半正定秩松弛的穩(wěn)健波束形成范文

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《電子與信息學報》2014年第七期

1現(xiàn)有自適應波束形成方法回顧

自適應波束形成方法可以分為向量加權自適應波束形成和矩陣加權自適應波束形成，本文首先討論向量加權自適應波束形成方法。本文主要討論Capon波束形成方法[11]：其中0q表示目標所在方位角，這個準則對系統(tǒng)誤差、指向誤差比較敏感，并且該方法只有在大樣本條件下才能有效估計信號功率。針對上述問題，文獻[12-15]提出了穩(wěn)健自適應波束形成方法，此類方法在出現(xiàn)上述誤差時可以有效估計信號功率。由于此類方法約束了指向誤差范圍，它對大于陣列零點半波束寬度的指向誤差是無效的。向量加權類方法的優(yōu)化代價函數(shù)與式(16)相似，它們是非凸優(yōu)化模型，不易求得全局最優(yōu)解。向量加權自適應波束形成方法存在上述不足，文獻[16]提出了矩陣加權自適應波束形成方法(AMA)。該優(yōu)化模型的目標函數(shù)與Capon方法的物理含義是相同的，該方法可以對方向圖的形狀有更好的約束。式(17)中的目標函數(shù)是使輸出功率最小化，約束中的第1行表示目標所在方位角的響應，第2行約束3dB波束寬度，第3行約束旁瓣電平，sY表示旁瓣范圍，第4行約束的目的是為了防止出現(xiàn)主瓣分裂，T³0的約束是由HT=WW決定的。式(17)是一個半正定規(guī)劃(SDP)，可以應用文獻[21]中的工具包求得全局最優(yōu)解。盡管矩陣加權波束形成方法可以克服向量加權波束形成方法的缺點，但是該方法系統(tǒng)實現(xiàn)復雜度比向量加權方法更復雜，基于此原因本文提出基于半正定秩松弛(SDR)方法的向量加權穩(wěn)健波束形成。

2秩1約束波束形成方法

本文采用與Capon波束形成方法相同的準則建立優(yōu)化模型，將式(16)的目標函數(shù)變。半正定秩松弛(SDR)方法就是將優(yōu)化模型中關于矩陣秩的約束除去，式(19)可以變形為式(23)的形式。式(23)是一個半正定規(guī)劃(SDP)[20]問題，并且是一個凸優(yōu)化問題，應用已有的凸優(yōu)化工具包CVX[21]可以求得全局最優(yōu)解，式(23)求得的協(xié)方差矩陣的秩并不為1。對比式(21)和式(23)兩個優(yōu)化模型，式(21)比式(23)多一個秩1約束，所以式(21)比式(23)的優(yōu)化自由度小?；诖嗽颍?21)中的主瓣形狀約束和旁瓣電平約束就要比式(23)的約束更松弛，才能求得合理的解。通過式(21)和式(23)可以求得加權向量的協(xié)方差矩陣v，下面給出由v求得加權向量w的方法。

3求加權矢量

應用上文中提到的式(21)和式(23)求得加權向量的協(xié)方差矩陣。式(24)中的分子表示v的第k行，分母是第k行對應的復常數(shù)，式(19)的優(yōu)化模型中約束的是功率方向圖的主瓣形狀和旁瓣電平，這里給出由式(24)得到的加權向量形成的方向圖：于v的秩不嚴格滿足rank(v)=1，所以式(26)中不同的k對應不同的加權向量。這里對比不同的k得到的加權向量w所形成的方向圖的主瓣與0dB之間的最大失真，選擇最大失真最小的k得到加權向量w作為最終的加權向量。以上給出的求解加權向量的過程中與陣列結構特性無關，所以該方法可以適用于多種陣列結構。文獻[16]中給出的方法要充分利用等距線陣的結構特性，并明確指出該方法僅對等距線陣有效。式(26)是通過對比選擇得到的加權矢量，由式(21)和式(23)得到v，本文假設矩陣v的秩為1，則可以利用特征值分解方法也可以得到加權向量w.

4計算機仿真實驗

下面通過計算機仿真實驗驗證本文方法可以得到具有期望主瓣形狀、旁瓣電平和理想零點深度的方向圖，并且在較大指向誤差條件下，可以有效估計信號功率。仿真條件：發(fā)射信號為線性調頻信號，信號載頻1GHzcf=，信號帶寬B=5MHz，信號脈沖寬度30srT=m，脈沖采樣間隔sT=1/2B；接收信號中的噪聲為高斯白噪聲，噪聲功率為0dB；接收陣是一個等距線陣(UniformLinerArray,ULA)，陣元數(shù)M=20，陣元間距d=l/2；約束實驗1方向圖形狀對比假設目標方位角為o0，目標信號功率為20dB，干擾方位角為o40，干擾功率為60dB，主瓣區(qū)域oomY=-，旁瓣區(qū)域oo[90,22]sY=--oo[22,90]，接收信號的快拍數(shù)為200。RCB方法中真實導向矢量與期望導向矢量的差的二范數(shù)小于0.35M。首先，本文對比指向誤差分別為0°和2°條件下，Capon方法、RCB方法、AMA方法以及本文提出的SDR方法得到的方向圖，如圖2所示。圖中的SDR-one和SDR-eig分別表示應用式(26)和式(27)求得的加權向量的方向圖。由圖2可以看出本文方法相比已有的幾種方法在指向誤差分別為0°和2°時均可以有效保持主瓣形狀、旁瓣電平。式(26)的主瓣失真更小。其次，本文對比SDR方法和直接求解秩1約束方法得到的方向圖，如圖3，其中秩1約束方法中的：lowert³50,uppert£150，圖中SDR-T,SDR-one和SDR-eig分別表示SDR方法應用協(xié)方差矩陣、式(26)和式(27)求得加權向量得到的方向圖，Rank1-T,Rank1-one和Rank1-eig分別表示秩1約束方法應用協(xié)方差矩陣、式(26)和式(27)求得加權向量得到的方向圖。由圖3可以看出，SDR方法比秩1約束方法得到的方向圖具有更好的主瓣形狀、更低的旁瓣電平。應用式(26)得到的方向圖的性能優(yōu)于式(27)，這主要是因為SDR方法和秩1約束方法得到的協(xié)方差矩陣的秩都不一定嚴格為1。

實驗2方向圖主瓣最大失真隨主瓣寬度的變化真實目標與假設目標方位角都在0°，半主瓣寬度范圍為oo[6,22]，旁瓣與主瓣的過渡帶寬度為o10，作100次蒙特卡洛實驗，其它的仿真條件不變。將式(17)中的優(yōu)化變量T由v代替后，由式(17)和式(23)得到加權向量的協(xié)方差矩陣v，分別利用式(26)和式(27)求得加權向量w，最后應用w合成真實的方向圖。圖4中對比這兩個優(yōu)化模型得到的真實方向圖的主瓣最大失真隨著波束寬度的變化，圖中的SDR-3dB和SDR-0.5dB分別表示應用式(17)和式(23)求得加權向量的協(xié)方差矩陣合成的方向圖，-one和-eig分別表示應用式(26)和式(27)求得的加權向量合成的方向圖。由圖4可以清楚地看出式(26)的方向圖的主瓣最大失真小于式(17)，應用式(26)求得的加權向量w合成的方向圖的主瓣最大失真比式(27)的特征值分解方法更小。實驗3信號功率估計性能分析首先，對比Capon方法、RCB方法、式(17)的AMA方法和本文所提的式(23)的SDR方法在沒有指向誤差和2°指向誤差條件下，各個方法的信號功率估計性能隨快拍數(shù)的變化情況，如圖5所示，其中SDR方法的加權向量應用式(26)求得，基本仿真條件與實驗1相同。由圖5可以看出，Capon方法需要較大的快拍數(shù)以及無指向誤差時才能有效估計信號功率，RCB方法、AMA方法和SDR方法在快拍數(shù)較小的情況下就可以穩(wěn)健估計信號功率。

其次，在指向誤差為：oo[0,12]的條件下，本文對比Capon方法、RCB方法、式(17)的AMA方法、將式(23)中的v由T代替后的AMA方法、將式(17)中的T由v代替后的SDR方法和式(23)的SDR方法的信號功率估計性能，如圖6所示。由實驗結果可以看出，Capon方法在出現(xiàn)指向誤差時，無法有效估計信號功率；RCB方法在指向誤差小于陣列的3dB半波束寬度時可以有效估計信號功率，當指向誤差進一步加大，該方法的性能急劇下降；式(23)優(yōu)化模型的AMA方法的信號功率估計性能優(yōu)于式(17)的AMA方法，在大指向誤差條件下AMA方法的信號功率估計性能優(yōu)于Capon方法、RCB方法和SDR方法，盡管AMA方法的性能是最優(yōu)的，但是該方法的系統(tǒng)實現(xiàn)復雜度相比其它幾種方法要大；SDR方法的信號功率估計性能與AMA方法相近，應用式(23)優(yōu)化模型的SDR方法在小指向誤差條件下與RCB方法性能接近，在大誤差條件下SDR方法性能優(yōu)于RCB方法。并且SDR方法的系統(tǒng)實現(xiàn)復雜度與向量加權方法一致，小于矩陣加權方法。通過以上實驗結果可以看出，應用本文提出的SDR方法求出加權向量的協(xié)方差矩陣，再利用式(26)求得加權向量，由該加權向量得到方向圖具有期望的主瓣形狀、旁瓣電平和理想的零點深度，此加權向量的信號功率估計性能接近矩陣加權方法，在大指向誤差條件下優(yōu)于傳統(tǒng)的向量加權穩(wěn)健波束形成方法。SDR方法的系統(tǒng)實現(xiàn)復雜度與向量加權方法一致，小于矩陣加權方法。

5結束語

本文提出了基于半正定秩松弛方法的穩(wěn)健波束形成算法，該方法首先將帶有秩約束的優(yōu)化問題松弛為一個半正定優(yōu)化(SDP)問題，通過松弛后的優(yōu)化模型求得加權向量的協(xié)方差矩陣，利用式(26)所提方法求出穩(wěn)健波束形成的加權向量。該方法形成的方向圖相比傳統(tǒng)的穩(wěn)健波束形成方法和秩1約束方法，具有期望的主瓣形狀、旁瓣電平，與矩陣加權方法得到方向圖近似。SDR方法的信號功率估計性能接近矩陣加權方法，在大指向誤差條件下優(yōu)于傳統(tǒng)的向量加權穩(wěn)健波束形成方法，并且該方法的系統(tǒng)實現(xiàn)復雜度與向量加權方法一致，本文中給出的求加權向量方法可以適用于各種陣列結構。

作者：羅濤劉宏偉嚴俊坤糾博盧紅喜單位：西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室