混沌實(shí)驗(yàn)分層教學(xué)探析范文

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摘要：混沌實(shí)驗(yàn)是學(xué)生了解非線性科學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容。在教學(xué)實(shí)踐中，我們分三個(gè)層次循序漸進(jìn)開展實(shí)驗(yàn)教學(xué)，即觀察生活中的混沌現(xiàn)象、觀察蔡氏電路混沌現(xiàn)象、初步探究蔡氏電路混沌現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。實(shí)驗(yàn)教學(xué)收到了良好的效果，學(xué)生對(duì)混沌現(xiàn)象的特點(diǎn)、產(chǎn)生原因有了較深入的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：混沌現(xiàn)象；蔡氏電路；混沌吸引子；非線性負(fù)阻

1引言

混沌是在確定的非線性動(dòng)力系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種對(duì)初值敏感的貌似無規(guī)則、類似隨機(jī)的現(xiàn)象，它是非線性動(dòng)力系統(tǒng)所特有的復(fù)雜現(xiàn)象，在自然界和社會(huì)生活中普遍存在?，F(xiàn)在，“混沌”是近論研究熱點(diǎn)，已經(jīng)形成了一門新的科學(xué)，它涉及的領(lǐng)域包括數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及工程技術(shù)的眾多學(xué)科，研究成果產(chǎn)生一些實(shí)用價(jià)值，并對(duì)這些學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。有預(yù)言，混沌理論將掀起繼相對(duì)論和量子力學(xué)以來基礎(chǔ)科學(xué)的第三次革命。在理工科教學(xué)中，緊跟現(xiàn)代科技前沿，適當(dāng)增加非線性內(nèi)容教學(xué)非常必要。為此，我校在近代物理實(shí)驗(yàn)中開設(shè)了《混沌實(shí)驗(yàn)》，開拓學(xué)生視野。學(xué)生長期學(xué)習(xí)牛頓經(jīng)典理論，知道物體的初始狀態(tài)和受力情況就可以預(yù)測(cè)物體未來的狀態(tài)，這與混沌理論的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不確定不可預(yù)測(cè)完全沖突，為了解決這種沖突，取得好的教學(xué)效果，我們通過三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)混沌現(xiàn)象、成因及特點(diǎn)逐步形成深刻的印象。

2混沌現(xiàn)象的感性認(rèn)識(shí)

事實(shí)上，混沌現(xiàn)象普遍存在我們的自然和社會(huì)生活。所以，在課堂教學(xué)前，我們先讓學(xué)生觀察生活中的混沌現(xiàn)象。例如，觀察點(diǎn)燃的香煙，一縷縷青煙離開煙頭幾乎直線往空中升起，突然卷成擾動(dòng)的一團(tuán)煙霧，上下翻滾，然后四處飄散；觀察平穩(wěn)的水流突然四處飛濺等，通過仿真試驗(yàn)教學(xué)平臺(tái)讓學(xué)生觀察三叉混沌擺的完全不同步隨機(jī)的擺動(dòng)視頻等，總結(jié)所觀察的現(xiàn)象的特點(diǎn)。再讓學(xué)生閱讀有名的“蝴蝶效應(yīng)”等資料，通過這些學(xué)習(xí)，大部分同學(xué)都能發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象共同點(diǎn)是突然從有序變?yōu)闊o序，認(rèn)識(shí)到牛頓力學(xué)的局限，形成混沌現(xiàn)象感性認(rèn)識(shí)，初步了解混沌的基本特點(diǎn)。

3蔡氏電路混沌現(xiàn)象觀察

在實(shí)驗(yàn)課堂學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生觀察蔡氏電路的混沌現(xiàn)象。該電路能展示混沌產(chǎn)生的過程，混沌吸引子的動(dòng)態(tài)也很明晰。有源非線性負(fù)阻元件Nr是采用兩個(gè)運(yùn)算放大器（一個(gè)雙運(yùn)放LF353）和六個(gè)配制電阻來實(shí)現(xiàn)，其電路如圖2所示，雙運(yùn)算放大器中兩個(gè)對(duì)稱放大器各自的配置電阻相差100倍，這就使得兩個(gè)放大器輸出電流的總和，在不同的工作電壓段，輸出總電流隨電壓變化關(guān)系不相同（其中一個(gè)放大器達(dá)到電流飽和，另一個(gè)尚未飽和），因而出現(xiàn)了非線性的伏安特性。實(shí)驗(yàn)中我們主要觀察信號(hào)振動(dòng)周期產(chǎn)生分岔和混沌等一系列非線性現(xiàn)象，深入了解混沌現(xiàn)象的主要特點(diǎn)與混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生途徑。

3．1混沌產(chǎn)生途徑觀察?；煦绗F(xiàn)象產(chǎn)生途徑一般有倍周期分叉和陣發(fā)混沌。觀察前，按圖1和圖2接好電路，示波器選擇X－Y工作方式。調(diào)節(jié)G（R1＋R2和組成，R1為粗調(diào)，R2為細(xì)調(diào)），阻值從最大逐漸減小，觀察李薩如圖的變化，如將一個(gè)環(huán)相圖周期定為一，隨著G阻值的減少，相圖變化過程為：不動(dòng)點(diǎn)→一倍周期→二倍周期→四倍周期→陣發(fā)混沌→三倍周期→單吸引子→雙吸引子→極限環(huán)→直線。在三倍周期處，仔細(xì)調(diào)節(jié)R2，原先的混沌吸引子突然出現(xiàn)了一個(gè)三周期圖像，繼續(xù)微調(diào)R2，又出現(xiàn)了混沌吸引子，這一現(xiàn)象稱為出現(xiàn)了周期性窗口。實(shí)驗(yàn)過程我們看到，電路先產(chǎn)生豐富的倍周期分岔，在三倍周期處，出現(xiàn)周期性窗口進(jìn)入混沌狀態(tài)，倍周期分岔是非線性確定性系統(tǒng)通向混沌最典型的形式。

3．2混沌現(xiàn)象的特性觀察。1．對(duì)初值的敏感依賴?；煦绲牡湫吞卣髦皇菍?duì)初值非常敏感。若兩次運(yùn)動(dòng)的初值有微小差別，長時(shí)間后兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)較大的、無法預(yù)知的偏差。在上面的實(shí)驗(yàn)步驟中，當(dāng)電阻調(diào)到某些臨界狀態(tài)時(shí)，如G＝1850時(shí)，微調(diào)R2，電路系統(tǒng)可出現(xiàn)陣發(fā)混沌，也可能出現(xiàn)三倍周期，還可能是單奇異子。另外如果在電路中加入萬用表測(cè)G兩端電壓的有效期，屏幕的相圖馬上突變，有一倍周期突變?yōu)閱挝?，或雙吸引子。這是由于萬用表引入的電阻及電容效應(yīng)，對(duì)電路產(chǎn)生細(xì)微的擾動(dòng)，結(jié)果，因這些微小的差別造成實(shí)驗(yàn)結(jié)果的突變。2．混沌信號(hào)的非周期性與分形。實(shí)驗(yàn)時(shí)，仔細(xì)觀察圖3的單吸引子、雙吸引子，只見環(huán)狀曲線在兩個(gè)向外渦旋的吸引子之間似乎按照某種規(guī)律不斷地填充與跳躍，可是在有限的空間里，跳動(dòng)的曲線卻不重復(fù)，也不會(huì)在吸引點(diǎn)附近交叉，總看不到曲線跳動(dòng)填充運(yùn)動(dòng)的停止，一圈一圈填充的曲線形狀很相似，相似的曲線填充運(yùn)動(dòng)永無休止，體現(xiàn)了混沌運(yùn)動(dòng)的非周期性以及分形特點(diǎn)。從填充運(yùn)動(dòng)的方向看，一切位于吸引子之外的曲線填充運(yùn)動(dòng)都在向吸引子靠攏，因而，曲線不停填充的空間不向外擴(kuò)張，填充區(qū)域整體不變，呈現(xiàn)穩(wěn)定的狀態(tài)，而一切到達(dá)吸引子內(nèi)部的曲線填充運(yùn)動(dòng)都相互排斥，不停地跳動(dòng)，處于不穩(wěn)定狀態(tài)。吸引子這種非周期性與分形結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了混沌不是絕對(duì)無序，而是呈現(xiàn)非周期有序性。3．混沌信號(hào)具有內(nèi)在的類噪聲性。將示波器置于時(shí)域模式，重復(fù)上述步驟，各周期的CH1和CH2的時(shí)域信號(hào)如圖4的9個(gè)分圖所示。實(shí)驗(yàn)時(shí)，仔細(xì)觀察比較，一倍周期信號(hào)的基本波形形狀與周期加倍之后乃至混沌信號(hào)的基本波形形狀相同，周期加倍主要引起波形包絡(luò)線的變化，引起這些包絡(luò)線變化的正是類似噪聲的無規(guī)則振蕩，但它不同于真正的噪聲，仔細(xì)觀察時(shí)域信號(hào)圖，我們發(fā)現(xiàn)信號(hào)從點(diǎn)平衡態(tài)演變混沌信號(hào)的過程中，混沌信號(hào)中的這些類噪聲的頻率對(duì)平衡態(tài)信號(hào)頻率還是有一定繼承性。因而混沌中的這種類似噪聲的信號(hào)不是真正的噪聲，而是一種有內(nèi)在規(guī)律的隨機(jī)信號(hào)。

4蔡氏電路混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生原因

通過對(duì)蔡氏電路混沌現(xiàn)象的觀察，學(xué)生對(duì)混沌的特性有了清晰地認(rèn)識(shí)，但對(duì)所觀察到的混沌現(xiàn)象演變?cè)?，非線性動(dòng)力系統(tǒng)的作用機(jī)制，沒有實(shí)踐體驗(yàn)。在蔡氏電路中唯一非線性元件為負(fù)阻，為了弄清非線性負(fù)阻對(duì)蔡氏電路產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的作用，我們先測(cè)量負(fù)阻的伏安特性，再同步觀察蔡氏電路信號(hào)不同相圖下負(fù)阻的伏安特性，來探究混沌現(xiàn)象演變與非線性動(dòng)力的關(guān)系。把非線性負(fù)阻Nr與一個(gè)1千歐姆定值電阻R串聯(lián)后用信號(hào)發(fā)生器輸出的正弦波作電源驅(qū)動(dòng)，用數(shù)字示波器觀察定值電阻R兩端的電壓和Nr兩端電壓構(gòu)成的李薩如圖形，即可得到Nr的I－U特性。我們?cè)?00Hz頻率的正弦波信號(hào)掃描下，得到的I－U特性曲線如圖6所示，以后頻率增加至2700Hz時(shí)（發(fā)生混沌時(shí)的主頻率附近），I－U特性曲線形狀不變。然后按圖7所示用示波器觀察C1與C2處信號(hào)構(gòu)成的相圖，用交流數(shù)字電壓表和電流表觀察非線性負(fù)阻的電壓和電流。調(diào)節(jié)G逐漸減少，觀察到的各種混沌現(xiàn)象與非線性負(fù)阻的電壓與電流情況見表1。實(shí)驗(yàn)中，沒有觀察三倍周期相圖。數(shù)據(jù)表明四倍周期和陣發(fā)混沌的伏安區(qū)有重疊，此處在前期試驗(yàn)中觀察到周期窗口，說明此處進(jìn)入產(chǎn)生混沌的臨界狀態(tài)。由上表的數(shù)據(jù)可知：非線性負(fù)阻的I－U工作在不同的區(qū)段，電路的相圖呈現(xiàn)不同的狀態(tài)，當(dāng)蔡氏電路出現(xiàn)單吸引子混沌現(xiàn)象時(shí)，Nr的伏安曲線處于圖6中B、C、O、D段或處于C、O、D、E段，當(dāng)蔡氏電路出現(xiàn)雙吸引子混沌現(xiàn)象時(shí)，Nr的伏安曲線處于圖6中B、C、O、D、E段。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)Nr工作在整個(gè)伏安區(qū)即呈現(xiàn)非線性特性時(shí)，電路信號(hào)進(jìn)入混沌狀態(tài)。因而非線性負(fù)阻在蔡氏電路產(chǎn)生混沌過程中起的決定性作用，非線性動(dòng)力是混沌現(xiàn)象產(chǎn)生的根本原因。

5總結(jié)

通過分層教學(xué)法學(xué)習(xí)混沌實(shí)驗(yàn)，學(xué)生突破了以前學(xué)習(xí)經(jīng)典理論時(shí)所形成的傳統(tǒng)認(rèn)知，對(duì)無序混亂不確定混沌現(xiàn)象及產(chǎn)生的機(jī)制———非線性動(dòng)力，有了較深入的認(rèn)識(shí)，整個(gè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果良好。

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作者：羅湘南；唐建鋒 單位：衡陽師范學(xué)院