微分方程在化學中的應用范文

前言：我們精心挑選了數篇優質微分方程在化學中的應用文章，供您閱讀參考。期待這些文章能為您帶來啟發，助您在寫作的道路上更上一層樓。

第1篇

（鄭州工業應用技術學院，河南 鄭州 451150）

摘 要：微分方程的研究對于數學、物理等各方面的研究都具有重要意義.微分方程的應用在我們日常生活中常常會存在，其應用范圍具有相關的廣泛性.通過對微分方程的研究可以使我們更好的了解生活中的動態變量問題，從而使我們能夠實現動態角度的分析，將生活研究更加真實化準確化.一類微分方程是微分方程中形式較為簡單的方程結構，對一類微分方程的解及解的導數進行研究，對我們學習微分方程具有重要作用.本文通過對一類微分方程的求解和一類微分方程解的導數的角度，探討一類微分方程的解及其解的導數與不動點的關系，從而幫助我們更好地進行微分方程的學習.

關鍵詞 ：一類微分方程；方程解；解的導數；不動點

中圖分類號：O175.8 文獻標識碼：A 文章編號：1673-260X（2015）05-0001-03

微分方程作為數學學科的分支，在現實生活中的應用十分廣泛.微分方程知識在物理學中的許多變量問題的求解中均有涉及，在化學中的動態變化中也有運用.此外，微分方程還廣泛地應用于工程學、經濟學等諸多方面.一類微分方程是形式相對簡單的微分方程，通過對一類微分方程進行研究，可以更好地幫助我們進行多元微分方程的研究，強化我們的數學基礎.同時也有助于相應物理學、化學、工程學等學科問題的研究和解決.因此，對一類微分方程的相關特性進行研究具有重要意義，是實現各領域研究的基礎.

1 微分方程的相關基本定義

微分方程指的是由未知函數的導數與自變量之間形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式兩邊成立的函數.微分方程具有十分廣泛的應用，在物理學中許多涉及到動態的變化量的研究常用到微分方程.包括涉及到變力的動力學和運動學等，例如受到空氣阻力的落體運動都可以利用微分方程進行求解.

當未知函數是一元函數時，未知函數導數與自變量之間的關系等式即為一類微分方程，也稱常微分方程.當未知函數為多元函數時，未知函數導數與自變量之間的關系等式稱為偏微分方程.微分方程的數學模型如圖1.

2 一類微分方程的解與不動點

假設某一類微分方程形式為M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左邊部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy為某個二元函數T(x,y)的全微分，則可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為全微分方程，二元函數T(x,y)為該全微分方程的原函數.

如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一個原函數，則對全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0進行通積分，可得到全微分的通積分T(x,y)=A，其中A為任意的常數[1].

如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次數為k的多項式,則對于方程非零亞純解f（x）的k－1階導數f（k-1）（x）有無窮多個不動點，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ至多有一個例外解f（x）.

通過對微分方程進行方程假設和窮級轉換，在非零亞純函數的變化下，通過極點等數據方程轉化，構建微分方程的等式典型乘積或通過多項式建立，對方程等式進行數學歸納.在對數測度為有限的集合條件中，通過范圍假設，引理帶入運算，建立相應的解集表達式.通過微分方程的解集表達式，進行方程式的解集求導，獲取一類微分方程的解的一階導數.對解集等式和解集一階導數式進行變形，并代入上述引理等式中，通過變形轉化和數據假設推斷，從而得到不動點的關系等式.

5 結束語

綜上所述，通過對一類微分方程進行求解和解的導數與不動點之間的關系研究，指出受微分方程的制約影響，一類微分方程的不動點密度與解和解的導數情況有著密切的關系.對一類微分方程的解進行分析以及解的導數情況進行分析，從而分析一類微分方程解與解的導數與微分方程不動點之間的關系，從而更好地幫助我們進行微分方程的學習以及高階層微分方程的研究，從而將微分方程的數學知識應用到更多的領域，幫助各領域研究人員進行動態量的研究，從而提高各領域的應用水平的發展以及社會技術的發展和提高.目前，我們對于一類微分方程的解與解的導數和微分方程不動點之間的關系研究還不深入，因此希望后期更多研究者對微分方程進行更加深入的探討和研究.

參考文獻：

〔1〕金瑾,石寧生.一類微分方程的解及其解的導數與不動點的關系[J].數學的實踐與認識,2011,41(22):185-190.

〔2〕石東洋,劉玉曉.一類微分方程的非協調元超逼近性分析[J].河南師范大學學報（自然科學版）,2010,38(3):175-178.

〔3〕梁霄,翟延慧.經濟系統中一類微分方程模型的Hopf分支[J].伊犁師范學院學報（自然科學版）,2012,10(4):8-12.

〔4〕何力爭.一類微分方程的特解問題[J].科學技術與工程,2010,10(6):1484-1485.

〔5〕姚慧麗,卜憲江,宋曉秋等.一類微分方程的指數增長的溫和漸近概自守解[J].哈爾濱理工大學學報,2014,19(5):23-26.

〔6〕王鵬珍.一類微分方程適度解的存在性[J].科技信息,2013,11(18):503-504.

第2篇

關鍵詞：多媒體教學 常微分方程 Maple Matlab Mathematica

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1007-3973（2012）012-159-02

近年來，多媒體教學在高等數學教學中得到了廣泛應用，成為了高等數學教學必不可少的輔助教學手段。常微分方程作為高等數學的重要課程，長期以來沿襲著傳統的教學模式，使得教師盡管在教學重點與難點上耗費了許多精力。

1多媒體教學在常微分方程教學中的優勢

通常情況下，在常微分方程的課堂教學中主要都是以給出方程的解法為主，這里所指方程解一般都是解析解，但是由于很多方程都沒有解析解法，故此只能給出相應的定性理論分析。由于常微分方程本身的抽象性，使其方程解所對應的積分曲線顯得過于抽象，這為學生進一步了解與之相關的概念增添了一定的難度。若是能夠在課堂教學的過程中，采用一些直觀形象的圖形，則可以使學生對常微分方程的解以及與之相關的概念了解的更加透徹，這有利于提高教學效果和教學質量。然而，在大多數院校中，常微分方程的教學始終都沿襲著一塊黑板、一只粉筆的教學模式，在這種教學模式下，學生對于一些難以理解的概念和圖形常常會束手無策，這在一定程度上打消了學生的學習積極性和主動性，教學效果不盡人意。為此，必須打破這種傳統的教學模式，多媒體教學的出現為解決這一問題提供了有利條件，其在常微分方程教學中的優勢具體體現在以下方面：（1）教學信息量得以顯著增加，進而使課堂教學效率大幅度提高。多媒體教學手段在常微分方程教學中的應用，可以使教師將更多的時間和精力花在雙邊教學活動中，這無形中增大了信息的傳遞量，有助于拓寬學生的知識面，使其能夠在課堂上學到更多的知識；（2）有效地增強了教學的生動性和直觀性，大幅度提高了學生的學習興趣。多媒體教學課件能夠將圖形、文字和聲音有機地融為一體，使原本抽象的問題，變得直觀、形象，這樣學生對課堂教學的內容更容易理解和掌握，并且也有利于激發學生的學習興趣。

2多媒體教學在常微分方程教學中的具體應用

2.1 Maple在常微分方程教學中的應用

Maple是一款可用于進行數值計算和圖形處理的數學軟件，該軟件具有極其強大的功能，如計算、繪圖和仿真等等。可以通過Maple軟件來研究常微分方程的數值解法，并以其強大的繪圖功能來演示幾何特征較為明顯的概念，如奇解等等。這有助于學生更加深入地了解并掌握常微分方程求解的方法。教師以這種形象生動的教學方式更容易吸引學生的注意力，便于學生對常微分方程理論知識的了解和掌握，而且還可以將理論與實踐有機地結合到一起，使原本抽象的課程變得生動形象，學習難度大幅度降低，教學效果和教學質量得以顯著提高。高校在常微分方程的教學中，幾乎都是先學習一階常微分方程的解題方法，而初等積分法則是最為常用的方法之一。雖然初等積分法可以求出常微分方程的解，但是卻并不能求出常微分方程全部的解，而且想要通過求積分將方程的解以函數的形式表示出來也是很難實現的，這對于初次接觸常微分方程的學生而言，很難真正理解其中的一些概念，如積分曲線、方向場以及等傾線等等。而借助Maple軟件則能夠有效地解決無法用初等積分法求解的常微分方程。

例1 ：求=x+y這一常微分方程的通解。運用Maple軟件的解題步驟如下：

首先鍵入 這一命令；

然后再鍵入 。

由以上操作便可以得到一個含有常數項CI的通解，若是給該解制定一個特定的值，則可獲得特解。如果初始值y（0）=2，那么Maple的命令為：

；

最終得出的結果為 。

要是還需要畫出該方程的解，則可在Maple中鍵入以下命令：

；

其結果為 ；

再通過 這一命令便可以獲得常微分方程解的圖形。

2.2 Matlab在常微分方程教學中的應用

Matlab是一種應用于計算數值和處理圖形的數學軟件，它構建了一個簡單便捷的交互式工作環境，將計算、程序設計和可視化集于一體，具備設計應用程序、符號運算、原型開發、工程計算、數據分析及可視化、算法研究、工程繪圖等諸多功能。Matlab內提供了有利于求解高等數學問題的命令，如求解積分、導數、常微分方程（組）解、微分的命令，以及有利于繪制多種二維、三維圖形的繪圖命令。所以，Matlab已經成為部分高等應用數學課程實施多媒體輔助教學的有效工具。在常微分方程教學中，教師可以應用Matlab講解常微分方程的數值解法，也可以利用繪圖命令對某些概念的幾何特征進行演示。如，將Matlab應用于奇解的幾何意義解釋中。

例2：數值試驗二方程 的通解為 ，奇解為 。為了準確解釋該奇解的幾何意義，可在對c選取特殊值的基礎上，利用Matlab代碼繪制積分曲線族和奇解的曲線。

2.3 Mathematica在常微分方程教學中的應用

目前，Mathematica是全球應用最為廣泛的一種符號計算系統，它具備多種功能，如符號與數值運算、動畫制作以及繪制數學圖形等等，該系統以其自身強大的功能被廣泛應用于航空航天、機械制造、數學、化學、物理以及社會學等諸多學科領域當中。就常微分方程而言，其屬于較為抽象的一門課程，由于這門課程本身的抽象性，給教學增添了一定的難度，如何進一步提高該課程的教學質量，一直是教師們努力的方向。Mathematica軟件在該課程中的應用使諸多教學難點迎刃而解，如借助該軟件的數值計算和繪圖功能，可以讓學生進一步了解某些常微分方程的性態，并且還可以運用該軟件的符號計算功能直接對常微分方程進行求解。此外，利用計算機和相關的數學軟件還可以進行常微分方程實驗，這樣一來，學生既能動手操作，又能動腦思考，有效地激發了他們的學習興趣，進而促進了學生獨立思考和綜合應用能力的提高。下面簡要介紹Mathematica軟件在方向場、積分曲線與微分方程的近似解中應用。在=f（x，y）這一微分方程中，其積分曲線是始終順著線素場行進的曲線，由此可知，每一個點都會與線素場相切。如果在方程不可積的情況下，那么便可以按照線素場的實際走向來求出最為近似的積分曲線，并且還可以按照線素場自身的性質來對微分方程解的性質進行研究，在這一過程中，并不需要提前求出方程的解，該解題思路完全符合定性理論和近似解法的思想。然而，在實際解題過程中，由于方向場的圖形比較復雜，若是采用手工制圖的方法不僅費時、費力，而且還很難得出規范的圖形。而借助Mathematica軟件來輔助教學便可以使該問題迎刃而解。

例3：在求微分方程 的方向場時，便可運用Mathematica軟件來完成，具體步驟如下：

打開Mathematica后，輸入

運行后便可獲得圖2。

3多媒體教學在常微分方程教學中應注意的問題

將多媒體教學應用于常微分方程教學中，轉變了“黑板+粉筆”的傳統教學模式，在提高常微分方程教學效率方面發揮著不可替代的作用。但是，教師在運用多媒體輔助教學技術的同時，也應當處理好教學中容易出現的幾個問題，正確看待多媒體教學的利弊關系。

3.1處理好教學內容與教學時限的關系

常微分方程課程具備內容豐富、信息量大的特點，在教學過程中，不僅要確保教學內容符合學生的認知規律，使學生能夠理解知識、應用知識，還應當在運用多媒體教學手段的基礎上，充分利用有限的教學時間講清教學重點和難點，保證教學內容與課件的有效銜接，力求在教學時限內幫助學生掌握學習重點與難點。

3.2處理好知識傳授量與知識吸收量的關系

多媒體教學可以最大限度地擴充教學信息量，使教師在節省黑板板書時間的情況下講授更多的內容。但是，教師若不能很好地控制多媒體教學節奏，則會讓學生思維滯后于教學節奏的變化，使得知識吸收量遠遠小于知識傳授量。因此，教師應當把握好多媒體教學的合理停頓，給予學生充足的記筆記時間和思考的時間，并適當結合板書教學，幫助學生理解和掌握教學難點。

3.3處理好多媒體教學與傳統教學的關系

隨著計算機在我國各大院校的普及應用，為多媒體教學提供了一個良好的平臺。雖然多媒體教學有著傳統教學方法無可比擬的優越性，但其也存在一定的局限性。如何處理好多媒體教學與傳統教學方法這兩者之間的關系，是應用多媒體教學時需要解決的首要問題之一。在傳統的常微分方程教學中，應用多媒體教學的最終目的是要將兩種教學方法的優點都充分發揮出來，這樣才能使課堂教學效果和質量有所提高。在具體應用中，教師應當按照學生反饋回來的意見，對多媒體課件進行修改，并在課堂教學中恰當地將這兩種教學方法結合在一起，發揮出各自的優勢，揚長避短，進而達到提高教學質量和教學效果的目的。

參考文獻：

[1] 鎮方雄，陳將宏.常微分方程CAI教學課件的研制及其在教學中的應用研究[J].咸寧學院學報，2011（6）.

[2] 王玉文，王金鳳，劉萍.多媒體教學在常微分方程教學中的應用[J].繼續教育研究，2010（2）.

[3] 李浩榮，竇雯虹，童訓化.“常微分方程”課件設計與教學實踐[J].高等理科教育，2004（4）.

[4] 閆金亮.Matlab在常微分方程教學中的應用[J].武夷學院學報，2012（2）.

第3篇

關鍵詞：常微分方程；可解類型；成本和利潤核算

常微分方程是代數中最簡單但是亦是最重要的一類方程組，常微分方程是我們在解決日常經濟生活問題中非常重要的工具，常微分方程的作用也非常之多，比如在航天領域、自動化領域、電子通信領域、化學反應研究領域等，科學前沿的方方面面都需要用到常微分方程來解決研究中的問題。許多難解的問題，解法中的式子最后都能化成常微分方程，所以常微分方程對于計算數學是極其重要的。遇到問題時，我們需要在已知條件中找出已知數和未知數的關系，并利用已知的關系列出方程，然后進行求解，逐步推出我們需要的未知數的值。

常微分方程式在經濟學中的最重要的應用是其在公司成本與利潤核算中的應用，成本與利潤的常微分方程雖然簡單易懂，但是其突破了傳統的計算能力，運用計算機的運算能力，在短時間內可以完成人力幾天甚至幾個月的工作量，是現代科技力量對商業最大的貢獻之一?？梢哉f這一方程式在計算機中的運用是商業核算精準化和便捷化的最大保證，帶來了現代商業會計核算、審計核算的革命。

數學知識運用到商業是古已有之，但是微分方程在商業計算中的應用，只能計算到資本市場的完全興起，我們了解的最著名的例子莫過于電《大空頭》里幾位銀行家合作做空資本市場的舉動，雖然電影演繹的精彩絕倫，妙趣橫生，但是現實中的事實遠比電影來的精彩。2007年-2008年之前，john Paulson作為一個籍籍無名的對沖基金經理人，與華爾街精英圈無緣。在他四十歲的時候成立自己的基金公司，經過十年的默默打拼，2003資產規模才達到15億美元，這在精英云集的華爾街連二流都算不上，當然這是他還沒遇上他的同學Paolo Pellegrini之前，2004年10月，兩人才正式合伙，雖然Paulson當時只給了Pellegrini一個初級分析師的職位，但是對于畢業于哈佛大學的Pellegrini來說這已經足夠了。當第一次Pellegrini向Paulson建議用CDS工具做空美國房地產時，相信Paulson也是驚詫不已的，但是Pellegrini在大量基礎研究的基礎上，通過大量的模擬計算，說服了自己的老同學同時也是自己雇主的Paulson，Pellegrini向Paulson展示的美國房地產走勢圖，像一張藏寶圖一樣展示在他的面前，讓他看到了做空美國房地產的美好前景和巨額利潤收入。

沒有微分方程的大規模運算和Pellegrini精準的分析頭腦，把一張市場走勢圖擺在任何人的面前，他們都無法看到里面蘊藏的巨大財富。Pellegrini作出那張美國房地產走勢圖被譽為價值“200億美金”，可想而知。

后來，在現實生活的應用中，人們又發現，往往解決問題并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程組在什么情況下會出現什么類型的解，就能滿足一些生產生活的需要了。比如，給定一個方程，我們需要知道該方程在什么情況下存在解，什么情況下不存在解；或者，在給定方程的前提下，能夠知道在什么條件下能求出幾組通解，而哪些通解是對于我們求出所需特解有價值、有作用的。往往我們現在關注的多是這樣的問題，而不僅僅限于尋找微分方程的解上。常微分方程的作用非常之多，比如在航天領域、自動化領域、電子通信領域、化學反應研究領域等，科學前沿的方方面面都需要用到常微分方程來解決研究中的問題。研究常微分方程的新的可解類型，是幫助我們在各個學科中，處理難題，突破難關的重要途徑。所以我們需要對常微分方程的新的可解類型進行更深的研究，通過對方程組的解析來促進各個學科的蓬勃發展。

在經濟學領域中，分租制和定額制在現代商業公司管理中作為兩種最基本的管理模式的根本，受到各種研究者的青睞，要想分清這兩種模式那個更加實用高效，必須用到常微分方程的計算方式，這也是數學對現代經濟學的巨大貢獻之一，計算出了分租制和定額制的優劣之后，現代公司才可以在此基礎上選擇適合本身的管理模式，才會衍生出現代意義上的國有公司，股份制公司，人公司和有限責任公司等各種形式，讓我們明白了商業市場的運行子單位是怎樣的構成部分。

許多微分方程要求求出方程的近似解，并且保證一定范圍內的精確度就可以，人類的科技在不斷發展，所需要的精確度也會越來越高，而隨著數學學科的進步，能夠求出的精確度也會越來越高，才能適應其他學科對于數學手段的需求。尋找常微分方程的新的可解類型是研究微分方程的科學家們、數學家們一直努力的目標。目前，已知的可解類型并不多，在變化眾多的方程組中，目前已知的可解類型相比之下，還是屈指可數的，還需要通過大量的研究才能判斷和解決其他的可解類型的常微分方程。

結束語：微分方程就是指未知數以導數的形式與已知數產生關系，也就是說，在微分方程中未知數是以導數形式存在的。這樣的方程的求解過程可能非常復雜，對于求解的方法要求比較特殊。我們就可以利用微積分的知識求出一些微分方程的近似解。常微分方程的作用非常之多，是我們在解決日常經濟生活問題中常用的一種手段。常微分方程的運用在的幫助下經濟領域中取得了很大的進步，是企業的很多工作變得簡單、清晰，在常微分方程的幫助下人們對經濟規律認識精確度有了很大提高。尤其是近年，常微分方程在生活，經濟領域的運用也越來越多。常微分方程作為輔助手段，讓管理科學和經濟科學的研究做到了簡潔和精確。著名的數學家華羅庚先生就是將經濟數學理論與生產實踐活動很好結合的典范。數學方法，特別是常微分方程進入入經濟科學的領域，成為了研究和分析社會經濟現象與社會經濟發展的有力工具。

（作者單位：沈陽師范大學）

參考文獻：

[1] 一類新非線性常微分方程的可積判據-湯光宋，潘小群-《Academic Forum of Nan Du：naturalences Edition》-2001；