沖擊減振器對能量耗散的分析范文

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《機械工程學報》2014年第十二期

1基本特性分析

如圖1所示，左側是一個二自由度彈簧－質量線性主結構。假設該結構各質點的質量和彈簧剛度分別是：m1=m2=2kg，k1=k2=20N/m。根據線性振動基本理論，可得主結構的固有頻率和相應的振型：ω1＝1.954rad/s，ω2＝5.117rad/s，式中，假設ωf=2.0rad/s，這可使激勵能量主要集中在結構的第一階共振頻率附近。圖2是外擾力時間歷程曲線。經過大約30秒左右的時間，外激勵已基本消失。為了控制主結構的最大變形以及動應力，抑制其響應，我們在主結構的右端，附加一個沖擊減振器，見圖1所示。通常將沖擊減振器的動力學模型簡化成一個質點m3，通過一個軟彈簧k3與主振結構相連[7-9]。根據以往對沖擊減振器的研究結果[9-11]，假設其設計參數為m3=0.05×m2=0.1kg，k3=0.01×k2=0.2N/m，碰撞恢復系數Rc=0.6，碰撞間隙e=0.3m。安裝沖擊減振器后，質點(自由度)2和3會發生非彈性碰撞，導致質點2、3的速度發生突然改變，由此可耗散主振動系統的一部分機械能。即碰撞伴隨有系統振動能量(動能)的轉移和損耗。除了碰撞發生時刻以外，整個系統仍是一個線性系統，可按線性振動基本理論分段描述其響應歷程。此時系統的振動方程：比較附加沖擊減振器前、后系統的頻率和振型可知，此時的第一階固有頻率主要描述沖擊減振器的局部運動。由于在沖擊減振器中未引入阻尼，因此相應的阻尼率非常小，該振動分量衰減會很慢。而第二、三階頻率以及模態阻尼率與主結構的原有值基本相同。分析整個系統響應的關鍵是確定沖擊減振器碰撞發生的準確時刻，以及各質點的速度變化情況。碰撞發生時，質點2和3的相對位移應滿足以下條件：式中，上標()分別代表碰撞前、后，各質點的速度項。由于碰撞過程中的動量守恒，可得碰撞后的兩個質點的速度值[8-10]：以往，人們曾試圖采用線性振動理論的分析方法，分段給出系統位移響應的解析表達式[3,4]。然而，由于碰撞過程的復雜性，實際上難以獲得碰撞的準確時刻，因此也無法獲得系統響應的準確表達式。本文采用自適應步長4階Runge-Kutta數值方法，計算系統的位移響應，確定碰撞發生的準確時刻，以及各質點振動速度的變化情況。進而從能量角度，闡述振動能量的轉移、擴散和損耗規律，研究振動響應的衰減機理。文獻[8,9]利用小波變換譜，只是定性地描述了能量的轉移和擴散現象。圖3是附加沖擊減振器前后，質點x2的位移響應曲線。附加沖擊減振器以前，經過100s的時間，振動響應仍然還很顯著，響應持續時間遠遠超過外激勵的有效作用時間。而附加沖擊減振器以后，雖然結構未增加其他阻尼，但振動響應卻能夠快速衰減。這得益于減振器與結構連續地發生碰撞，從而不斷消耗振動能量的結果。x2的最大位移得到抑制，從0.6665m降到0.5929m，降幅達11.0%。經過大約100s的時間，x2的位移響應已得到有效衰減。由圖3可見，在響應后期，x2的運動周期拉長，響應逐漸向第一階模態過渡，振動能量集中于m3的局部運動，因此響應衰減緩慢。同樣，x1的最大位移也能得到控制，從0.4132m降到0.3789m。

2振動能量耗散分析

當兩個質點發生碰撞時，由動量傳遞而引起這兩個質點的速度發生突變，即碰撞前后系統的動能將在各質點間出現轉移。每次碰撞會造成系統的動能有一定的損耗：式中，Ed是每次碰撞系統動能的損耗量。由上式可知，每次碰撞造成的振動能量損耗量，與發生碰撞的兩個質點的相對速度有很大的關系，此外還與沖擊減振器的質量及其恢復系數有關。但是，沖擊減振器的質量和恢復系數受客觀條件限制，一般只能在一定范圍內合理取值。表1示出了在響應的不同時段，在碰撞發生時刻，系統動能的變化情況。在開始階段，外激勵不斷輸入能量，振動響應逐漸增大。于是碰撞很快發生(經過半個最大周期)，而且消耗的能量也較大，這對于抑制位移響應的快速增大非常有必要。在響應后期階段(40秒以后)，外擾力幾乎消失，不再給系統輸入能量，因此系統的振動能量在逐漸減少。由碰撞引起的能量損耗量也在不斷減小。比較表1中碰撞引起的能量消耗可以發現，振動能量的損耗并非是一個常值，而且與碰撞發生前系統的動能(或速度)關系不大。例如，第5次(開始階段)或第28次(后期階段)碰撞前的動能雖然都比較大，但碰撞引起的振動能量損耗卻相對較小。此外，不論是在響應的開始階段和還是后期階段，發生碰撞的時間間隔也并是固定的。這無疑也增加了解析計算響應的難度。表2列出了在碰撞發生時刻，系統的模態動能變化情況。比較碰撞前后結果可以發現，響應開始階段，碰撞引起系統的動能，在各階模態間相互轉移，使振動能量重新分布。這使得系統所有振動模態都能夠被激起，避免了振動能量集中在結構的某一階模態上，從而使響應能夠在各階模態上同時減，加快響應衰減速度。這有利于減小結構的最大變形，防止結構出現損傷。在響應后續階段，系統基本處于自由振動狀態，振動能量主要從第一、第二階模態向第三階模態擴散轉移。由于高階模態的阻尼率比較大，這同樣也可以加快系統響應衰減的速度。可見，正是由于沖擊減振器連續不斷地碰撞，才使主結構的黏性阻尼充分發揮了作用。如果沒有碰撞發生，線性振動系統模態能量幾乎不發生轉移和擴散，結構的響應主要以一種模態運動的方式緩慢衰減。圖3所示原結構的響應歷程正是如此。系統中，由黏性阻尼消耗的振動能量Ec可按下式計算：采用數值積分方法，可以計算主結構內由黏性阻尼消耗的能量。圖4分別是由黏性阻尼和減振器消耗振動能量的歷程。可見，最終由黏性阻尼消耗的振動能量是沖擊減振器的2.67倍，沖擊減振器消耗的部分較少。有必要調整沖擊減振器的設計參數，增大其消耗振動能量的能力，以期更快地抑制結構的響應。另外，從圖4可以看出，當響應超過約100s以后，碰撞不再發生。此時，結構振動響應水平已經很小，見圖3所示。

3增加沖擊減振器的耗能性能

由沖擊減振器一次碰撞造成的能量損耗公式(10)可知：減小其恢復系數Rc，或增加沖擊減振器的質量m3，都能增大碰撞造成的振動能量損耗，加快響應衰減速度。若減振器的質量保持不變，可減小其恢復系數，如令Rc=0.4。圖5分別示出了系統的響應和振動能量消耗歷程。此時，x2的最大位移下降到0.5766m，降幅達13.5%。經過大約70s，x2的響應基本得到抑制。而且由減振器碰撞消耗的能量部分有明顯增大，沖擊減振器的抑振能力有了顯著提高。圖6是附加沖擊減振器前后，質點x2位移響應譜。可見，在共振頻率ω1＝1.954rad/s附近，抑振效果最明顯。當激勵頻率在ωf=1.5~2.5rad/s范圍內發生改變時，沖擊減振器仍然能夠有效抑制響應的最大變形，具有較強的抑振穩健性。反之，若保持沖擊減振器的恢復系數不變Rc=0.6，但增加其質量m3=0.1×m2=0.2kg。圖7顯示系統的位移響應和振動能量消耗歷程。可見，由減振器碰撞消耗的能量顯著增大，特別是在系統的初始階段(t≤20s)。此時，x2的最大位移下降到0.5335m，降幅達20.0%。經過大約50s，結構的響應既得到有效抑制。沖擊減振器的抑振能力也有了很大的提高。比較圖5與圖7可以看到，增加質量的減振效果更加顯著。

4結論

本文采用數值方法，通過對一個典型的二自由度結構，附帶一個沖擊減(吸)振器后的瞬態振動響應衰減歷程進行模擬計算，展示了沖擊減振器的速抑振效果，得到了系統的振動能量變化情況。分析了在碰撞發生時刻，動能的轉移、損耗和擴散規律。這對探索沖擊減振器快速抑制結構瞬態響應的機理，指導沖擊減振器的設計，都具有重要的實際意義。數值研究結果表明：(1)在碰撞發生時刻，非彈性碰撞不但可以消耗一部分振動能量，還可使振動能量從低階模態向高階模態擴散轉移，這對充分發揮和利用結構本身的阻尼性能，加快結構響應的衰減速度非常有益。(2)由碰撞引起的振動能量損耗，與碰撞前物體的振動速度關系不大，而且碰撞發生的時間間隔也并不相等。沖擊減振器質量越大，或恢復系數越小，其耗能速度越快，減振效果更好。(3)當激勵頻率在一定范圍內發生改變時，沖擊減振器仍具有較強的抑振穩健性。

作者：王棟單位：西北工業大學航空學院西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室