維修服務(wù)契約的最優(yōu)設(shè)計范文

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《工程數(shù)學學報》2016年第三期

摘要:

本文研究了一個帶服務(wù)契約的機器維修模型．為了合理優(yōu)化設(shè)計機器維修服務(wù)契約，本文利用多服務(wù)器排隊系統(tǒng)理論對具有多臺機器和多個修理工的機器維修模型進行分析，得到了每臺機器產(chǎn)生的純收益和商的純收益期望值；利用非合作博弈論對維修服務(wù)契約進行分析，得到了最優(yōu)保修期、保修費和修理工數(shù)目．我們發(fā)現(xiàn)最優(yōu)保修期和修理工數(shù)目均與保修價格函數(shù)無關(guān)．而且，對于固定壽命的機器，機器總數(shù)幾乎不影響最優(yōu)保修期的設(shè)定．

關(guān)鍵詞:

排隊論；服務(wù)契約；博弈論；可靠性理論

1引言

在市場激烈競爭的今天，隨著消費者維權(quán)意識的提高和消費觀念的變化，消費者在選購產(chǎn)品時，不僅注意到產(chǎn)品實體本身，在同類產(chǎn)品的質(zhì)量和性能相似的情況下，更加重視產(chǎn)品的售后服務(wù)．因此，企業(yè)在提供價廉物美的產(chǎn)品的同時，向消費者提供完善的售后服務(wù)，已成為現(xiàn)代企業(yè)市場競爭的新焦點．售后服務(wù)包括維修、安裝升級、設(shè)備調(diào)整、提供技術(shù)支持、咨詢和培訓，以及提供融資服務(wù)，甚至于文化活動等等，內(nèi)容十分廣泛．本文嘗試利用數(shù)學方法定量地分析、優(yōu)化和設(shè)計售后服務(wù)中的維修服務(wù)契約．

Murthy和Padmanabhan[1]最先將服務(wù)契約當做一種廣義的保修行為來研究機器維修模型．Murthy和Ashgarizadeh[2]首先利用博弈論研究了一臺機器和一個修理工的維修服務(wù)契約模型．他們利用Stakelberg博弈公式得到了商的最優(yōu)決策結(jié)構(gòu)．而后，Ashgarizadeh和Murthy[3]將此模型推廣到多臺機器和單個修理工情形．但他們都沒有考慮機器的保修期和保修費等．Yeh和Lo[4]研究了對于可修產(chǎn)品的預(yù)防–維修策略．Pascual和Ortega[5]通過建立一個隨機模型確定了產(chǎn)品每次檢測和大修的最優(yōu)時間．關(guān)于研究維修服務(wù)契約模型的主要方法和結(jié)果，讀者可參見Murthy和Blischke[6]的綜述以及Murthy和Djamaludin[7]的文獻評述和Murthy和Blischke[8]的著作．近年來，Hu-ber和Spinler[9]對維修服務(wù)合約進行了最優(yōu)定價分析．Xiang等[10]考慮了一個在馬爾可夫隨機環(huán)境中運行的維修系統(tǒng)的最優(yōu)維修策略．本文推廣了Ashgarizadeh和Murthy[3]的工作，利用多服務(wù)器排隊理論和博弈理論對具有多臺機器和多個修理工的機器維修服務(wù)合約進行最優(yōu)設(shè)計，得到了最優(yōu)保修期、保修費和修理工數(shù)目．

2模型描述

假設(shè)某公司以單位價格Cp，從一設(shè)備制造商(商)購入M臺使用年限(壽命)為L0的機器．每臺機器正常運轉(zhuǎn)時每單位時間可產(chǎn)生收益R，而機器發(fā)生故障時則不會產(chǎn)生收益．假設(shè)這M臺機器相互獨立地工作，每臺機器相繼發(fā)生故障的間隔時間服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布．機器一旦發(fā)生故障，馬上送往售后服務(wù)部門進行維修，修復后立即投入使用．假設(shè)有N(1≤N≤M)個修理工，商付給每個修理工的固定費用為Cn．維修規(guī)則為機器先故障先維修，每臺發(fā)生故障的機器的修理時間χ服從參數(shù)為µ的指數(shù)分布．商制定了如下維修服務(wù)契約：對每臺保修期為L(0≤L≤L0)的機器，購買者一次性交納保修費P(L)，這里假設(shè)函數(shù)P(L)單調(diào)增、凸且在區(qū)間[0,L0]內(nèi)二次可微．若在保修時期內(nèi)送往維修的機器沒有在規(guī)定的時間T內(nèi)修好，則給予一定的補償．令隨機變量τ表示發(fā)生故障的機器送往維修直到修好的這段時間．若τ>T，則補償費用為δ(τT)，若τ≤T，則不補償．若在保修期外發(fā)生故障的機器，則每次維修需支付Cs的維修費且無任何補償．假設(shè)每臺發(fā)生故障的機器的一次維修成本費為Cr(Cr<Cs)．而且設(shè)修理與運轉(zhuǎn)相互獨立，每個修理工之間的修理也相互獨立．此外，我們還假設(shè)L0充分大且λE[τ]1，這意味著發(fā)生故障的機器在維修部門所逗留的時間相對于整個壽命而言是相當短的．以下我們將利用排隊論和博弈論來研究最優(yōu)保修期L、保修價格P(L)以及修理工數(shù)目N．

3模型分析

注意到此維修服務(wù)模型等價于有限源M/M/N排隊系統(tǒng)，其服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù)(FCFS)．

4最優(yōu)定價及設(shè)計

由于E[W](N)表達式太復雜，我們無法利用求導來得到最優(yōu)修理工數(shù)目．但是，考慮到機器數(shù)目的有限性，我們可利用窮盡法來求

5數(shù)值實例

這一節(jié)，我們利用Matlab編程提供了幾個數(shù)值實例來演示模型中參數(shù)變化對最優(yōu)解的影響．在表1中，我們觀察到最優(yōu)修理工數(shù)目N和商最大的期望收益E[V]隨著機器數(shù)目M增加而增大．圖1給出了當機器壽命L0取三個不同值時，參數(shù)R和M對最優(yōu)保修期L的影響．從圖1可看出，最優(yōu)保修期L隨著機器產(chǎn)生的收益R的增加而遞減．而且，當機器壽命L0越大時，最優(yōu)保修期L下降越快．然而，當機器壽命L0固定時，機器總數(shù)目M幾乎不影響最優(yōu)保修期L．此外，正如我們所預(yù)料的，最優(yōu)保修期L是機器壽命L0的單調(diào)增函數(shù)．

6小結(jié)

本文推廣了Ashgarizadeh和Murthy[3]的工作，利用多服務(wù)器排隊理論和博弈理論對具有多臺機器和多個修理工的機器維修服務(wù)合約進行最優(yōu)設(shè)計，求得了最優(yōu)保修期、保修費和修理工數(shù)目．獲得了結(jié)論：最優(yōu)保修期和修理工數(shù)目均與保修價格函數(shù)無關(guān)，而且，對于固定壽命的機器，機器總數(shù)幾乎不影響最優(yōu)保修期的設(shè)定．

作者：彭懿 吳錦標 單位：長沙師范學院初等教育系 中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院