分式方程教案范文
前言：我們精心挑選了數篇優質分式方程教案文章，供您閱讀參考。期待這些文章能為您帶來啟發，助您在寫作的道路上更上一層樓。
第1篇
（1）經歷將實際問題中的等量關系用分式方程表示的過程，體驗分式方程模型的思想。
（2）會用分式方程解決簡單的實際問題。
2、能力目標：
（1）經歷“實際問題情境——建立分式方程模型——求解——解釋解的合理性”的過程，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力，增強學生學數學、用數學的意識。
（2）通過分式方程的實際應用，提高學生的思維水平和應用意識。
3、情感目標：
（1）通過創設貼近學生生活實際的現實情境，增強學生的應用意識，培養學生對生活的熱愛，進行節約用水、用電、環保方面的教育。
（2）在活動中培養學生樂于探究、合作學習的習慣，培養學生努力尋找解決問題的方法的能力，體會數學的應用價值。
4、教學重點：分式方程的應用。
5、教學難點：將實際問題中的等量關系用分式方程表示并且求得結果。
6、教法和學法：啟發引導，師生互動，自主探索，合作交流。
7、創設情境
觀看節約用水的廣告及新聞，創設情景，引入課題。
8、實際應用
引題：錦州市從今年3月1日起調整居民用水價格，每噸水費上漲9%，小麗家今年1月的水費是11。25元，今年3月的水費是19。6元，已知今年3月的用水量比1月的用水量多3噸，求我市今年居民用水的價格？(小麗家每月的用水量都在規定的平價用水量范圍內)
問題：你能找出這一情境中的等量關系嗎？如何用方程表示相應的等量關系。
等量關系：小麗家今年3月份的用水量—今年1月份的用水量=3噸；3月份的水價=1月的水價x(1+9%)；用水量《分式方程的應用》教學設計。
9、分析：今年3月份用水的價格為每立方米(1+9%)x元。
今年3月份的用水量是多少呢？今年1月份的用水量呢？
今年3月份的用水量是《分式方程的應用》教學設計立方米，今年1月份的用水量是《分式方程的應用》教學設計立方米。
10、列出方程。
11、拓展知識
例題：某單位將沿街的一部分房屋出租，每間房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋的租金第一年為96000元，第二年為102000元。問題1 請你比較例題與引題有什么不同？你能根據例題的題設提出哪些問題？根據提出的問題把例題補充完整。
問題2 例題中存在哪些等量關系？哪個等量關系是列方程的關鍵？
12、學習小結
列分式方程解應用題的一般步驟：審：分析題意，找出等量關系；設：選擇恰當的未知數，注意單位；根據等量關系正確列出方程。
13、布置作業：
第2篇
關鍵詞：案例式教學；常微分方程；教學方法
中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）09-0269-03
前言
常微分方程是數學專業的一門專業基礎課，一般安排在第三學期。它的前期課程是：數學分析、高等代數、解析幾何、大學物理等。本課程是數學應用于物理、力學等的橋梁，是運用數學工具解決實際問題的重要工具和基礎，也是加深理解數學分析、高等代數等課程的重要課程。常微分方程是綜合性大學數學系各專業的重要基礎課，也是應用性很強的一門數學課。通過本課程的學習，使學生正確理解常微分方程的基本概念，掌握基本理論和主要方法，具有一定的解題能力，為學習本學科的后續課程打下基礎。另一方面培養學生理論聯系實際分析問題和解決問題的能力。根據本門課程應用廣泛的特點為了達到上述的教學目標，引入案例式教學。
一、案例式教學特點
案例式教學學生分組進行，學生在案例研究中，運用課程所學的理論和方法，搜索與案例有關的信息，發揮自己的智慧運用所學的知識解決問題，使學生“參與”研究、討論從而“掌握”課程內容的知識點。教師就學生討論給予引導，就學生的研究內容加以專業點評，使學生能夠迅速掌握理論聯系實際問題的方法。案例可以把抽象的原理、概念等具體化，學生通過案例，可以明白這些原理在實際問題中的應用之處，案例教學中每組學生聚集本組智慧的同時，也吸收了其他組的想法，達到培養學生創新精神、實踐能力、團結合作的學習效果。事實證明：案例教學對學生能力現實提升有著極好的促進作用。
二、運用案例式教學法，應做好以下三點
（一）教師注意案例的選取要為教學內容服務
采用案例教學法時，案例的選擇不是隨意地拿來，而是要根據教學內容和教學對象的不同，精心選擇，精心設計。我們要注意：首先，案例能夠恰當的反映教學內容，為教學內容的知識點服務；其次，案例要典型、生動，最好和現實生活能夠接觸到的事物聯系到一起，具有吸引力。這樣的案例貼近于學生的生活，使他們更有興趣參與，更有助于對所學內容的理解。最后，案例難易要適應學生理解知識的進度。一般案例要由易到難，使得學生逐漸接受知識的理解和運用，考慮學生自身能力的差異，盡量選擇和設計出所有學生都可理解接受的案例。
（二）案例式教學適當的應用在教學過程中，準確掌控教學過程
案例教學的過程就是在已學知識的基礎上適度的提問引出案例，組織學生分組思考、討論、研究并自我總結，最后教師講評、總結教學內容，從而完成教學目的的過程。在教學過程中要注意以下幾點：（1）案例提問要適度，要有目的，有層次性。所提的問題要圍繞教學內容精心設計，突出教學內容的知識點。一般采取由易而難，逐漸深入課題，要考慮到學生對問題的認知順序，利用問題誘導學生一點一點的逐層思考，最終得出結果，從而達到全面掌握所學知識的目的。（2）教師要有掌控課堂，處理學生突況的能力。教師是課堂教學的“領航”者，不僅要視大多數學生對問題的理解、掌握情況循循誘導，盡量讓學生自己理解案例，得出正確結果，而且要對有不同想法的學生，給予必要的解釋，掌控課堂上的正確學術氣氛，這就要求教師上課前預想好各種可能的答案，并作好回答，以保證教學的正常進行。
（三）教師對知識點的總結要求精準，對案例的分析要求詳盡、精確
教學的最后環節是知識點的歸納，教師要幫助學生整理零星的知識點，并對案例中未出現的知識內容加以補充。這需要教師加深對教學內容的掌握程度，對知識點的理解程度，和加強對案例的剖析能力。
三、常微分方程課程案例教學的實施過程
（一）案例式教學的實施步驟
第一步，首先教師根據常微分方程課程教學大綱所規定的內容和教學目標，分析內容的重點和難點確定教學的知識點，由知識點的教學內容選擇適合的案例，并對案例進行教學上的制準備。例如制作動畫、仿真、課件、操作實驗等。第二步，教師課堂上講授不同方程的求解方法，引入比較適合的案例，與學生一起對案例開展分析和討論，并對學生留有思考問題和要求學生提交研究方案等。第三步，學生分組討論案例物理背景所提供的條件、建立微分方程求解對解函數做物理解釋并提交研究方案。第四步，教師對學生的案例分析和研究方案進行講評，總結強調案例相關的知識點和理論。第五步，學生根據之前的案例的特點分析知識點的應用適用范圍，并尋找新的案例作為小組的討論和研究內容，提交研究報告，教師對學生所提交的報告批改并給予指導。從而使學生真正的掌握教學的知識點。
實施步驟（見圖1）：
（二）常微分方程教學內容中涉及的案例
（1）變量分離方程涉及的案例：嫌疑犯問題、人口問題、電容器充電問題、飛行員跳傘問題、細菌繁殖問題、傳染病問題；（2）齊次方程涉及的案例：探照燈反射鏡面形狀問題；（3）一階非齊次線性方程涉及的案例：RLC電路問題；（4）可降階二階微分方程涉及的案例：交通事故的勘察、懸鏈線張力分析問題、目標跟蹤問題；（5）二階常系數線性微分方程涉及的案例：彈簧自由振動問題、強迫振動與共振問題。
（三）實施案例式教學舉例
本文利用變量分離方程涉及的案例――嫌疑犯問題為例來說明實施案例式教學的過程。
案例式教學應用在教學中，需要教師授課前做好充足的準備。為了使學生理解案例中問題的物理背景，有時需要教師利用多媒體軟件以及實驗教具輔助教學，因此，教師需要根據案例的不同準備相適應的教學手段。嫌疑犯問題采取的是動畫制作，從聲音和視覺上震撼學生，從而激發學生的興趣。
首先，教師在課堂上講授變量分離方程概念、特點及求解方法。
其次，教師在課堂上播放動畫視頻提出案例。
嫌疑犯問題：受害者的尸體于晚上7∶30被發現。法醫于晚上8∶20趕到兇案現場，測得尸體溫度為32.6℃，1小時后，當尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為31.4℃，室溫在幾小時內始終保持在21.1℃，此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班，5∶00時打了一個電話，打完電話后就離開了辦公室”。從張某的辦公室到受害者的家（兇案現場）步行需3分鐘，現在的問題是：張某不在現場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外？
教師用探討的方式和學生溝通“關鍵問題計算出受害者的死亡時間是否在5∶03分前，如是則張某排除在嫌疑犯之外”。教師這時提出“那么如何計算出死亡時間哪？” 大家分成四組討論，最后達成一致的想法是“求解出尸體溫度隨時間變化的函數，從而確定死亡時間”。
接著，教師引導學生討論案例的物理背景并建立微分方程。
解：設T（t）表示尸體的溫度函數，并記晚8∶20為t=0，則T（0）=32.6，T（1）=31.4，假設受害者死亡時體溫是正常的，即T=37℃，要確定受害者死亡的時間，也就是求T（t）=37的時刻t0，如果此時張某在辦公室，則他可被排除在嫌疑犯之外，否則張某不能排除在嫌疑犯之外。
人死后體溫調節功能消失，尸體的溫度受外界環境溫度的影響服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化率正比于尸體溫度與室溫的差，則得到方程為：
=-k（T-21.1）
這是變量分離方程。
然后，教師組織學生用變量分離方程的求解方法解出T（t）=
21.1+11.5
-t，當T=37時，得到t≈-2.95小時≈-2小時57分，故死亡時間為8小時20分-2小時57分，即下午5∶23分，所以張某不能被排除嫌疑犯之外。
案例的整個分析、研究、建立方程、求解方程均有4個小組討論而成，教師在課堂上起啟示、引導的作用，當學生得到最后的結果，教師給予講評和總結。
最后，教師歸納總結教學內容，幫助學生梳理所學的知識點，并對無法納入到案例的內容進行補充。教師留兩個實踐作業：（1）“如果張某的律師找到新證據，證明受害者在死亡當天下午去醫院看病，當時測得體溫為38.7℃”，回去進一步探討判斷一下張某是否可以排除在嫌疑犯之外？（2）提出新的案例―人口問題，讓學生自己分析問題、建立方程、求解方程，從而解決問題。通過這兩項作業，不僅讓學生獨立完成一個與教學案例相似的練習案例，而且鞏固了所學的知識。
第3篇
一、預習導學,呈現問題導入新課
思考:你能正確識別分式方程嗎?
下列關于x的方程,其中是分式方程的有______.(填序號)
問題1 什么是分式方程?
問題2 為什么方程(4)不是分式方程?它是什么方程?如何看待其分母中的字母?
引導學生思考并歸納總結,分式方程的特點是:①含分母;②分母中含有未知數,分母中是否含有未知數是區別分式方程與整式方程的標志.本例中的(4)是關于x的方程,其他字母皆為字母系數,通過本例辨析分式方程與含有字母已知數方程的區別.
設計意圖 在設疑解惑中引導學生關注分式方程形式上的定義,不是簡單讓學生重復概念,而是展示一組方程讓學生識別,在答疑辨析中調動學生對分式方程概念的理解,加深理解分式方程概念的關鍵點——分母中含有未知數,設計的方程(3)(4)(6)用意深刻,是對學生思考提出的發展性目標.
二、合作探究,問在知識發生處,點撥釋疑
·你會解分式方程嗎?
教師出示問題,學生動手解題,探究體驗:
比較方程(1)(2)的結果有差異嗎?為什么?
·為什么x=2不是原方程(2)的根?
·產生x=2不是原方程(2)的根的原因是什么?你能用數學語言說明嗎?
解(2):方程兩邊同乘以3(x-2),得3(5x-4)=4x+10-3(x-2),x=2.檢驗:把x=2代入最簡公分母3(x-2)中,3(x-2)=0,x=2稱為原方程的增根.
·引導學生進一步思考:
(1)解分式方程的一般步驟?要求學生自己歸納總結,然后討論交流.
①去分母,方程兩邊同乘以最簡公分母,把分式方程轉化為整式方程;②解這個整式方程;③驗根.使得最簡公分母為0的根為原方程的增根,必須舍去.
學生提出問題,小組合作探究討論:驗根有幾種方法?如何檢驗?
適當的練習加強學生對解分式方程的理解,幫助學生深刻理解化分式方程為整式方程的數學思想.
(2)呈現錯例,分析錯誤原因.(組織學生開展糾錯討論)
①確定最簡公分母失誤;②去分母時漏乘整式項;③去分母時忽略符號的變化;④忘記驗根.
設計意圖 分解因式是要求學生掌握的基本技能,引導學生獨立思考,總結歸納解題步驟,對錯例進行剖析,加深對知識的理解.糾錯是數學解題教學的一種重要學習形式.
(3)增根從哪里來?為什么要舍去?
(4)下面分式方程的解法是否正確?談談你的想法?
引導學生議一議,深入思考:你對上述解法有什么看法?還有其他解法嗎?通過解題表象再深入思考解分式方程的本質.
分式方程的增根是它變形后整式方程的根,但不是原方程的根,產生增根的原因是在分式方程的左右兩邊乘以為0的最簡公分母造成的,所以使最簡公分母為0的未知數的值均有可能為增根.著名教學者李鎮西說過:“能讓學生自己完成的,教師絕不幫忙.”教師引路設問,創設質疑討論的空間,深化對解分式方程本質的理解,拓寬學生的視野.
三、靈活應用,拓展思維
思考 “無解”與該分式方程有“增根”的意義一樣嗎?
分析 方程兩邊乘以(x+2)(x-2),可得2(x+2)+ax=3(x-2),(a-1)x=-10.顯然a=1時原方程無解.當(x+2)(x-2)=0,即x=2或x=-2時,原方程亦無解,當x=2時,a=-4;當x=-2時,a=6.所以當a=1,-4,6時,原方程無解.
設計意圖 分式方程的增根問題是學生理解的難點,部分學生解題過程中存有疑惑,還會與無解相混淆.本課例設計直擊難點,幫助學生梳理如何討論增根問題,并能利用其解決方程無解的相關問題.教師運用問題串形式組織學生解分式方程不是表面上培養細心,明確算理,而是像幾何推理那樣步步有據,啟發學生經過自己的獨立思考去尋求解決問題方案.
本課設計嘗試從數學的角度提出問題,理解問題.引導學生理解解分式方程的途徑是通過轉化為整式方程來求解.在解分式方程的過程中體驗增根的由來.總結出解分式方程的一般步驟和驗根的方法,通過靈活應用實例分析把方程的相關知識融會貫通,在富有挑戰性問題的引導下,學生在探究、答疑、辨別中體會到,提出一個有價值的問題有時比解決一個問題更重要,本課例的設計讓學生學會質疑,學會思考,真正在思維的層面上學會數學解題.