奧數教案范文

前言：我們精心挑選了數篇優質奧數教案文章，供您閱讀參考。期待這些文章能為您帶來啟發，助您在寫作的道路上更上一層樓。

第1篇

奧數精講1

學員編號：

年

級：四年級

課

時

數：

學員姓名：

輔導科目：數學

學科教師：

授課目標

C數的整除

C找規律

C

數字迷

授課難點

整除

教學重點：找規律

——數的整除

計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。

數的整除具有如下性質：

性質1

如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性質2

如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性質3

如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數字特征列出來：

（1）一個數的個位數字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數就能被2整除。

（2）一個數的個位數字如果是0或5，那么這個數就能被5整除。

（3）一個數各個數位上的數字之和如果能被3整除，那么這個數就能被3整除。

（4）一個數的末兩位數如果能被4（或25）整除，那么這個數就能被4（或25）整除。

（5）一個數的末三位數如果能被8（或125）整除，那么這個數就能被8（或125）整除。

（6）一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那么這個數就能被9整除。

例題1

在下面的數中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728.8064。

解：能被4整除的數有7756，3728，8064；

能被8整除的數有3728，8064；

能被9整除的數有234，8865，8064。

例題2

在四位數562中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？

解：如果562能被9整除，那么5＋6＋＋2＝13＋應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；

如果562能被8整除，那么62應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；

如果562能被4整除，那么2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。

例題3

從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，并將這些數從小到大進行排列。

解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特征，數字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數為270，570，720，750。

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數整除？

2．個位數是5，且能被9整除的三位數共有多少個？

3．一些四位數，百位上的數字都是3，十位上的數字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數中，最大的和最小的各是多少？

——找規律

計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。

我們在三年級已經見過“找規律”這個題目，學習了如何發現圖形、數表和數列的變化規律。這一講重點學習具有“周期性”變化規律的問題。什么是周期性變化規律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規律。再比如，數列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三個數重復出現的，這也是周期性變化問題。

例題1

節日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、……這樣排下去。問：

（1）第100盞燈是什么顏色？

（2）前150盞彩燈中有多少盞藍燈？

分析與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環出現。

（1）100÷12＝8……4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。

（2）150÷12=12……6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈4×12＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49（盞）

例題2

有一串數，任何相鄰的四個數之和都等于25。已知第1個數是3，第6個數是6，第11個數是7。問：這串數中第24個數是幾？前77個數的和是多少？

分析與解：因為第1，2，3，4個數的和等于第2，3，4，5個數的和，所以第1個數與第5個數相同。進一步可推知，第1，5，9，13，…個數都相同。

同理，第2，6，10，14，…個數都相同，第3，7，11，15，…個數都相同，第4，8，12，16…個數都相同。

也就是說，這串數是按照每四個數為一個周期循環出現的。所以，第2個數等于第6個數，是6；第3個數等于第11個數，是7。前三個數依次是3，6，7，第四個數是

25-（3+6+7）=9。

這串數按照3，6，7，9的順序循環出現。第24個數與第4個數相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77個數是19個周期零1個數，其和為25×19+3=478。

例題3

下面這串數的規律是：從第3個數起，每個數都是它前面兩個數之和的個位數。問：這串數中第88個數是幾？

628088640448…

分析與解：這串數看起來沒有什么規律，但是如果其中有兩個相鄰數字與前面的某兩個相鄰數字相同，那么根據這串數的構成規律，這兩個相鄰數字后面的數字必然與前面那兩個相鄰數字后面的數字相同，也就是說將出現周期性變化。我們試著將這串數再多寫出幾位：

當寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發現，它們與第1，2位數相同，所以這串數按每20個數一個周期循環出現。由88÷20=4……8知，第88個數與第8個數相同，所以第88個數是4。

【練習】

1．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？

2．將1，2，3，4，…除以3的余數依次排列起來，得到一個數列。求這個數列前100個數的和。

3．有一串數，前兩個數是9和7，從第三個數起，每個數是它前面兩個數乘積的個位數。這串數中第100個數是幾？前100個數之和是多少？

4．有一列數，第一個數是6，以后每一個數都是它前面一個數與7的和的個位數。這列數中第88個數是幾？

——數字迷

計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。

例題1

把下面算式中缺少的數字補上：

分析與解：一個四位數減去一個三位數，差是一個兩位數，也就是說被減數與減數相差不到100。四位數與三位數相差不到100，三位數必然大于900，四位數必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數上。

（1）填百位與千位。由于被減數是四位數，減數是三位數，差是兩位數，所以減數的百位應填9，被減數的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。

（2）填個位。由于被減數個位數字是0，差的個位數字是1，所以減數的個位數字是9。

（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數十位上的實際數值是18，18分解成兩個一位數的和，只能是9與9，因此，減數與差的十位數字都是9。

所求算式如右式。

由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。

例題2

在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，求出這兩個算式：

分析與解：（1）這是一道四個數連加的算式，其特點是相同數位上的數字相同，且個位與百位上的數字相同，即都是漢字“學”。

從個位相同數相加的情況來看，和的個位數字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學”＝2或7。

如果“學”＝2，那么要使三個“數”所代表的數字相加的和的個位數字為8，“數”只能代表數字6。此時，百位上的和為“學”＋“學”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學”≠2。

如果“學”＝7，那么要使三個“數”所代表的數字相加再加上個位進位的2，和的個位數字為8，“數”只能代表數字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數字3。

滿足條件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學”=9，“習”=1。

滿足條件的算式如右下式。

例題3

在內填入適當的數字，使左下式的乘法豎式成立。

分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，…表示內應填入的數字（見右上式）。

由被乘數大于500知，E=1。由于乘數的百位數與被乘數的乘積的末位數是5，故B，C中必有一個是5。若C＝5，則有

6×5=（600+）×5=3000+×5，

不可能等于55，與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時被乘數為695，無論C為何值，它與695的積不可能等于55，與題意不符，所以G=0，F=A=4。此時已求出被乘數是645，經試驗只有645×7滿足55，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數，經試驗知D=2。

右式為所求豎式。

此類乘法豎式題應根據已給出的數字、乘法及加法的進位情況，先填比較容易的未知數，再依次填其余未知數。有時某未知數有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。

1．在下面各豎式的內填入合適的數字，使豎式成立：

第2篇

教學目標

1.

準確運用“標數法”解決題目.

2.

培養學生的實際操作能力．

知識精講

知識點說明

從一個地方到另外一個地方，兩地之間有許多條路，就有許多種走法，如果你能從中選擇一條最近的路走，也就是指要選擇一條最短的路線走，這樣你就可以節省許多時間了，那么如何能選上最短的路線呢？親愛的小朋友們，你要記住兩點：⑴兩點之間線段最短．⑵盡量不走回頭路和重復路，這樣的話，你就做到了省時省力．

例題精講

【例

1】

一只螞蟻在長方形格紙上的點，它想去點玩，但是不知走哪條路最近．小朋友們，你能給它找到幾條這樣的最短路線呢？

【解析】

（方法一）從點走到點，不論怎樣走，最短也要走長方形的一個長與一個寬，因此，在水平方向上，所有線段的長度和應等于；在豎直方向上，所有線段的長度和應等于．這樣我們走的這條路線才是最短路線．為了保證這一點，我們就不應該走“回頭路”，只能向右和向下走．所有最短路線：

、、

、、

這種方法不能保證“不漏”．如果圖形再復雜些，做到“不重”也是很困難的．

（方法二）遵循“最短路線只能向右和向下走”，觀察發現這種題有規律可循．?、倏袋c：只有從到的這一條路線．同樣道理：從到、從到、從到也都只有一條路線．我們把數字“”分別標在這四個點上．②看點：從點出發到，可以是，也可以是，共有兩種走法．那么我們在點標上數字“”（）．③看點：從有三種走法，即：、　、．在點標上數字“”（）．④看點：共有三種走法，即：、、，在點標上“”

（）．⑤看點：從上向下走是，從左向右走是，那么從出發點有六種走法，即：、、、、、，在點標上“”（），觀察發現每一個小格右下角上標的數正好是這個小格右上角與左下角的數的和，這個和就是從出發點到這點的所有最短路線的條數．此法能夠保證“不重”也“不漏”，這種方法叫“對角線法”或“標號法”．

【鞏固】

如圖所示，從點沿線段走最短路線到點，每次走一步或兩步，共有多少種不同走法？

【解析】

這是一個較復雜的最短路線問題，我們退一步想想，先看看簡單的情況．

從到的各種不同走法中先選擇一條路線來分析：

如果按路線來走，這條路線共有條線段，每次走一步或兩步，要求從走到，會有幾種走法？這不是“上樓梯”問題嗎．根據“上樓梯”問題的解法可得在這條路線中有8種符合條件的走法．而對于從到的其他每條最短路線而言，每一條路線都有5條線段，所以每條路線都有8種走法．

進一步：從到共有多少條最短路線？這正是“最短路線”問題！用“標數法”來解決，有10條．綜上所述，滿足條件的走法有種．

【鞏固】

從到的最短路線有幾條呢？

【解析】

圖中從到的最短路線都為6條．

【鞏固】

有一只蝸牛從點出發,要沿長方形的邊或對角線爬到點,中間不許爬回點,也不能走重復的路，那么，它有多少條不同的爬行路線？最短的是哪條呢？

【解析】

共有種，即：、

、

、

、

、

,最短的路是:．

【例

2】

阿呆和阿瓜到少年宮參加北京奧運會志愿者培訓．如果他們從學校出發，共有多少種不

同的最短路線？

【解析】

從學校到少年宮的最短路線，只能向右或向下走．我們可以先看點：從學校到點最短路線只有種走法，我們在點標上．、、、點同理．再看點：最短路線可以是、共條，我們在點標上．我們發現正好是對角線點和點上的數字和．所有的最短路線都符合這個規律，最終從學校到少年宮共有種走法．

【鞏固】

方格紙上取一點作為起點，再在的右上方任取一點作為終點，畫一條由到的最短路線，聰明的小朋友，你能畫出來嗎？總共能畫出幾條呢？

【解析】

根據“標號法”可知共有種，如圖．

【鞏固】

如圖，從點出發到點，走最短的路程，有多少種不同的走法？

【分析】

共有種．

【鞏固】

小聰明想從北村到南村上學，可是他不知道最短路線的走法共有幾種？小朋友們，快幫幫忙呀！

【分析】

根據“對角線法”知共有種，如圖．

【例

3】

“五一”長假就要到了，小新和爸爸決定去黃山玩．聰明的小朋友請你找找看從北京到黃山的最短路線共有幾條呢？

【解析】

采用對角線法（如圖）這道題的圖形與前幾題的圖形又有所區別，因此，在解題時要格外注意是由哪兩點的數之和來確定另一點的．從北京到黃山最近的道路共有條．

【鞏固】

從甲到乙的最短路線有幾條？

【解析】

有條．

【例

4】

古希臘有一位久負盛名的學者，名叫海倫．他精通數學、物理，聰慧過人．人一天一位將軍向他請教一個問題：如下圖，將軍從甲地騎馬出發，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為了使行走的路線最短，應該讓馬在什么地方飲水？

【解析】

本題主要體現最值思想和對稱的思想，教師應充分引導孩子觀察行走路線的變化情況

逐步引導學生通過對稱來找到相應的點，進一步了解圖形最值問題中應該如何解決問題．

【例

5】

學校組織三年級的小朋友去幫助農民伯伯鋤草，大家從學校乘車出發，去往的李家村（如圖）．愛動腦筋的嘟嘟就在想，從學校到李家村共有多少種不同的最短路線呢？

【解析】

我們采用對角線法（如圖），從學校到李家村共有種不同的最短路線．

［拓展］

親愛的小朋友們，你們覺得從到共有幾條最短路線呢？

【解析】

此題與上題不同，但方法相同．我們采用對角線法（如圖）可知：可以選擇的最短路線共有條．

【例

6】

阿花和阿紅到少年宮參加北京奧運會志愿者培訓．他們從學校出發到少年宮最多有多少種不同的行走路線？

【解析】

采用對角線法（如圖）．可得從學校到少年宮共有種走法．

［鋪墊］

小海龜在小豬家玩，它們想去游樂場坐碰碰車，愛動腦筋的小朋友，請你想一想，從小豬家到游樂場共有幾條最短路線呢？

【解析】

“對角線”法（如圖），共條．

【例

7】

阿強和牛牛結伴騎車去圖書館看書，第一天他們從學校直接去圖書館；第二天他們先去公園看大熊貓再去圖書館；第三天公園修路不能通行．咱們學而思的小朋友都很聰明，請你們幫阿強和牛牛想想這三天從學校到圖書館的最短路線分別有多少種不同的走法？

【解析】

仍然用對角線法求解．第一天（無限制條件）共有條；第二天（必須經過公園）共有條；第三天（必須不經過公園）共有條．

【鞏固】

大熊和美子準備去看望養老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如圖所示),他們從學校到養老院最短路線共有幾條呢？聰明的小朋友，請你們快想想吧！

【解析】

（方法一）用“對角線法”求出：從學校到養老院共條．必經過市中心的條，所以可行的路有：（條）．

（方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有條．

【例

8】

如圖，從到最短路線總共有幾種走法？

【分析】

如圖，共有種．

【例

9】

如圖，從到沿網格線不經過線段和的最短路徑的條數是多少條？

【解析】

由于不能經過線段和，所以我們必須先在網絡圖中拆除和，然后再在拆除了和以后的網絡圖中進行標數(如下圖所示)．運用標數法可求出滿足條件的最短路徑有78條．

【鞏固】

下圖為某城市的街道示意圖，處正在挖下水道，不能通車，從到處的最短路線共有多少條？

【解析】

從到的最短路線有條.

【例

10】

按圖中箭頭所指的方向行走，從到共有多少條不同的路線？

【解析】

本題中的運動方向已經由箭頭標示出來，所以關鍵要分析每一點的入口情況．

通過標數法我們可以得出從到共有條不同的路徑．

【例

11】

按圖中箭頭方向所指行走，從到有多少種不同的路線？

【解析】

運用標數法原理進行標數，整個標數流程如下圖

從到共有條不同的路線．

【鞏固】

⑴按下圖左箭頭方向所指，從到有多少種不同的路線？

⑵如下圖右所示，這個問題有一個規則：只能沿著箭頭指的方向走，你能否根據規則算出所有從入口到出口的路徑共有多少條？

［分析］

⑴利用標數法求得到有種不同的路線，如下圖左所示．

⑵由題將路線圖轉化為下圖右所示，根據標數法求得從入口到出口的路徑共有10條．

【例

12】

⑴如下圖左，如果只允許向下移動，從點到點共有多少種不同的路線？

⑵如下圖右，要從點到點，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，問共有多少種不同的走法？

【解析】

⑴按題目要求，只能向下移動，利用標數法求得到共有路線種，如下圖左所示．

⑵按題目要求，只能走下圖右的3個方向，利用標數法求得共有22種不同的走法，如下圖右．

【鞏固】

圖中有10個編好號碼的房間，你可以從小號碼房間走到相鄰的大號碼房間，但不能從大號碼房間走到小號碼房間，從1號房間走到10號房間共有多少種不同走法？

【分析】

圖中并沒有標出行走的方向，但題中“你可以從小號碼房間走到相鄰的大號碼房間，但不能從大號碼房間走到小號碼房間”這句話實際上就規定了行走的方向．如下圖所示，我們可以把原圖轉化成常見的城市網絡圖，然后再根據標數法的思想標數：從圖中可以看出，從1號走到10號房間共有22種不同的走法．

【例

13】

一只密蜂從處出發，回到家里處，每次只能從一個蜂房爬向右側鄰近的蜂房而不準逆行，共有多少種回家的方法？

【解析】

蜜蜂“每次只能從一個蜂房爬向右側鄰近的蜂房而不準逆行”這意味著它只能從小號碼的蜂房爬進相鄰的大號碼的蜂房．明確了行走路徑的方向，就可運用標準法進行計算．

如圖所示，小蜜蜂從出發到處共有種不同的回家方法．

【例

14】

在圖中，用水平或垂直的線段連接相鄰的字母，當沿著這些線段行走時，正好拼出“”的路線共有多少條？

［分析］

要想拼出英語“”的單詞，必須按照“”的次序拼寫．在圖中的每一種拼寫方式都對應著一條最短路徑．如下圖所示，運用標數法原理標數不難得出共有31種不同的路徑．

［鋪墊］

圖中的“我愛希望杯”有多少種不同的讀法．

［分析］

從我（個）、愛（個）、希（個）、望（個）、杯（個）中組成“我愛希望杯”即相同的字只能選一個而且不能重復選，所以共有(種)．

注意圖中的三個字母“”，左、右的兩個字母“”只能由一個字母“”去到達．

［拓展］

如下圖左所示，科學家“愛因斯坦”的英文名拼寫為“”，按圖中箭頭所示方向有多少種不同的方法拼出英文單詞“”.

［分析］

第3篇

牛吃草

教學目標

1.

理解牛吃草這類題目的解題步驟，掌握牛吃草問題的解題思路.

2.

初步了解牛吃草的變式題，會將一些變式題與牛吃草問題進行區別與聯系

知識精講

英國科學家牛頓在他的《普通算術》一書中，有一道關于牛在牧場上吃草的問題，即牛在牧場上吃草，牧場上的草在不斷的、均勻的生長．后人把這類問題稱為牛吃草問題或叫做“牛頓問題”．

“牛吃草”問題主要涉及三個量：草的數量、牛的頭數、時間．難點在于隨著時間的增長，草也在按不變的速度均勻生長，所以草的總量不定．“牛吃草”問題是小學應用題中的難點．

解“牛吃草”問題的主要依據：

①

草的每天生長量不變；

②

每頭牛每天的食草量不變；

③

草的總量草場原有的草量新生的草量，其中草場原有的草量是一個固定值

④

新生的草量每天生長量天數．

同一片牧場中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結為：

⑴設定1頭牛1天吃草量為“1”；

⑵草的生長速度(對應牛的頭數較多天數對應牛的頭數較少天數)(較多天數較少天數)；

⑶原來的草量對應牛的頭數吃的天數草的生長速度吃的天數；

⑷吃的天數原來的草量(牛的頭數草的生長速度)；

⑸牛的頭數原來的草量吃的天數草的生長速度．

“牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了“牛吃草”問題的本質和解題思路，才能以不變應萬變，輕松解決此類問題．

例題精講

板塊一、一塊地的“牛吃草問題”

【例

1】

青青一牧場，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改養廿三只，九周走他方；

若養二十一，可作幾周糧？

（注：“廿”的讀音與“念”相同?！柏ァ奔炊?。）

【解說】題目翻譯過來是：一牧場長滿青草，27頭牛6個星期可以吃完，或者23頭牛9個星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個星期才可以吃完？（注：牧場的草每天都在生長）

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，27頭牛吃6周共吃了份；23頭牛吃9周共吃了份．第二種吃法比第一種吃法多吃了份草，這45份草是牧場的草周生長出來的，所以每周生長的草量為，那么原有草量為：．

供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每周生長的草，剩下6頭牛需要(周)可將原有牧草吃完，即它可供21頭牛吃12周．

【鞏固】

牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長．這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天．供25頭?？沙詭滋?？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份．第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場的草天生長出來的，所以每天生長的草量為，那么原有草量為：．

供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天．

【鞏固】

倉庫里原有一批存貨，以后繼續運貨進倉，且每天運進的貨一樣多。用同樣的汽車運貨出倉，如果每天用4輛汽車，則9天恰好運完；如果每天用5輛汽車，則6天恰好運完。倉庫里原有的存貨若用1輛汽車運則需要多少天運完？

【解析】

設輛汽車天運貨為“”，進貨速度為，原有存貨為，倉庫里原有的存貨若用1輛汽車運則需要（天）

【例

2】

牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？

【解析】

設1頭牛1周的吃草量為“1”，草的生長速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周

【鞏固】

有一塊勻速生長的草場，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那么它可供幾頭牛吃20天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么天生長的草量為，所以每天生長的草量為；原有草量為：．

20天里，草場共提供草，可以讓頭牛吃20天．

【鞏固】

(湖北省“創新杯”)

牧場有一片青草，每天長勢一樣，已知70頭牛24天把草吃完，30頭牛60天把草吃完，則

頭牛96天可以把草吃完．

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天新生長的草量為，牧場原有草量為，要吃96天，需要(頭)牛．

【鞏固】

一牧場放牛58頭，7天把草吃完；若放牛50頭，則9天吃完．假定草的生長量每日相等，每頭牛每日的吃草量也相同，那么放多少頭牛6天可以把草吃完?

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為1個單位，則每天生長的草量為：，原有草量為：，(頭)

【鞏固】

林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內吃光，21只猴子可在12周內吃光，問如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長的速度不變）

【解析】

設一只猴子一周吃的野果為“”，則野果的生長速度是，原有的野果為，如果要4周吃光野果，則需有只猴子一起吃

【鞏固】

一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺抽水機連續20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？

【解析】

水庫原有的水與20天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？(臺).

水庫原有的水與15天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？(臺).

每天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？

(臺).

原有的水可供多少臺抽水機抽1天？

(臺).

若6天抽完，共需抽水機多少臺？

(臺).

【例

3】

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度在減少．已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天．照此計算，可以供多少頭牛吃10天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：，原有草量為：；10天吃完需要牛的頭數是：(頭)．

【鞏固】

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃12天？

【解析】

設1頭牛1天吃的草為“1”。牧場上的草每天自然減少

；

原來牧場有草，

12天吃完需要牛的頭數是：(頭)或（頭）。

【例

4】

由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少．經計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么，可供11頭牛吃幾天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：．

若有11頭牛來吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．

【鞏固】

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？

【解析】

設1頭牛1天吃的草為“1”。牧場上的草每天自然減少

原來牧場有草

可供10頭牛吃的天數是：(天)。

【例

5】

一塊勻速生長的草地，可供16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃多少天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，由于一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相當于20頭牛吃12天．那么每天生長的草量為，原有草量為：．

10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當于25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去吃每天生長的草，那么剩下的15頭牛需要天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃8天．

【鞏固】

（希望杯六年級二試試題）

有一片草場，草每天的生長速度相同。若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當于1頭牛一天的吃草量)。那么，17頭牛和20只羊多少天可將草吃完?

【解析】

“4只羊一天的吃草量相當于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設一只羊一天的食量為1，那么14頭牛30天吃了單位草量，而70只羊16天吃了單位草量，所以草場在每天內增加了草量，原來的草量為草量，所以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草88草量，經過天，可將草吃完。

【鞏固】

一片牧草，每天生長的速度相同?，F在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃幾天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，所以草的生長速度為，原有草量為，12頭牛與88只羊一起吃可以吃（天）

【鞏固】

一片茂盛的草地，每天的生長速度相同，現在這片青草16頭?？沙?5天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當于l頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可以吃多少天?

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，摘錄條件，將它們轉化為如下形式方便分析

16頭牛

15天

16×15＝240：原有草量＋15天生長的草量

100只羊（25頭牛）

6天

25×6＝150：

原有草量＋6天生長的草量

從上易發現：1天生長的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；

8頭牛與48只羊相當于20頭牛的吃草量，其中10頭牛去吃新生草，那么剩下的10頭牛吃原有草，90只需9天，所以8頭牛與48只羊一起吃，可以吃9天。

【例

6】

有一牧場，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完．現有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完．問：原來有多少頭牛吃草(草均勻生長)？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長的草量為，原有草量為：．

現有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，那么原有草量需增加才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數為(頭)．

【鞏固】

一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃30天，又增加了2頭牛一起吃，還可以再吃幾天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長的草量為，原有草量為：．如果4頭牛吃30天，那么將會吃去30天的新生長草量以及90原有草量，此時原有草量還剩，而牛的頭數變為6，現在就相當于：“原有草量30，每天生長草量1，那么6頭牛吃幾天可將它吃完？”易得答案為：(天)．

【例

7】

一片勻速生長的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡．已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量．現在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？

【解析】

設1匹馬1天吃草量為“1”，根據題意，有：

15天馬和牛吃草量原有草量天新生長草量……⑴

20天馬和羊吃草量原有草量天新生長草量……⑵

30天牛和羊(等于馬)吃草量原有草量天新生長草量……⑶

由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量；

由⑶可知，30天羊吃草量天新生長草量，所以：羊每天吃草量每天新生長草量；設馬每天吃的草為份

將上述結果帶入⑵得：原有草量，所以牛每天吃草量．

這樣如果同時放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長的草，牛和馬吃原有的草，可以吃：(天)．

【鞏固】

現在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時間?

【解析】

牛、馬45天吃了

原有天新長的草①

牛、馬90天吃了2原有天新長的草⑤

馬、羊60天吃了

原有天新長的草②

牛、羊90天吃了

原有天新長的草③

馬

90天吃了

原有天新長的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結合③知，羊吃了90天，吃了90天新長的草，所以，可以將羊視為專門吃新長的草．

所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

現在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長的草，牛、馬一起吃原有的草.

所需時間為天.

所以，牛、羊、馬一起吃，需36天．

板塊二、多塊地的“牛吃草問題”

【例

8】

東升牧場南面一塊2000平方米的牧場上長滿牧草，牧草每天都在勻速生長，這片牧場可供18頭牛吃16天，或者供27頭牛吃8天．在東升牧場的西側有一塊6000平方米的牧場，可供多少頭牛吃6天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，那么2000平方米的牧場上天生長的草量為，即每天生長的草量為．那么2000平方米的牧場上原有草量為：．

則6000平方米的牧場每天生長的草量為；原有草量為：．6天里，該牧場共提供牧草，可以讓(頭)牛吃6天．

【鞏固】

有甲、乙兩塊勻速生長的草地，甲草地的面積是乙草地面積的3倍．30頭牛12天能吃完甲草地上的草，20頭牛4天能吃完乙草地上的草．問幾頭牛10天能同時吃完兩塊草地上的草？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，由于甲草地的面積是乙草地面積的3倍，把甲草地分成面積相等的3塊，那么每塊都與乙草地的面積相等．由于30頭牛12天能吃完甲草地上的草，相當于每塊上的草由10頭牛12天吃完．那么條件轉換為“10頭牛12天能吃完乙草地上的草，20頭牛4天也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地長草量為，乙草地原有草量為：；則甲、乙兩塊草地每天的新生長草量為，原有草量為：．要10天同時吃完兩塊草地上的草，需要(頭)牛．

【鞏固】

有一塊1200平方米的牧場，每天都有一些草在勻速生長，這塊牧場可供10頭牛吃20天，或可供15頭牛吃10天，另有一塊3600平方米的牧場，每平方米的草量及生長量都與第一塊牧場相同，問這片牧場可供75頭牛吃多少天？

【解析】

設1頭牛1天的吃草量為“1”，摘錄條件，將它們轉化為如下形式方便分析

10頭牛

20天

10×20＝200

：原有草量＋20天生長的草量

15頭牛

10天

15×10＝150

：原有草量＋10天生長的草量

從上易發現：1200平方米牧場上20－10＝10天生長草量＝200－150＝50，

即1天生長草量＝50÷10＝5；

那么1200平方米牧場上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。

則3600平方米的牧場1天生長草量＝5×（3600÷1200）＝15；

原有草量：100×（3600÷1200）＝300.

75頭牛里，若有15頭牛去吃每天生長的草，剩下60頭牛需要300÷60＝5（天）可將原有草吃完，即它可供75頭牛吃5天。

【例

9】

一個農夫有面積為2公頃、4公頃和6公頃的三塊牧場．三塊牧場上的草長得一樣密，而且長得一樣快．農夫將8頭牛趕到2公頃的牧場，牛5天吃完了草；如果農夫將8頭牛趕到4公頃的牧場，牛15天可吃完草．問：若農夫將這8頭牛趕到6公頃的牧場，這塊牧場可供這些牛吃幾天？

【解析】

(法1)設1頭牛1天吃草量為“1”，可以將不同的公頃數統一轉化為單位量1公頃來解決．

把2公頃牧場分割成2塊，每塊1公頃，每塊可供4頭牛吃5天；

把4公頃牧場分割成4塊，每塊1公頃，每塊可供2頭牛吃15天．

那么1公頃牧場每天新生長的草量為，1公頃牧場原有草量為．那么6公頃牧場每天新生長的草量為，原有草量為．

8頭牛里，若有6頭牛去吃每天新生長的草，剩下2頭牛需要(天)可將原有草吃完，即它可供8頭牛吃45天．

(法2)題中3塊牧場面積不同，要解決這個問題，可以將3塊牧場的面積統一起來．

設1頭牛1天吃草量為“1”．將8頭牛趕到2公頃的牧場，牛5天吃完了草，相當于12公頃的牧場可供48頭牛吃5天；將8頭牛趕到4公頃的牧場，牛15天可吃完草，相當于12公頃的牧場可供24頭牛吃15天．所以12公頃的牧場每天新生長的草量為：，12公頃牧場原有草量為．那么12公頃牧場可供16頭牛吃(天)，

板塊三、“牛吃草問題”的變形

【例

10】

一只船發現漏水時，已經進了一些水，水勻速進入船內.如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水，8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？

【解析】

設1人1小時淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量，

要求2小時淘完，要安排人淘水

【鞏固】

一只船發現漏水時，已經進了一些水，現在水勻速進入船內，如果3人淘水40分鐘可以淘完；6人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？

【解析】

設1人1分鐘淘出的水量是“1”，分鐘的進水量為，所以每分鐘的進水量為，那么原有水量為：．5人淘水需要(分鐘)把水淘完．

【例

11】

假設地球上新生成的資源增長速度是一定的，照此計算，地球上的資源可供110億人生活90年；或供90億人生活210年。為了使人類能夠不斷繁衍，地球上最多能養活多少人？

【解析】

億人。

【例

12】

畫展8:30開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點就不再有人排隊；如果開5個入場口，8點45分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達的時間。

【解析】

設每分鐘1個入口進入的人數為1個單位。

8:30到9:00

共30分鐘

3個入口共進入。8:30到8:45

共15分鐘

5個入口共進入，15分鐘到來的人數

，每分鐘到來。8：30以前原有人。

所以應排了（分鐘），即第一個來人在7：30

?

畫展9點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊．求第一個觀眾到達的時間．

?

如果把入場口看作為“牛”，開門前原有的觀眾為“原有草量”，每分鐘來的觀眾為“草的增長速度”，那么本題就是一個“牛吃草”問題．

u

設每一個入場口每分鐘通過“1”份人，那么4分鐘來的人為，即1分鐘來的人為，原有的人為：．這些人來到畫展，所用時間為(分)．所以第一個觀眾到達的時間為8點15分．

u

點評：從表面上看這個問題與“牛吃草”問題相離很遠，但仔細體會，題目中每分鐘來的觀眾一樣多，類似于“草的生長速度”，入場口的數量類似于“?！钡臄盗浚瑔栴}就變成“牛吃草”問題了．解決一個問題的方法往往能解決一類問題，關鍵在于是否掌握了問題的實質．

?

早晨6點，某火車進口處已有945名旅客等候檢票進站，此時，每分鐘還有若干人前來進口處準備進站．這樣，如果設立4個檢票口，15分鐘可以放完旅客，如果設立8個檢票口，7分鐘可以放完旅客．現要求5分鐘放完，需設立幾個檢票口?

?

設1個檢票口1分鐘放進1個單位的旅客．

u

1分鐘新來多少個單位的旅客

l

u

檢票口開放時已有多少個單位的旅客在等候，

l

4×15－×15=52

u

5分時間內檢票口共需放進多少個單位的旅客

l

52+×5=55

u

設立幾個檢票口

l

(個)

?

在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯．小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20級臺階后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過30級臺階到達地面．從站臺到地面有

級臺階．

?

本題非常類似于“牛吃草問題”，如將題目改為：

u

“在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯．小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20秒后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過15秒到達地面．問：從站臺到地面有多少級臺階？”

u

采用牛吃草問題的方法，電梯秒內所走的階數等于小強多走的階數：階，電梯的速度為階/秒，扶梯長度為（階）。

?

兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級梯級，女孩每秒可走2級梯級，結果從扶梯的一端到達另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問：該扶梯共有多少級梯級？

?

本題與牛吃草問題類似，其中扶梯的梯級總數相當于原有草量；而自動扶梯運行的速度則相當于草的增長速度。并且上樓的速度要分成兩部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。

u

自動扶梯的速度（女孩每秒走的梯級×女孩走的時間－男孩每秒走的梯級×男孩走的時間）÷（女孩走的時間－男孩走的時間），自動扶梯的梯級總數＝女孩每秒走的梯級×女孩走的時間－自動扶梯的速度×女孩走的時間

u

（級）所以自動扶梯共有150級的梯級。

?

自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒向上走1梯級，女孩每3秒鐘走2梯級。結果男孩用50秒到達樓上，女孩用60秒到達樓上。該樓梯共有多少級？

n

該題屬于草勻速減少的情況，扶梯的運行速度：。自動扶梯的梯級總數：(級)

?

小明從甲地步行去乙地，出發一段時間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時行15千米，3小時可以追上；若騎摩托車，每小時行35千米，1小時可以追上；若開汽車，每小時行45千米，

分鐘能追上。

?

本題是“牛吃草”和行程問題中的追及問題的結合．小明在小時內走了千米，那么小明的速度為(千米/時)，追及距離為(千米)．汽車去追的話需要：(小時)(分鐘)．

?

快、中、慢三車同時從地出發沿同一公路開往地，途中有騎車人也在同方向行進，這三輛車分別用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎車人．已知快車每分鐘行800米，慢車每分鐘行600米，中速車的速度是多少？

?

可以將騎車人與三輛車開始相差的距離看成原有草量，騎車人的速度看成草生長的速度，所以騎車人速度是：(米/分)，開始相差的路程為：（米），所以中速車速度為：(米／分)．

?

有固定速度行駛的甲車和乙車，如果甲車以現在速度的2倍追趕乙車，5小時后甲車追上乙車；如果甲車以現在速度的3倍追趕乙車，3小時后甲車追上乙車，那么如果甲車以現在的速度去追趕乙車，問：幾個小時后甲車追上乙車？

?

分析知道甲車相當于“?！保鬃汾s乙的追及路程相當于“原有草量”，乙車相當于“新生長的草”．

u

設甲車的速度為“1”，那么乙車小時走的路程為，所以乙的速度為，追及路程為：．

u

如果甲以現在的速度追趕乙，追上的時間為：(小時)．

?

甲、乙、丙三車同時從地出發到地去．甲、乙兩車的速度分別是每小時60千米和每小時48千米．有一輛卡車同時從地迎面開來，分別在它們出發后6小時、7小時、8小時先后與甲、乙、丙車相遇，求丙車的速度．

?

相遇問題可以看成是草勻速減少的過程，全程看成是原有草量，卡車速度看成是草勻速減少的速度。所以卡車速度為：（千米/時），全程：（千米），丙車速度為：（千米/時）

?

小新、正南、妮妮三人同時從學校出發到公園去．小新、正南兩人的速度分別是每分鐘20米和每分鐘16米．在他們出發的同時，風間從公園迎面走來，分別在他們出發后6分鐘、7分鐘、8分鐘先后與小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．

n

當小新和風間相遇時，正南落后小新(米)，依題意知正南和風間走這24

米需要(分鐘)，正南和風間的速度和為：(米／分)，風間的速度為：(米／分)，學校到公園的距離為：(米)．所以妮妮的速度為：(米／分)．

?

一個裝滿了水的水池有一個進水閥及三個口徑相同的排水閥，如果同時打開進水閥及一個排水閥，則分鐘能把水池的水排完，如果同時打開進水閥及兩個排水閥，則分鐘把水池的水排完．問：關閉進水閥并且同時打開三個排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？

?

設一個排水閥1分鐘排水量為“1”，那么進水閥1分鐘進水量為，水池原有水量為．關閉進水閥并且同時打開三個排水閥，需要(分鐘)才能排完水池的水．

?

一個蓄水池有1個進水口和15個出水口，水從進水口勻速流入．當池中有一半的水時，如果打開9個出水口，9小時可以把水排空．如果打開7個出水口，18小時可以把水排空．如果是一滿池水，打開全部出水口放水，那么經過

時

分水池剛好被排空．

?

本題是牛吃草問題的變形．

u

設每個出水口每小時的出水量為1，則進水口每小時的進水量為：，半池水的量為：，所以一池水的量為72．

u

如果打開全部15個出水口，排空水池所需要的時間為小時，即7小時12分鐘．

?

北京密云水庫建有個泄洪洞，現在水庫的水位已經超過安全線，并且水量還在以一個不變的速度增加，為了防洪，需要調節泄洪的速度，假設每個閘門泄洪的速度相同，經測算，若打開一個泄洪閘，個小時以后水位降至安全線；若同時打開兩個泄洪閘，個小時后水位降至安全線．根據抗洪形勢，需要用個小時使水位降至安全線以下，則至少需要同時打開泄洪閘的數目為多少個？

?

此題是牛吃草問題的變形，假設每個泄洪洞每小時泄洪的量為1，則水庫每小時增加的水量為，原有的水量超過安全線的部分有．

如果要用個小時使水位降至安全線以下，至少需要開個泄洪閘．

【鞏固】

(“希望杯”五年級二試)有一個蓄水池裝了根相同的水管，其中一根是進水管，其余根是出水管．開始時，進水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水．后來，想打開出水管，使池內的水全部排光．如果同時打開根出水管，則小時可排盡池內的水；如果僅打開根出水管，則需小時才能排盡池內的水．若要在小時內排盡池內的水，那么應當同時打開多少根出水管？

【解析】

設1根出水管1小時排水的量為“1”，那么進水管每小時進水量為，池內原有水量為．要在小時內排盡池內的水，應當同時打開根出水管．

【鞏固】

一個蓄水池裝有9根水管，其中1根為進水管，其余8根為相同的出水管。開始進水管以均勻的速度不停地向這個蓄水池蓄水。池內注入了一些水后，有人想把出水管也打開，使池內的水再全部排光。如果把8根出水管全部打開，需要3小時可將池內的水排光；而若僅打開3根出水管，則需要18小時。問如果想要在8小時內將池中的水全部排光，最少要打開幾根出水管？

【解析】

設根排水管小時排水為“”，進水速度為，原有水量為，如果想要在小時內將池中的水全部排光，最少要打開根出水管，每根出水管1小時排水1份，又出水管的根數是整數，故最少要打開5根出水管。

【鞏固】

由于環境惡化、氣候變暖，官廳水庫的水在勻速減少，為了保證水庫的水量，政府決定從上游的壺流河水庫以及冊田水庫分別向官廳水庫進行調水，已知這兩個水庫的每個閘門放水量是相同的，如果同時打開壺流河水庫的5個閘門30小時可以使官廳水庫水量達到原來的標準，如果同時打開冊田水庫的4個閘門40小時可以使官廳水庫水量達到原來的標準，如果24小時使官廳水庫水量達到原來的標準，問需同時打開兩個水庫的幾個閘門?

【解析】

設1個閘門1小時的放水量為“1”，那么每小時自然減少的水量為：，實際注入水量為：；24小時蓄水需要打開的閘門數是：(個)．

【鞏固】

（“陳省身杯”國際青少年五年級數學邀請賽）有一個水池，池底存了一些水，并且還有泉水不斷涌出。為了將水池里的水抽干，原計劃調來臺抽水機同時工作。但出于節省時間的考慮，實際調來了臺抽水機，這樣比原計劃節省了小時。工程師們測算出，如果最初調來臺抽水機，將會比原計劃節省小時。這樣，將水池的水抽干后，為了保持池中始終沒有水，還應該至少留下

臺抽水機。

【解析】

設每臺抽水機每小時抽個單位的水，原計劃需要小時抽完

則原計劃個小時抽的水量為，

臺抽水機時抽水量為

臺抽水機時抽水量為

所以，個小時的出水量為，

個小時的出水量為，

而泉水的出水速度是一定的，所以，解得，

所以每小時出水量為，所以需要留下臺抽水機。

【例

13】

甲、乙、丙三個倉庫，各存放著數量相同的面粉，甲倉庫用一臺皮帶輸送機和12個工人，5小時可將甲倉庫內面粉搬完；乙倉庫用一臺皮帶輸送機和28個工人，3小時可將倉庫內面粉搬完；丙倉庫現有2臺皮帶輸送機，如果要用2小時把丙倉庫內面粉搬完，同時還要多少個工人？(每個工人每小時工效相同，每臺皮帶輸送機每小時工效也相同，另外皮帶輸送機與工人一起往外搬運面粉)

【解析】

設1人1小時搬運的份數為“1”，那么一臺皮帶運輸機1小時的工作量為

，每個倉庫存放的面粉總量為：．那么,丙倉庫現有2臺皮帶輸送機，如果要用2小時把丙倉庫內面粉搬完，需要(人)．

【例

14】

小方用一個有洞的杯子從水缸里往三個同樣的容積的空桶中舀水。第一個桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶裝滿；第二個桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿。第三個桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝滿（假設小方走路的速度不變，水從杯中流出的速度也不變）

【解析】