伸縮變換群分析及自相似解探討范文

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摘要：首先分析和探究帶有增長、聚合和破損過程的群體平衡方程；其次把伸縮變換群法用于群體平衡方程，獲得群體平衡方程所接受的伸縮變換群、自相似解、精確解和約化的常微分－積分方程；最后所獲得結果表明伸縮變換群法不但可用于偏微分方程而且可用于偏微分－積分方程．

關鍵詞：群體平衡方程；伸縮變換群法；自相似解

群體平衡［1］的概念對化學工程師、地球物理學家、物理學家、氣象學家、生物物理學家等都很重要，其應用領域越來越廣泛［1－3］，如固體物的破損或粉碎過程、微生物和細胞種群的生長或死亡過程、聚合過程、結晶和沉淀過程、基因調控過程、分散相系統等．群體平衡方程［1－3］越來越成為一個重要的研究主題，由于它的應用領域涉及較多交叉學科［2］，如環境和工程學、農業工程學、生物醫學工程學、血液學、制藥工程學、生物化學與分子生物學、形態結晶學、細胞生物學等．根據實際應用建立一個群體平衡方程并不困難，主要障礙是沒有精確求解這些實體模型的能力和方法［4－5］．由于群體平衡方程的高度非線性性和多樣性以及代數項和積分項類型的復雜性，許多群體平衡方程都缺乏精確解，因此其求解技術只能借助于數值方法［1－3］，如矩方法、差分方法等．目前，文獻［2，4－5］給出了群體平衡方程的最新應用領域和近幾年的求解技術及進展．

1方程（7）所接受的伸縮變換群

直接采用改進的李群分析法［13－14］尋找方程（7）的無窮小李對稱算子是非常棘手的問題．下面采用伸縮變換群法求方程（7）所接受的伸縮變換群，考慮伸縮變換群

2方程（7）的自相似解

2．1情形K（x，y）＝k0

對于常數核函數情形K（x，y）＝k0，利用核函數的性質（2）得到γ＝0．算子Y1對應的不變量為f，x．因此，方程（7）的解的表達式可寫成f（x，t）＝φ（x），其中函數φ滿足常微分－積分方程

2．2情形K（x，y）＝k1（x＋y）

對和核函數K（x，y）＝k1（x＋y），采用核函數的性質（2）可得到γ＝1．算子Y1對應的不變量為f，x．因此，方程（7）的解的表達式可寫成f（x，t）＝φ（x），其中函數φ滿足常微分－積分方程3結束語將伸縮變換群法用于一類帶齊次核函數的偏微分－積分方程，找到該方程所接受的伸縮變換群、自相似解、精確解和約化的常微分－積分方程，結果表明采用伸縮變換群研究一個新的偏微分－積分方程是簡潔且有效的．

參考文獻：

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［2］RAMKRISHNAD，SINGHMR．Populationbalancemodeling：currentstatusandfutureprospects［J］．AnnuRevChemBiomolEng，2014，5：123－146．

［3］YEOHGH，CHEUNGCP，TUJ．Multiphaseflowanalysisusingpopulationbalancemodeling：bubbles，dropsandparticles［M］．Amsterdam：ElsevierScience，2014．

［4］WANGKY，YUSY，PENGW．Extendedlog－normalmethodofmomentsforsolvingthepopulationbalanceequationforBrowniancoagulation［J］．AerosolSciTech，2019，12（3）：1521－7388．

［5］WANGKY，PENGW，YUSY．Anewapproximationapproachforanalyticallysolvingthepopulationbalanceequationduetothermophoreticcoagulation［J］．JAerosolSci，2019，128：125－137．

［6］CAMERONIT，WANGFY，IMMANUELCD，etal．Processsystemsmodellingandapplicationsingranulation：areview［J］．ChemEngSci，2005，60（14）：3723－3750．

［7］KAPURPC．Kineticsofgranulationbynon－randomcoalescencemechanism［J］．ChemEngSci，1972，27（10）：1863－1869

作者：林府標 張千宏 單位：貴州財經大學數統學院