角概念的再認識及教學策略范文

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摘要：數學中的“角”將學生的思維從一維拓寬到二維，為了使學生更好地學習，教材特意將“角知識”分布在兩個學段，形成知識螺旋。通過對角概念的再認識，提出了角概念的四個教學策略，有利于提高教學效果。

關鍵詞：知識螺旋；角概念；角教學

小學數學教材多次出現知識螺旋的內容，同類知識編排在不同的年級學習，是為了學生更好地理解與掌握。“角”就是這樣一個知識，這樣的安排，是考慮到小學生的認知發展正處于初步邏輯思維期，即從表象性思維的概念化活動逐步過渡到概念性思維的階段。數學中的“角”將學生的思維從一維拓寬到二維。學生學習這個內容，是對“生活中的角”（如：角落，牛角）認知上的一種數學化剝離，也是學生進一步認識平面幾何、立體幾何乃至理解數學、認識世界邁出的重大一步。然而在教學實踐中，我們經常看到角教學中存在一些問題：有些教師重視角的結構特征，卻忽視角概念的作用與價值，以至于學生對角的認識不夠到位；有些教師對教材呈現的兩種定義理解不深，以至于學生對角的認識不夠全面。那么，教師該如何幫助學生準確地理解“角概念”？如何高效地研究“角教學”呢？

1角概念的本質含義

1.1角的定義

教材對“角”進行了如下兩種定義：（1）定義一：從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。（2）定義二：角可以看作由一條射線繞著它的端點，從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。我們不難看出：定義一是從角的“結構特征”引發的，我們稱之為“靜態定義”；而定義二則是從“旋轉運動”引發的，我們稱之為“動態定義”。這兩種定義均采用發生式定義方式，闡述的緯度雖不同，但都緊緊抓住角的本質內涵進行闡述。角的定義還有很多，我們又找到了如下幾種定義：（1）角是由兩條公共端點的射線所組成的圖形（浙教版《七年級數學》）。（2）稱圖形為角，角由兩條線段所夾部分組成，這兩條線段的一個端點重合；稱這兩條線段為角的邊，角的大小與邊長無關（史寧中）。（3）平面角是在一平面內但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度（歐幾里得《幾何原本》）。為什么小學教材不選用這些定義進行描述呢？我們認為定義（1）的思維起點是射線，關注的是兩條射線的一種特殊位置關系———具有公共端點，這是一種比較高階的思維。相較而言，教材選用的定義一突出從“點”引發“射線”的序，一方面把射線分解成“點”和“線”，另一方向突出了射線的形成過程，這樣就顯得更加細膩，也更適合小學生的年齡特點和心理需求。定義（2）著眼于“線段”，關注的是“所夾部分”，雖說明角的大小與邊長無關，但以“射線”作為素材應該更為簡約。定義（3）站在“平面角”的高度來詮釋角，對于小學生來講太過抽象?；谝陨蠈Ρ?，我們認為教材給出的兩種定義更符合小學生的年齡特點和認知水平。靜態定義能很好的呈現角的形成和構造，動態定義則拓寬了學生認識事物的眼界，這是上述幾種定義無法比擬的———射線在繞端點旋轉運動的過程中，學生對圖形的感知從一緯拓寬至二維，改變了以往靜態識圖的經驗；這種運動引發了角大小的變化，形成了許多不同的角，所有的角都可以在這個運動中定格。這樣，兩種定義相互作用，以“靜”智“動”，促學生智力的提升，更利于他們全面的認識、理解和掌握角的本質。

1.2角概念的呈現角的概念

第一次呈現是在二年級上冊：“角是由一個頂點，兩條直直的邊組成”。雖然沒有給出明確的定義，但學生通過觀察、操作、尋找等活動，已經朦朧地建立了角的概念，這種概念是建立在具體之上的抽象。數學來源于生活，又高于生活，學生能夠區分生活中的角和數學中的角了。與此同時，這部分內容的學習也為四年級再認識角積累了一定的數學活動經驗。角的概念正式呈現是在四年級上冊，靜態定義出現在學生學習了“線段、射線、直線”之后。借助該定義，學生就能站在數學的角度來解釋“為什么角的兩邊需是直直的？為什么角的大小跟兩邊長短無關？”因為角的兩邊是射線。由此可見，角的大小原來也是立足于角的概念的。如此迂回教學，螺旋上升，概念升華，符合小學生的認知發展規律。動態定義出現在“角的分類”一課中，是為引出平角和周角的概念鋪設的。此定義打破了靜態定義的局限，是對靜態識角的一種突破和重構，是學生理解和構建角的概念的一種高度抽象，并抽取出概念的本質。

2角概念的教學策略

在研究角教學之前，我們有必要先對“角教材”進行梳理。我們看到，角概念遍布于角教學的各個環節，站在角概念的高度來指導角教學，可以起到事半功倍的效果。深讀教材，我們發現教材在兩個學段主要設置了“識角”和“畫角”這兩個趨同任務，且編排時具有形式上的相似性和知識上的遞進性。我們認為，它們是學生理解“角概念”，掌握“角知識”最重要的載體。那么，怎樣才能凸顯角概念的本質，使角的教學更顯張力呢？

2.1策略一：站位靜態定義，讓“指”成為學生初步識角的強化劑

學生初步認識的角是從物體中“抽象”出來的，教師應該及時引導他們“指一指”，順序如下：“一個頂點（手指頂點），兩條邊（手從頂點出發，一條邊一條邊地指）。”在這樣的找角、說角的過程中，“說”與“做”相結合，語言與概念互滲透，角的靜態定義自然滲透，角的各部分名稱不斷強化，自動化，直至內化，悄然無聲。我們認為，這種指角、說角的活動不應成為第一課的專用，且需要經常使用。學生初學直角、銳角、鈍角時，需要學生“指一指”；學生在畫完角后，也需要學生“指一指”。這樣處理，借助“指”的動作思考和“說”的發聲思考，采用多元表征來完善學生對角知識的建構。我們認為，“指”角活動適用于以直觀形象思維為主的低年級學生，在指的動作中，學生能較直觀地認識角的“結構特征”；在指的順序中，學生初步建立了角的概念。當然，“指”這個活動應該貫穿于第一學段，以此來達到學生對角概念的動作建構和意義上的初步理解。

2.2策略二：站位靜態定義，讓初步畫角的技能有章可循

第一學段，教師可以按指角的順序指導學生畫角：“先畫一個點（作為角的頂點），再畫一條線（作為角的一條邊），在另一個方向上畫一條線（作為角的另一條邊）?！碑嫿羌寄艿谋澈?，折射的就是角的靜態定義。通過課前訪談，許多學生能借助三角尺畫角，但其畫的步驟各不相同：有的學生沒畫頂點，有的學生畫邊的順序倒置。因此，在課堂上，教師應該站在靜態定義的高度來指導學生畫角的技能，意義重大。我們認為，這樣處理將概念本質與操作形式緊密地結合起來，借以概念促技能的達成，并以技能強化概念的理解，兩者相輔相成，互助互利。

2.3策略三：站位動態定義，提升學生對“角標記”的認識教材

在第一學段只編排了“直角標記”，但銳角和鈍角的標記（角兩邊之間的弧線）第一次出現卻在第二學段（靜態定義呈現時）。那么，教師該怎樣認清“角標記”的本質呢？我們認為，角標記是角概念不可或缺的一部分，理解角標記有助于學生更全面地理解角概念。學生在學習靜態定義之后，教師可以引導學生這么理解，“從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角”，而這條弧線（角標記）正好是“兩條邊和一個頂點組合的產物”；在學習動態定義之后，教師可以讓學生理解角可以看作由一條射線繞著它的端點，從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。為此，銳角、鈍角的標記不一定非得用弧線，帶箭頭的弧線更能看出這個角的形成過程，即從哪個“起始位置”旋轉到哪個“結束位置”?；谶@樣的定位，我們認為用帶箭頭的弧線作角標記不僅適用于平角和周角，而且還適用于其它類型的角，對于擁有這個知識層級的孩子來講，也是能夠理解的。

2.4策略四：站位動態定義，突破量角器畫角的教學瓶頸

眾所周知，用量角器畫角是學生操作技能上的難點，主要體現在角的“終邊”畫錯。分析錯誤原因，其根源是學生沒有掌握好量角器讀數的技能。如：讀內圈還是外圈不清？比整十多2°還是少2°不明？那么，怎樣幫助這些學生度過難關？我們認為，站在“動態定義”的高度來幫助認識、理解、使用量角器，可以很好地幫助學生形成正確讀數技能，掌握準確畫角的方法?！敖强梢钥醋饔梢粭l射線繞著它的端點，從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。”在教學讀數時，教師就應該強調其“開始位置”，即0°刻度線，然后沿著旋轉方向依次尋找———可能是順時針，也可能是逆時針，只要從0°開始由小到大，就能準確找到“結束位置”所在的刻度。掌握了讀數技能，畫角的難點自然迎刃而解。我們認為，這樣處理，其實就是把“隱性”的操作步驟“顯現化”，把動態的定義具體化，有利于幫助學生建構正確的操作技能。通過對教材螺旋式編排的解讀，我們對不同的學段出現的”角知識”有了更深入地理解。以“靜”智“動”，體現了教材在編排上的坡度，激發學生智力上的提升。梳理知識間的脈絡，理清知識間的關系，站位“角概念”，研究“角教學”，用后繼的數學概念指導著“識角”和“畫角”等教學活動，我們似乎有一種高瞻遠矚的感覺。在概念的指引下，教學活動變得有的放矢，學習活動變得緊密有序，學生可以在嚴密的數學知識鏈中更好地暢游。

參考文獻

[1]王春陽.教材螺旋式編排的分類及學習對策[J].化學教與學，2014（10）：54-55

[2]傅琳.發生式定義的概念教學初探[J].上海中學數學，2016（10）：44-46.

作者：朱孟迪 單位：慈溪市崇壽鎮中心小學