍認為：從2O用戶到8O用戶采用某一新產品的這段時期，應是該產品正式大批量生產的較合適的時期，初期應采用小批量生產并加以廣告宣傳，后期則應適時轉產，這樣做可以取得較高的經濟效益．

3廣告效果的分析

信息社會使廣告成為調整商品銷售的強有力手段，廣告與銷售之間有什么內在聯系?如何評價不同時期的廣告效果?這也需要借助數學模型進行研究．首先認為廣告對產品的銷售速度又直接的促進作用，以銷售速度為研究對象，設s(￡)為時刻t的產品銷售速度，并作以下假設：

(1)不考慮廣告作用時，銷售速度具有自然衰減的性質，即產品銷售速度隨著時間而減少，滿足這一性質的銷售速度其中為衰減因子

(2)產品的銷售速度會因廣告而增加，但增加是有一定限度的，當產品在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于極限值，這時無論采取哪種形式做廣告(不包括其他的促銷手段)，都不能使銷售速度增加．假設M為銷售飽和水平，即市場對產品的最大容納能力，它對應著銷售速度的上限．當銷售速度達到飽和水平之后，廣告已不起作用，銷售速度隨時間增加而自然衰減，同樣為衰減因子，>0且為常數．產品的銷售速度與廣告的投入水平有關，設A(t)為時刻單位時間的廣告投入水平(以費用表示)，夕為投入的響應系數，即投入A(￡)對銷售速度

4結語

綜上所述，微分方程在經濟管理中有著重要的應用，通過建立數學模型能夠解決很多復雜的實際經濟問題．本文所述只是微分方程在經濟管理中應用的一小部分，有待于進一步的探討．需要指出的是，使用微分方程解決問題時，要根據實際問題適當地使用微分方程．隨著社會經濟的發展，高等數學將不僅在經濟管理方面是一個有效的解決問題的工具，而且在其它領域，諸如環境治理、人口預測、傳染病的傳播、藥物在人體內的分布等方面也會得到越來越多的應用，為人們解決越來越多的實際問題。