多目標優化概念范文

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第1篇

【關鍵詞】 群體決策； 多目標優化 ； 聯合有效解；最優性條件

【中圖分類號】O221 【文獻標識碼】A

引 言

設有決策群體G={DM1，DM2，…，DMl}，其中DMr是第rr=1，…，l，l≥2個決策者.考慮群體多目標優化問題（GMP）：

G-V-minx∈Xf1（x），…，V-minx∈Xfl（x），（GMP）

其中XRn是供選方案集，fr：XRmrmr≥2是DMr（r=1，…，l）的向量目標函數.

記群體目標函數為fG=f1，…，fl，第r個多目標優化問題V-minx∈Xfr（x）的有效解集和弱有效解集分別為E（fr，X）和Ew（fr，X），（r=1，…，l）.

由文獻[1]群體多目標優化（GMP）關于x∈X的有效數和弱有效數的定義可知，每個決策者對同一個方案所起的作用是相同的，即對同一個方案，每個決策者的偏愛是相同的.但是在現實世界中，每個決策者的偏愛是不可能一致的.對于同一個方案，每個決策者根據他們自己的經驗、所接受教育的程度、對方案的了解深度、個人所研究的方向等不同，對同一個方案所起決定作用或重要性是不同的.因此，本文假設各個決策者對同一個方案的作用或重要性已排好序（第一個決策者的作用最大，第二個次之，依次下去），即按照作用的大小已經排序.從而相當于對于不同的決策者，都有相應的權序.記這個權序為H.

在這個假設條件下，我們來定義群體多目標優化問題權序α度聯合（弱）有效解.

一、基本概念

設共有l個決策者，且這l個決策者已經排好序.并把他們分成兩組，把決策作用大的l/3個人分到第一組，其余的l-l/3個人分到第二組.

根據上述的分組方案給出以下定義：

是群體多目標問題（GMP）關于x的權序弱滿意度.

定義1.3 設α∈[0，1]，x～∈X，μHx～和μHwx～分別是群體多目標問題（GMP）關于x～的權序滿意度和權序弱滿意度.

（1）若μHx～≥α，則稱x～是群體多目標優化問題（GMP）的權序α度聯合有效解，其解集記作EHα（fG，X）.

（2）若μHwx～≥α，則稱x～是群體多目標優化問題（GMP）的權序α度聯合弱有效解，其解集記作EHαw（fG，X）.

由定義1.3易知，如果X是凸集，fr：XRmr（r=1，…，l）是嚴格凸向量函數，則有EHα（fG，X）=EHαw（fG，X）.

定義1.4 設X≠φ，x∈X，

（1）若μH（x～）=1，則稱x～是群體多目標優化問題（GMP）的群體一致聯合有效解.

（2）若μHw（x～）=1，則稱x～是群體多目標優化問題（GMP）的群體一致聯合弱有效解.

定義1.5 設X≠φ，x∈X，α～=0.5，

（1）若μHx～≥0.5，則稱x～是群體多目標優化問題（GMP）的可接受聯合有效解，其解集記作EHα～（fG，X）.

（2）若μHwx～≥0.5，則稱x～是群體多目標優化問題（GMP）的可接受聯合弱有效解，其解集記作EHα～w（fG，X）.

二、結 論

本文定義了群體多目標優化問題的權序α度聯合有效解和權序α度聯合弱有效解這一新的概念.今后還將給出解的最優性條件和解的算法等.

第2篇

0 引言

生活中，許多問題都是由相互沖突和影響的多個目標組成。人們會經常遇到使多個目標在給定區域同時盡可能最佳的優化問題，也就是多目標優化問題。優化問題存在的目標超過一個并需要同時處理，就成為多目標優化問題。

多目標優化問題在工程應用等現實生活中非常普遍并且處于非常重要的地位，這些實際問題通常非常復雜、困難，是主要研究領域之一。自20世紀60年代早期以來，多目標優化問題吸收了越來越多不同背景研究人員的注意力，因此，解決多目標優化問題具有非常重要的科研價值和實際意義

1 普通多目標優化問題

普通多目標優化問題也稱為向量數學規劃。對設計者或決策者而言，普通多目標優化問題幾個設計目標可能存在重要性的差別，但是不存在優先權的差別。

比如，欲把直徑為d的圓木加工成矩形截面的梁，如何設計其截面尺寸，使其強度大且重量輕？

分析研究：設截面的寬和高分別為 。由于其強度取決于截面的慣性矩 ，其重量取決于截面面積 ，因此該問題可看作是兩個設計目標的優化問題：

該數學模型就可歸結為一個普通多目標優化問題：

在這個問題中，梁的強度大可能與重量輕同等重要，也可能比重量輕更重要。但是在把它作為普通多目標優化問題求解的時候，并不因強度大比重量輕更重要，而先考慮強度指標后考慮重量指標。 的極小化將同時進行。

2 目標規劃問題

目標規劃問題與普通多目標優化問題的不同之處在于：它雖然有多個設計目標，但是每個設計目標并不是使目標函數極小化，而是使每個目標函數同時逼近各自的預定目標值。

比如，某工廠生產n種產品，第i種產品的生產能力為ai噸/小時，其利潤為ci元/噸，預測第i種產品下月的最大銷售量為bi噸。該工廠下月的工時能力為t小時。在避免開工不足的條件下，如何安排下月計劃才能使：1）工廠所獲利潤最大；2）員工加班時間盡量少；3）盡可能多地滿足市場對第1種產品的需求？

分析研究：設下月計劃用xi小時生產第i種產品，并用 三個函數分別表示工廠所獲利潤、員工的加班時間以及第1種產品的產量，該問題就可看作是三個設計目標的優化問題：

假設此例的問題對工廠利潤、加班時間以及第一種產品的產量分別有預定的目標值 ，該問題就歸結為下列目標規劃問題：

目標規劃問題與普通多目標優化問題也有相同之處，它們都有多個設計目標，各個設計目標可能存在重要性的差別，但是不存在優先的差別。

3 分層多目標優化問題

分層多目標優化問題與上述兩種多目標優化問題的不同之處在于：它的幾個設計目標不僅可能存在重要性的差別，而且存在優先權的差別。也就是說，設計者優先考慮某些設計目標，在這些設計目標已經達到的前提下，才考慮其它設計目標。這類問題的設計目標被分成不同的優先層次，在對它求解的時候，先對優先層次較高的設計目標求解，后對優先層次較低的設計目標求解。

假設m個設計目標被分成L個優先層次，各層次的目標函數個數依次為 。如果以各層次的目標函數作為該層次的向量目標函數

的分量，即

第一優先層次：

第二優先層次：

……

第L優先層次：

那么分層多目標優化問題的數學模型可表示為

式（3）可被縮寫為更簡潔的形式：

在第二個問題中，假設計劃制定者在首先考慮工廠如何獲得最大利潤之后，才去考慮減少加班時間和增加第一種產品產量，該問題就是一個具有兩個優先層次的分層多目標優化問題：

4 多目標優化問題的最優解

求解優化問題的目的是為了獲得最優解，然而多目標優化問題有多個不同的設計目標，設計目標之間可能發生沖突，這時一個可行解對某一個設計目標是最優的，對另外的設計目標卻不是最優的，這就造成多目標優化問題的最優解概念的復雜化。

第3篇

1、多目標規劃問題概述

多目標規劃最優的思想起初由法國經濟學家V.帕雷托提出，他由政治經濟學的角度將不可比較的多個目標轉化為多個單目標的最優問題，涉及到了多目標規劃的概念。上世紀40年代末，J?馮?諾伊曼和O?莫根施特恩又基于對策論又提出了在多個決策人相互矛盾的前提下引入多目標問題。50年代初，T?C?庫普曼斯從生產和分配的活動中提出多目標最優化問題，引入有效解的概念，并得到一些基本結果。同時，H?W?庫恩和A?W?塔克爾從研究數學規劃的角度提出向量極值問題，引入庫恩-塔克爾有效解概念，并研究了它的必要和充分條件。自70年代以來，多目標規劃的研究越來越受到人們的重視。至今關于多目標最優解尚無一種完全令人滿意的定義，所以在理論上多目標規劃仍處于發展階段。

2、多目標規劃方法優化投資組合的應用分析

某生產車間計劃在10天內安排生產甲類和乙類兩種商品。已知生產甲類商品需要A號配件5組，B號配件3組；生產乙類商品需要A號配件2組，B號配件4組。在十天的計劃期內該生產車間僅提高A號配件180組，B號配件135組。同時，我們還知道該生產車間沒生產一個甲類商品可獲取利潤為20元，生產一個乙類商品可獲取利潤15元。那么，通過以上條件甲乙兩類商品分別生產多少可實現利潤最大呢？下面我們將各項數據列表如下表1所示：

表1

我們假設，X1和X2分別為甲乙兩類商品的生產數量，Z為總利潤，以此可以線性規劃描述此問題，建立數學模型應該是：

（1）

（2）

其中，X1和X2均為整數。理想狀態下，可以利用圖解法即可得出公式（1）的最優解為Z=775，X1=32，X2=9。但是，站在車間生產計劃人員的角度上將，問題往往比較復雜。

首先，這是一種單一目標優化問題。但通常來講，一個規劃問題需要滿足多個條件。例如，例如財務部門的利潤目標：利潤盡可能大；物資部門的節約資金：消耗盡可能小；銷售部門的適銷對路：產品品種多樣；計劃部門的安排生產：產品批量盡可能大。規劃問題其本質上是多目標決策類問題，只是因為利用線性規劃模型處置，致使生產計劃人員不得已從諸多目標中硬性選擇其中的一種作為線性規劃的數學模型。這樣一來，由數學模型目標函數得到的結果可能會違背部分部門的根部意愿，從而導致生產過程受阻，又或者是從生產計劃開始階段就因為某些矛盾而不能從諸多目標中選取一個最優目標。

其次，線性規劃問題存在最優解的必要條件是可行解集合非空，也就是說各個約束條件之間彼此相容。但在優化投資組合等實際應用問題中有時候也未必能完全滿足這樣的條件。如因設備維修養護、消耗能源或其他產品自身原因導致生產計劃期內不能提供足夠的工時而無法滿足計劃生產的進度和產量，又或者因投資資本有限的束縛生產原材料的供應不能滿足計劃產品的需求等等。

第三，線性規劃問題的可行解和最優解具有非常明確的價值，這些可行解和最優解都依數學函數模型而定。在實際的投資組合應用當中，決策人發出決策后往往還需要對其決策進行某種修正，主要原因就在于數學函數模型與實際問題之間不盡相同，具有一種近似性，也就是建立數學模型時應對實際應用問題進行簡化且不考慮新情況的發生。

計劃人員為決策人提供的數學可行解并不是嚴格意義上的最優解，僅作為決策實現最優的一種參考性計劃方案。上世界六十年代初期，由查恩斯（A?Charnes）和庫柏（W?w?CooPer）提出的目標規劃（Goalprogramming）直接已得到了重視和推廣，該法在處置實際應用問題方面承認諸項決策條件存在的合理性，即便多個決策條件是相互沖突的、相互影響的都具有合理性，在做出最終決策中不會強調絕對的最優性。由此看來，多目標規劃問題可以認為是一種較之于線性規劃問題更切合于實際應用的決策手段。

3、多目標規劃方法優化投資組合的常見途徑

（1）加權法（或效用系數法）。

加權法（或效用系數法）將投資問題中所有的目標進行統一度量（例如以錢或效用系數度量）。本方法的的基本原理是將多目標模型轉化為多個單目標模型。多個目標，有主次不同和輕重緩急不同等區別，最重要的一個目標我們將之賦予為優先因子P1，次重要的目標依次賦予優先因子P2，P3，P4，…，同時約定PK>>PK+1（PK比PK+1擁有更好的優先權）。如果非要將擁有相同優先因子的目標加以區別，我們可以將其分別賦予不同的權系數wj。它的優點在于適用于計算機運算求解可行解和最優解（如線性函數模型可用單純形法求解），而缺點則在于難以找到合理的權系數（如某高速公路建設投資，在減少建設投資和保證施工質量降低交通傷亡事故率之間難以衡量人的生命價值）。

（2）序列法（或優先級法）。

序列法（或優先級法）并不是對每一個目標進行加權，它主要是按照目標的輕重緩急不同將其分為各個不同等級后再行求解。它的優點在于可規避權系數的困擾，適用范圍比較廣，各種決策活動幾乎都可使用。例如，某公司在決定提拔人員，很多單位主要根據該人員的工作積極性、工作能力和對單位的貢獻價值等幾個方面予以考慮，這幾個方面也會按照先后順序依次評定，等級不同參考評定的比重也會有所不同。它的缺點在于難以區分各個目標的輕重等級，難以排定優先順序無法保證最終的求解結果是最令人滿意的。

（3）有效解法（或非劣解法）。

有效解法（或非劣解法）與上兩種方法不同，它拜托了加權法（或效用系數法）和序列法（或優先級法）具有的一定局限性，利用本法可找到所以的有效解集，也就是非劣解集，眾多非劣解可供決策人從中挑選最為滿意的解。它的缺點則在于實際應用問題中非劣解數量很多，為決策人提供的非劣解集范圍過于寬泛。